বৃত্তাকার গতি

চাকাযুক্ত যানবাহন এবং জেনারেটর, মিলিং মেশিন, ফ্যান, লন মোয়ার, ফুলের স্প্রিংকলার ইত্যাদির মতো আধুনিক সরঞ্জামের অস্তিত্বের কারণে আজ আমাদের জীবন আরও সহজ ও আরামদায়ক হয়ে উঠেছে। সাইকেল, মোটরসাইকেল, গাড়ি এবং বিমানের মতো চাকাযুক্ত যানবাহন চলতে পারে না যদি তাদের চাকা না থাকে বা চাকাগুলো না ঘোরে। হেলিকপ্টার বা বিমানও উড়তে পারে না যদি তাদের প্রপেলার না ঘোরে। জাহাজ চলতে পারে না যদি তাদের জেনারেটর বা প্রপেলার না ঘোরে। রাতে, জেনারেটর বা বিদ্যুৎ কেন্দ্র কাজ না করলে ঘর ঘুটঘুটে অন্ধকার হয়ে যায় এবং কোনো বিনোদনের ব্যবস্থা থাকে না। অনেক বস্তু প্রতিদিন বৃত্তাকার গতিতে চলে। আমরা উপলব্ধি না করেই, আমরা যে পৃথিবীতে বাস করি, যে চাঁদ রাতে আমাদের আলোকিত করে, টেলিভিশন, রেডিও, মোবাইল ফোন এবং ইন্টারনেট সম্প্রচারের জন্য তড়িৎচুম্বকীয় তরঙ্গ প্রেরণকারী যোগাযোগ উপগ্রহের মতো কৃত্রিম উপগ্রহগুলো সর্বদাই ঘোরে, অর্থাৎ সব সময় একটি বৃত্তে চলাচল করে।

কোনো বস্তুর গতিপথ বৃত্তাকার হলে তাকে বৃত্তাকার গতিতে আছে বলা হয় । বৃত্তাকার গতির ভৌত রাশিগুলো কৌণিক রাশি (বৃত্তাকার গতির রাশি) এবং রৈখিক রাশি (সরলরৈখিক গতির রাশি) নিয়ে গঠিত। কৌণিক রাশির মধ্যে রয়েছে কৌণিক সরণ, কৌণিক বেগ এবং কৌণিক ত্বরণ। রৈখিক রাশি হলো সরলরৈখিক গতির রাশি, যার মধ্যে রয়েছে সরণ (দূরত্ব), বেগ (দ্রুতি) এবং ত্বরণ। বিপরীতভাবে, বৃত্তাকার গতির রাশিগুলোকে সাধারণত কৌণিক রাশি হিসেবে উল্লেখ করা হয় । বৃত্তাকার গতিতে, রৈখিক রাশিগুলো কৌণিক রাশির সাথে সম্পর্কিত।

কোণের একক রূপান্তর করুন (ডিগ্রি, রেডিয়ান, ঘূর্ণন)

১. ¼ পাক = ….. ^o (ডিগ্রি) ?
আলোচনা
১ ঘূর্ণন = ৩৬০^o
½ পাক = ১৮০^o
¼ পাক = ৯০^o

২. ½ ঘূর্ণন = …….. রেডিয়ান ?
আলোচনা
১ ঘূর্ণন = ২π রেডিয়ান = ২(৩.১৪) রেডিয়ান = ৬.২৮ রেডিয়ান
½ পাক = পাই রেডিয়ান = ৩.১৪ রেডিয়ান

3. 180^o (১৮০ ডিগ্রি) = ….. ঘূর্ণন বা বিপ্লব ?
আলোচনা
360^o = ১ রাউন্ড (১ বিপ্লব)
180^o = ½ পাক (১/২) বিপ্লব)

4. 90^o = ….. রেডিয়ান ?
আলোচনা
360^o = 2 π রেডিয়ান = 2(3,14) রেডিয়ান = 6,28 রেডিয়ান
180^o = পাই রেডিয়ান = ৩.১৪ রেডিয়ান
90^o = ½ পাই রেডিয়ান = ½ (3,14) = 1,57

৫. ৬০ রেডিয়ান = ….. ঘূর্ণন?
আলোচনা
৬.২৮ রেডিয়ান = ১ আবর্তন
৬০ রেডিয়ান/৬.২৮ = ৯.৫৫ ঘূর্ণন

৬. ৪০ রেডিয়ান = ….. ^o (ডিগ্রি) ?
আলোচনা
১ রেডিয়ান = ৩৬০^o
৪০ রেডিয়ান/৬.২৮ = (৬.৩৭)(৩৬০)^o) = 2292,99টি^o

কৌণিক বেগ

সমস্যার উদাহরণ.
১. চাকাটি ঘড়ির কাঁটার দিকে ১৮০° কোণ তৈরি করে ঘোরে।^o ২ সেকেন্ড এবং ৯০ এর জন্য^o ১ সেকেন্ডের জন্য গড় কৌণিক বেগের মান ও দিক নির্ণয় করুন।
আলোচনা
বড় = ৯^o/সেকেন্ড = …. আবর্তন/সেকেন্ড = ….. রেডিয়ান/সেকেন্ড ?
দিক = ঘড়ির কাঁটার দিকে।

১. চাকাটি ঘড়ির কাঁটার দিকে ১৮০° কোণ তৈরি করে ঘোরে।^o ৪ সেকেন্ডের জন্য, তারপর চাকাটি ১৮০ ডিগ্রি ঘোরে।^o ২ সেকেন্ড ধরে ঘড়ির কাঁটার বিপরীত দিকে। কতগুলো? গড় কৌণিক বেগ চাকা?
আলোচনা
বড় = ৩^o/সেকেন্ড = …. আবর্তন/সেকেন্ড = ….. রেডিয়ান/সেকেন্ড ?
দিক = ঘড়ির কাঁটার দিকে।

তাৎক্ষণিক কৌণিক বেগ
তাৎক্ষণিক কৌণিক বেগের মান = খুব অল্প সময়ের ব্যবধানে অতিক্রান্ত কৌণিক বেগের মান।
সরল গতি বা রৈখিক গতিতে, উচ্চ গতি ডাকা যেতে পারে গতি কারেনা বৃহৎ স্থানচ্যুতি মূল্যে সমান দূরত্ব যদি এটি খুব ছোট হয়। বৃত্তাকার গতিতে, বৃহৎ কৌণিক বেগ ডাকা যেতে পারে কৌণিক বেগ কারেনা বৃহৎ কৌণিক সরণ মূল্যে সমান দূরত্ব কোণ যদি এটি খুব ছোট হয়।

গড় কৌণিক ত্বরণ
সমস্যার উদাহরণ.
১. একটি বায়ুকল প্রথমে কিছুক্ষণ স্থির থাকে, তারপর বাতাসের ধাক্কায় ঘুরতে শুরু করে। ২ সেকেন্ড পর এর কৌণিক বেগ বেড়ে ৯০° হয়।^o/s. কত? গড় কৌণিক ত্বরণ বায়ুকল?
আলোচনা
গড়ে, বৃহৎ কৌণিক বেগ বায়ুকল ৪৫টি বৃদ্ধি পেয়েছে^oপ্রতি ১ সেকেন্ডে।

২. প্রোপেলারটি প্রাথমিকভাবে ১৮০ কৌণিক বেগে ঘোরে।^o/s, ২ সেকেন্ড পরে এটি ঘোরা বন্ধ করে দেয়। কতগুলো গড় কৌণিক মন্দন বায়ুকল?
আলোচনা
গড়ে, বৃহৎ কৌণিক বেগ বায়ুকল ৯০টি কমানো হয়েছে^oপ্রতি ১ সেকেন্ডে।

তাৎক্ষণিক কৌণিক ত্বরণ
তাৎক্ষণিক কৌণিক ত্বরণকে সাধারণত কৌণিক ত্বরণ হিসাবে সংক্ষেপে লেখা হয়। তাৎক্ষণিক কৌণিক ত্বরণ হলো খুব অল্প সময়ের ব্যবধানে কৌণিক বেগের পরিবর্তন। গাণিতিকভাবে:

বৃত্তীয় গতির পর্যায়কাল এবং কম্পাঙ্ক
পর্যায়কাল হলো একটি কণার একবার আবর্তন সম্পন্ন করতে প্রয়োজনীয় সময়, অপরদিকে কম্পাঙ্ক হলো প্রতি সেকেন্ডে আবর্তনের সংখ্যা।
পর্যায়কাল ও কম্পাঙ্কের মধ্যকার সম্পর্কটি নিম্নলিখিত সমীকরণের মাধ্যমে প্রকাশ করা হয়:
f = 1 / T
পর্যায়কালের আন্তর্জাতিক একক হলো সেকেন্ড এবং কম্পাঙ্কের আন্তর্জাতিক একক হলো ১/সেকেন্ড বা হার্টজ।

বেগ এবং কৌণিক বেগ
বৃত্তাকার পথে গতিশীল কোনো কণার স্পর্শকীয় বেগ এবং কৌণিক বেগ পর্যায়কাল ও কম্পাঙ্কের মাধ্যমে প্রকাশ করা যায়।
বৃত্তাকার গতিতে চলমান কোনো কণার বেগের মান নিম্নলিখিত সমীকরণ দ্বারা প্রকাশ করা হয়:
বৃত্তাকার পথে গতিশীল কোনো কণার কৌণিক বেগের মান নিম্নলিখিত সমীকরণ দ্বারা প্রকাশ করা হয়:
তথ্য :

সমস্যার উদাহরণ

১. যথাক্রমে ২০ এবং ৫০টি দাঁতযুক্ত দুটি চাকা A এবং B এমনভাবে সংস্পর্শে রাখা হয়েছে যাতে প্রতিটি গিয়ার জোড়বদ্ধ থাকে। যদি চাকা A এক সেকেন্ডে ৫০ বার ঘোরে, তবে চাকা B-এর কৌণিক বেগ হবে…

আলোচনা

এটা জানা আছে:

চাকা A-তে দাঁতের সংখ্যা = 20

চাকা B-তে দাঁতের সংখ্যা = ৫০

চাকা A-এর কৌণিক বেগ ( _ωA ) = ৫০ ঘূর্ণন/সেকেন্ড

১ ঘূর্ণন = ২π রেডিয়ান

(৫০)(২π রেডিয়ান)/সেকেন্ড = ১০০π রেডিয়ান/সেকেন্ড

প্রশ্ন: চাকা B-এর কৌণিক বেগ ( ω _B )

উত্তর:

চাকা A-এর রৈখিক গতি: v _A = r _A ω _A

চাকা B-এর রৈখিক বেগ: v _B = r _B ω _B

চাকা দুটি পরস্পরের সংস্পর্শে থাকায় তাদের রৈখিক গতিবেগ একই।

v _A = v _B

r _A ω _A = r _B ω _B

(20)( 100π rad/s) = (50)(ω _B )

(2)(100π rad/s) = (5)(ω _B )

(2)(20π rad/s) = ω _B

ω _B = 40π rad/s

৩. ২০১৭ সালের এসএমএ/এমএ জাতীয় পরীক্ষার প্রশ্নাবলী

নিচের ছবিটি দেখুন।

একটি মোটরসাইকেল রাস্তার ধারের সাথে α (tan α = 2/5) কোণে একটি বাঁকে চলছে । মোটরসাইকেলটিকে পিছলে যাওয়া থেকে বাঁচাতে এর সর্বোচ্চ গতিবেগ হলো 20 ^ms⁻¹ । বাঁকটির ব্যাসার্ধ কত?

এ. ৬০ মিটার

খ. ৮০ মি

সি. ১০০ মি

ডি. ১২০ মি

পূর্ব 400 মিটার

আলোচনা

এটা জানা যায় যে:

সর্বোচ্চ গতি (v) = ২০ মি/সে

স্পর্শক α = ২/৫

স্থির ঘর্ষণ সহগ (μs ₎ = ট্যানজেন্ট α = 2/5

প্রশ্ন: বাঁকের ব্যাসার্ধ (r)

উত্তর :

কেন্দ্রমুখী ত্বরণের সূত্র:

তথ্য :

a _s = কেন্দ্রমুখী ত্বরণ, v = বেগ, r = বক্রতার ব্যাসার্ধ

গাড়ি মোড় নেওয়ার সময় এর উপর ক্রিয়াশীল একমাত্র লব্ধি অনুভূমিক বল হলো স্থিত ঘর্ষণ। স্থিত ঘর্ষণের সূত্রটি হলো:

তথ্য :

f _s = স্থিত ঘর্ষণ বল, μ _s = স্থিত ঘর্ষণ গুণাঙ্ক, w = ওজন, m = ভর, g = অভিকর্ষজ ত্বরণ

বৃত্তীয় গতির জন্য নিউটনের দ্বিতীয় সূত্র:

সঠিক উত্তরটি হলো B।

৩. ২০১৭ সালের এসএমএ/এমএ জাতীয় পরীক্ষার প্রশ্নাবলী

চারটি চাকা নিচে দেখানো অনুযায়ী সংযুক্ত আছে!

ব্যাসার্ধ R_A = ১০ সেমি, R_B = ১০ সেমি, R_C = ২ সেমি এবং R_D = ৫ সেমি এবং চাকা A ৩ মি/সে রৈখিক গতিতে ঘোরে।^-1তাহলে, D চাকার কৌণিক বেগ হলো…

আলোচনা

এটা জানা যায় যে:

R _A = 6 সেমি = 0,06 মি, R _B = 3 সেমি = 0,03 মি, R _C = 2 সেমি = 0,02 মি, R _D = 5 সেমি = 0,05 মি।

v _A = 3 ms ^-1

প্রশ্ন: চাকা D-এর কৌণিক বেগ ( ω _D )

উত্তর :

চাকা A-এর কৌণিক বেগ:

v _A = r _A ω _A

ω _A = v _A / r _A = 3 / 0,06 = 50 rad/s

চাকা A এবং B একই কৌণিক বেগে ঘোরে।

ω _A = ω _B = ৫০ রেডিয়ান/সেকেন্ড

চাকা B-এর কৌণিক বেগ:

ω _B = ৫০ রেডিয়ান/সেকেন্ড

চাকা B-এর রৈখিক বেগ:

v _B = r _B ω _B

v _B = (0,03)(50 rad/s)

v _B = 1,5 মি/সে

চাকা B এবং চাকা C-এর রৈখিক গতিবেগ একই।

v _B = v _C = 1,5 মি/সে

চাকা C এবং চাকা D-এর রৈখিক গতিবেগ একই।

v _C = v _D = 1,5 মি/সে

চাকা D-এর কৌণিক বেগ:

ω _D = v _D / r _D = 1,5 / 0,05 = 30 rad/s