ভেক্টর সাধারণ সংখ্যা নয়, তাই এদের উপর সরাসরি সাধারণ গুণন প্রয়োগ করা যায় না। আমাদের অবশ্যই ভেক্টর গুণন ব্যবহার করতে হবে। ভেক্টর গুণন দুই প্রকার: ডট গুণন এবং ক্রস গুণন। ডট গুণনকে স্কেলার গুণনও বলা হয়, কারণ এটি একটি স্কেলার রাশি উৎপন্ন করে। ক্রস গুণনকে ভেক্টর গুণনও বলা হয়, কারণ এটি একটি ভেক্টর রাশি উৎপন্ন করে। উদাহরণস্বরূপ, দুটি ভেক্টর আছে, যথা A দেনিযেল Bভেক্টরের স্কেলার গুণন A দেনিযেল B বলা হয়েছে এবি কেযেহেতু এই ক্ষেত্রটিতে ডট নোটেশন ব্যবহার করা হয়, তাই এই গুণটিকে বলা হয় ডট প্রোডাক্টভেক্টরের গুণন A দেনিযেল B বলা হয়েছে A x Bকারণ এটি সাংকেতিক চিহ্ন ব্যবহার করে xতাহলে এই গুণকে বজ্রগুণন বলা হয়।
উদাহরণস্বরূপ, ভেক্টরটি দেওয়া থাকলে A দেনিযেল B নিচের ছবিতে যেমন দেখানো হয়েছে। ভেক্টরগুলোর মধ্যে ডট প্রোডাক্ট A দেনিযেল B লিখিত হিসাবে এবি (A বিন্দু B).
ভেক্টরের ডট গুণফল সংজ্ঞায়িত করতে A দেনিযেল B (এবি)চিত্রিত ভেক্টর A এবং ভেক্টর দ্বারা yযা একটি কোণ তৈরি করে θ. এরপর আমরা ভেক্টরটির অভিক্ষেপ আঁকব। B ভেক্টরের দিকের দিকে Aএই অভিক্ষেপটি ভেক্টরটির একটি উপাংশ। B যা ভেক্টরের সমান্তরাল A, যা সমান আকারের B কোসাইন্ θ.
এইভাবে, আমরা সংজ্ঞায়িত করি এবি একটি বৃহৎ ভেক্টর হিসাবে A ভেক্টর উপাংশ দ্বারা গুণিত B যা সমান্তরাল Aগাণিতিকভাবে এটিকে নিম্নরূপে লেখা যায়:
AB কোসাইন্ θ একটি সাধারণ সংখ্যা (স্কেলার)। তাই, ডট প্রোডাক্টকে স্কেলার প্রোডাক্টও বলা হয়। ভেক্টরগুলোর মধ্যে ডট প্রোডাক্ট হলে কী হবে? A দেনিযেল B বিপরীত বি.এ সংজ্ঞা দেওয়ার আগে ? বি.এপ্রথমে আমরা ভেক্টরটির অভিক্ষেপ অঙ্কন করি। A ভেক্টরগুলিতে খ (নিচের ছবিটি দেখুন)।
এই ছবির উপর ভিত্তি করে, আমরা সংজ্ঞায়িত করতে পারি বি.এ একটি বৃহৎ ভেক্টর হিসাবে B ভেক্টর উপাংশ দ্বারা গুণিত A যা সমান্তরাল Bগাণিতিকভাবে এটিকে নিম্নরূপে লেখা যায়:
ডট প্রোডাক্ট ফলাফল এবি = AB কোসাইন্ θ এবং ডট প্রোডাক্টের ফলাফল বি.এ = BA কোসাইন্ θকারণ AB কোসাইন্ θ = BA কোসাইন্ θতাহলে এটি প্রযোজ্য হবে এবি = বি.এ
বিন্দু গুণন সম্পর্কে কিছু বিষয় যা আপনার জানা প্রয়োজন:
১. ডট প্রোডাক্ট বিনিময় বিধি মেনে চলে।
AB = BA
২. ডট প্রোডাক্ট বন্টন সূত্র মেনে চলে।
A. (B + C) = AB + AC
৩. যদি ভেক্টর A এবং B পরস্পরের উপর লম্ব হয়, তাহলে তাদের ডট গুণফল AB = 0 হবে।
যখন ভেক্টর A দেনিযেল B পরস্পরের উপর লম্ব হলে, গঠিত কোণটি ৯০° হবে।oকস ৯০o = ০। সুতরাং: এবি = AB কোসাইন্ টেটা = AB COS 90o = ০। অপরদিকে, বি.এ = BA কোসাইন্ টেটা = BA COS 90o = 0
৪. যদি ভেক্টর A এবং ভেক্টর B একই দিকে থাকে , তাহলে AB = AB cos 0 o = AB
যখন ভেক্টর A দেনিযেল B একই দিকে হলে, গঠিত কোণটি ০ হবে।oCos 0 = 1। সুতরাং, এবি = AB কোসাইন্ টেটা = AB COS 0o = ABবিপরীতে বি.এ = BA কোসাইন্ টেটা = BA COS 0o = BA
(আপনাকে বিভ্রান্ত করা উচিত নয়) AB দেনিযেল BAবড় AB = বড় BAউদাহরণস্বরূপ, ভেক্টরের মান A = ২. ভেক্টরের মান B = ৩. তারপর এবি = ২.৩ = ৬; এটি একই বি.এ = ৩.২ = ৬।
৫. দুটি ভেক্টর একই দিকে থাকার আরেকটি শর্ত হলো, যদি A = B হয় , তাহলে আমরা AA = A² অথবা BB = B² পাই ।
৬. যদি ভেক্টর A এবং B বিপরীত দিকে থাকে (দুটি ভেক্টর বিপরীত দিকে থাকলে তাদের মধ্যে ১৮০º কোণ তৈরি হয়) , তাহলে তাদের গুণফল AB = AB cos 180º = AB (-1) = -AB হবে।
Cos 180º = -1।
সমস্যার উদাহরণ :
একটি ভেক্টর A-এর মান ৪ একক এবং ভেক্টর B- এর মান ৩ একক। ভেক্টর দুটির দ্বারা গঠিত কোণগুলো ৬০º, ৯০º এবং ১৮০º হলে , তাদের ডট গুণফল নির্ণয় করুন।
আলোচনা
যেহেতু AB = BA , আমরা যেকোনো একটি ব্যবহার করতে পারি। উদাহরণস্বরূপ, আমরা AB ব্যবহার করি।
AB = AB cos θ
A- এর মাপ = ৪ একক এবং B- এর মাপ = ৩ একক।
