ধারাবাহিকতা সমীকরণ উপাদান
কলটি ধীরে ধীরে খুলুন এবং কল থেকে বেরিয়ে আসা জলের প্রবাহ লক্ষ্য করুন। কলটি ঘোরা বন্ধ হয়ে গেলে, আপনার হাত দিয়ে কলটি আংশিকভাবে বন্ধ করুন। এবার তুলনা করে দেখুন কোনটির জলের প্রবাহ বেশি—আংশিকভাবে বন্ধ অবস্থায় নাকি খোলা অবস্থায়? আপনার যদি ফুলগাছে জল দেওয়ার জন্য ব্যবহৃত একটি হোস পাইপ থাকে, তবে তার মধ্যে দিয়ে জল প্রবাহিত হতে দিন। আপনার হাত বা আঙুল দিয়ে হোস পাইপটি আংশিকভাবে বন্ধ করুন। হোস পাইপের যত বেশি অংশ বন্ধ থাকবে, জল তত দ্রুত বেরিয়ে আসবে। বিপরীতভাবে, যদি হোস পাইপটি বন্ধ না থাকে, তবে জল কম দ্রুত প্রবাহিত হবে। এমনটা কেন হয়? এটি বোঝার জন্য, অনুগ্রহ করে অবিচ্ছিন্নতার সমীকরণটি অধ্যয়ন করুন।
স্ট্রিমলাইন এবং ফ্লো টিউব
প্রথমে, প্রবাহরেখা এবং প্রবাহ নলের ধারণাগুলো বোঝা যাক। এই ধারণাটি গুরুত্বপূর্ণ, কারণ এটি আপনাকে অবিচ্ছিন্নতার সমীকরণ বুঝতে সাহায্য করবে।
স্ট্রিম লাইন
নিচের ছবিটি দেখুন, নীল রেখাটি হলো স্ট্রিমলাইন।
স্থির প্রবাহে, কোনো একটি বিন্দুতে, ধরা যাক বিন্দু A-তে, প্রতিটি তরল কণার বেগ স্থির থাকে। বিন্দু B অতিক্রম করার সময় তরল কণাগুলোর বেগ পরিবর্তিত হতে পারে। তবে, বিন্দু B-তে পৌঁছানোর পর, পেছনের তরল কণাগুলো তাদের সামনের কণাগুলোর সমান বেগে প্রবাহিত হতে থাকে। বিন্দু C-তে পৌঁছানোর ক্ষেত্রেও একই নিয়ম প্রযোজ্য, এবং এভাবেই চলতে থাকে। স্ট্রিমলাইন হলো A, B এবং C বিন্দুগুলোকে সংযোগকারী বক্ররেখা।
প্রবাহ নল
মূলত, আমরা তরল প্রবাহের প্রতিটি বিন্দুর মধ্য দিয়ে প্রতিটি স্ট্রিমলাইন আঁকতে পারি। যদি আমরা স্থির তরল প্রবাহ বিবেচনা করি, তবে একটি কাল্পনিক পৃষ্ঠতলের উপর একটি নির্দিষ্ট কোণে অতিক্রমকারী বেশ কয়েকটি স্ট্রিমলাইন একটি প্রবাহ নল গঠন করে। কোনো তরল কণা একে অপরকে ছেদ করে না, বরং সর্বদা সমান্তরাল থাকে এবং প্রবাহ নলটি এমন একটি পাইপের মতো হবে যার আকৃতি সর্বদা একই থাকে। নলের এক প্রান্ত দিয়ে প্রবেশ করা তরল অন্য প্রান্ত দিয়ে বেরিয়ে যাবে।
খরচ
প্রবাহ বলতে একটি নির্দিষ্ট সময় ব্যবধানে কোনো নির্দিষ্ট প্রস্থচ্ছেদ দিয়ে প্রবাহিত তরলের পরিমাণকে বোঝায়। গাণিতিকভাবে, এটিকে নিম্নরূপে প্রকাশ করা যায়:
আপনার বোঝার সুবিধার্থে, আসুন একটি উদাহরণ ব্যবহার করা যাক। ধরুন, একটি পাইপের মধ্য দিয়ে তরল প্রবাহিত হচ্ছে। পাইপ সাধারণত নলাকার হয় এবং এর একটি নির্দিষ্ট প্রস্থচ্ছেদ ক্ষেত্রফল থাকে। পাইপটির একটি দৈর্ঘ্যও আছে।
যখন তরল পাইপের মধ্যে দিয়ে L দূরত্ব পর্যন্ত প্রবাহিত হয়, তখন পাইপের মধ্যে থাকা তরলের আয়তন হয় V = AL (যেখানে V = তরলের আয়তন, A = প্রস্থচ্ছেদ ক্ষেত্রফল এবং L = পাইপের দৈর্ঘ্য)। যেহেতু পাইপের মধ্যে দিয়ে L দূরত্ব বরাবর প্রবাহের সময় তরল একটি নির্দিষ্ট সময় অতিবাহিত করে, তাই আমরা বলতে পারি যে তরল নিঃসরণের পরিমাণ হলো:
যেহেতু v = s/t = L/t —> L = vt, উপরের সমীকরণটি পরিবর্তিত হয়ে দাঁড়ায়:
সুতরাং, যখন একটি নির্দিষ্ট প্রস্থচ্ছেদ ক্ষেত্রফল ও দৈর্ঘ্যের নলের মধ্য দিয়ে একটি নির্দিষ্ট সময় ধরে তরল প্রবাহিত হয়, তখন তরল নিঃসরণের (Q) পরিমাণ প্রস্থচ্ছেদ ক্ষেত্রফল (A) এবং তরল প্রবাহ বেগ (v)-এর গুণফলের সমান হয়।
ধারাবাহিকতা সমীকরণ
নিচের চিত্রে দেখানো অনুযায়ী, বিভিন্ন ব্যাসের একটি পাইপের মধ্য দিয়ে তরল প্রবাহ বিবেচনা করুন।
এই চিত্রে বাম থেকে ডানে তরল প্রবাহ দেখানো হয়েছে (তরল একটি বড় ব্যাসের পাইপ থেকে একটি ছোট ব্যাসের পাইপে প্রবাহিত হয়)। ডটেড লাইনগুলো হলো স্ট্রিমলাইন।
ছবির ক্যাপশন: A₁ = বড় ব্যাসের পাইপ অংশের প্রস্থচ্ছেদ ক্ষেত্রফল, A₂ = ছোট ব্যাসের পাইপ অংশের প্রস্থচ্ছেদ ক্ষেত্রফল, v₁ = বড় ব্যাসের পাইপ অংশে তরলের প্রবাহ বেগ, v₂ = ছোট ব্যাসের পাইপ অংশে তরলের প্রবাহ বেগ, L = তরল দ্বারা অতিক্রান্ত দূরত্ব।
ফ্লুইড ডাইনামিক্সের ভূমিকায় ব্যাখ্যা করা হয়েছিল যে, ফ্লুইড ডাইনামিক্সে আমরা অসংকোচনীয়, অসান্দ্র, অ-বিক্ষুব্ধ এবং স্থির তরলের প্রবাহ নিয়ে আলোচনা করি। স্থির প্রবাহে, কোনো একটি বিন্দুতে তরল কণার বেগ এবং সেই বিন্দুর মধ্য দিয়ে অতিক্রমকারী অন্যান্য তরল কণার বেগ একই থাকে। তরল প্রবাহগুলো একে অপরকে ছেদও করে না (স্ট্রিমলাইনগুলো সমান্তরাল থাকে)। সুতরাং, পাইপের এক প্রান্ত দিয়ে প্রবেশ করা তরলের ভর অবশ্যই অন্য প্রান্ত দিয়ে বেরিয়ে যাওয়া তরলের ভরের সমান হতে হবে। যদি একটি নির্দিষ্ট ভরের তরল বড় ব্যাসের পাইপে প্রবেশ করে, তবে সেই তরলটি একটি ছোট ব্যাসের পাইপ থেকে স্থির ভর নিয়ে বেরিয়ে যাবে।
এখন, উপরের পাইপটির ছবিটির দিকে তাকাও। পাইপটির বড় ব্যাসের অংশটি এবং ছোট ব্যাসের অংশটির দিকে লক্ষ্য করো।
একটি নির্দিষ্ট সময়কালে, একটি বৃহৎ ব্যাসের (A) নলের অংশের মধ্য দিয়ে নির্দিষ্ট পরিমাণ তরল প্রবাহিত হয়।1) যতদূর L1 (L1 = ভি1 t) প্রবাহিত তরলের আয়তন হল V1 = ক1 L1 = ক1 v1 t. একই সময়কালে, পাইপের একটি ছোট ব্যাসের (A) অংশের মধ্য দিয়ে অন্য পরিমাণ তরল প্রবাহিত হয়।2) যতদূর L2 (L2 = ভি2 t) প্রবাহিত তরলের আয়তন হল V2 = ক2 L2 = ক2 v2 t.
অসংকোচনীয় তরলের জন্য ধারাবাহিকতার সমীকরণ (অসংকোচনীয়)
প্রথমে, একটি অসংকোচনীয় তরলের বিষয়টি বিবেচনা করা যাক। একটি অসংকোচনীয় তরলে, এর মধ্য দিয়ে প্রবাহিত প্রতিটি বিন্দুতে এর ঘনত্ব বা ভর সর্বদা একই থাকে। A1 ( পাইপের বৃহৎ ব্যাস) প্রস্থচ্ছেদ ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি পাইপের মধ্যে দিয়ে একটি নির্দিষ্ট সময় ব্যবধানে প্রবাহিত তরলের ভর হলো:
একইভাবে, A₂ (ছোট ব্যাসের) প্রস্থচ্ছেদ ক্ষেত্রফল বিশিষ্ট একটি পাইপের মধ্যে দিয়ে একটি নির্দিষ্ট সময় ব্যবধানে প্রবাহিত তরলের ভর হলো:
স্থির প্রবাহে, প্রবেশকারী তরলের ভর এবং নির্গত তরলের ভর সমান, এই বিবেচনায় রাখলে:
m 1 = m 2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t (তরলের ঘনত্ব এবং সময় ব্যবধান একই হওয়ায় তারা বাতিল হয়ে যায়)
A 1 v 1 = A 2 v 2
সুতরাং, অসংকোচনীয় তরলের ক্ষেত্রে ধারাবাহিকতার সমীকরণটি প্রযোজ্য:
A 1 v 1 = A 2 v 2 — সমীকরণ ১
তথ্য :
A 1 = প্রস্থচ্ছেদ ক্ষেত্রফল ১, A 2 = প্রস্থচ্ছেদ ক্ষেত্রফল ২, v 1 = প্রস্থচ্ছেদ ১-এ তরল প্রবাহের বেগ, v 2 = প্রস্থচ্ছেদ ২-এ তরল প্রবাহের বেগ, A v = আয়তন প্রবাহের হার V/t যা নিঃসরণ নামেও পরিচিত
সমীকরণ ১ থেকে দেখা যায় যে, আয়তন প্রবাহের হার, যা নিঃসরণ নামেও পরিচিত, একটি পাইপ বা প্রবাহ নলের প্রতিটি বিন্দুতে সর্বদা একই থাকে। পাইপের প্রস্থচ্ছেদ কমলে তরল প্রবাহের হার বাড়ে; বিপরীতভাবে, পাইপের প্রস্থচ্ছেদ বাড়লে তরল প্রবাহের হার কমে।
যখন আমরা কলটি আংশিকভাবে বন্ধ করি, তখন কলটি পুরোপুরি বন্ধ থাকার চেয়ে জলের প্রবাহ দ্রুততর হয়। এর কারণ হলো, কলটি আংশিকভাবে বন্ধ করলে এর প্রস্থচ্ছেদের ক্ষেত্রফল কমে যায়, ফলে জলের প্রবাহের হার বেড়ে যায় (তরল দ্রুত প্রবাহিত হয়)। হোস পাইপের ক্ষেত্রেও একই কথা প্রযোজ্য। তবে, এটি মনে রাখা গুরুত্বপূর্ণ যে, কলটি আংশিকভাবে বন্ধ থাকুক বা না থাকুক, জলপ্রবাহের সমস্ত বিন্দুতে নির্গমন বা আয়তনিক প্রবাহের হার একই থাকে। সুতরাং, যা পরিবর্তিত হয় তা হলো তরলের প্রবাহের হার।
তাহলে নদীতে জলের প্রবাহের ব্যাপারটা কী? নদীর গভীর অংশের প্রস্থচ্ছেদ অগভীর অংশের চেয়ে বড় হয়, তাই গভীর অংশে জলপ্রবাহের হার অগভীর অংশের চেয়ে কম। যদি আপনি নদীর খুব শান্ত স্রোত দেখেন, তার মানে নদীটি গভীর। কিন্তু যদি নদীতে হঠাৎ করে স্রোত বেড়ে যায়, তবে সেই অংশটি অবশ্যই অগভীর। তবে, নদীর গভীর বা শান্ত, উভয় অংশেই জলের আয়তনিক প্রবাহের হার সবসময় একই থাকে।
সংকোচনশীল তরলের জন্য ধারাবাহিকতার সমীকরণ (সংকোচনযোগ্য)
সংকোচনশীল তরলের ক্ষেত্রে , তরলের ঘনত্ব সর্বদা একই থাকে না। অন্য কথায়, সংকুচিত করলে তরলের ঘনত্ব পরিবর্তিত হয়। যেখানে অসংকোচনশীল তরলের ক্ষেত্রে সমীকরণ থেকে তরলের ঘনত্ব বাদ দেওয়া হয় , এক্ষেত্রে তরলের ঘনত্ব অন্তর্ভুক্ত থাকে। পূর্বে প্রতিপাদিত সমীকরণটি ব্যবহার করে, এবার সংকোচনশীল তরলের জন্য সমীকরণটি প্রতিপাদন করা যাক।
স্থির প্রবাহে, প্রবেশকারী তরলের ভর এবং নির্গত তরলের ভর সমান, এই বিবেচনায় রাখলে:
m 1 = m 2
ρ A 1 v 1 t = ρ A 2 v 2 t
তরল প্রবাহের সময়কাল একই হওয়ায় এটিকে বাদ দেওয়া যায়। সমীকরণটি পরিবর্তিত হয়ে দাঁড়ায়:
ρ A 1 v 1 = ρ A 2 v 2 → সমীকরণ 2
এটি একটি সংকোচনশীল তরলের সমীকরণ। একমাত্র পার্থক্যটি হলো তরলটির ঘনত্ব। যখন কোনো তরলকে সংকুচিত করা হয়, তখন তার ঘনত্ব পরিবর্তিত হয়। বিপরীতভাবে, যখন কোনো তরল অসংকোচনশীল হয়, তখন তার ঘনত্ব স্থির থাকে এবং সমীকরণ থেকে তা বাদ দেওয়া যায়।
উদাহরণ প্রশ্ন ২:
১০ সেমি ব্যাসের একটি পাইপের মধ্য দিয়ে ২ মি/সে বেগে পানি প্রবাহিত হয়। পানি নির্গমনের পরিমাণ কত?
আলোচনা
এটা জানা যায় যে:
পাইপের ব্যাস = ১০ সেমি (এটি পাইপের ভেতরের ব্যাস)
পাইপের ব্যাসার্ধ (r) = ৫ সেমি = ০.০৫ মিটার
v জল = 2 মি/সে
জিজ্ঞাসা করা হয়েছে: ডেবিট
উত্তর :
প্রশ্ন = একটি v
Q = ( π r 2 ) (2 মি/সে)
Q = (3,14)(0,05 মি) 2 (2 মি/সে)
Q = (3,14)(0,0025 মি² ) (2 মি/সে)
Q = ০.০১৫৭ মি³ / সে
উদাহরণ প্রশ্ন ২:
২০ সেমি ব্যাসের একটি পানির পাইপকে ১০ সেমি ব্যাসের আরেকটি পাইপের সাথে সংযুক্ত করা হয়েছে। যদি ২০ সেমি ব্যাসের পাইপে পানির প্রবাহের হার ৪ মি/সে হয়, তবে ১০ সেমি ব্যাসের পাইপে পানির প্রবাহের হার কত?
আলোচনা
এটা জানা যায় যে:
ব্যাস 1 = 20 সেমি (r 1 = 10 সেমি = 0,1 মি)
v 1 = ১৬ মি/সে
ব্যাস 2 = 10 সেমি (r 2 = 5 সেমি = 0,05 মি)
জিজ্ঞাসা করা হয়েছে : v 1
উত্তর :
Q 1 = Q 2
A 1 v 1 = A 2 v 2
( π r 12 ) ( 4 m/s) = ( π r 22 ) ( v 2 )
(0,1 মি) 2 (4 মি/সে) = (0,05 মি) 2 (v 2 )
(0,01 মি² ) (4 মি/সে) = (0,0025 মি² ) ( v² )
(0,04 মি³ / সে) = (0,0025 মি² ) ( v² )
v 2 = ১৬ মি/সে
