প্রোডাক্ট মোমেন্ট কোরিলেশনের উদাহরণমূলক প্রশ্ন ও আলোচনা
প্রোডাক্ট-মোমেন্ট কোরিলেশন, যা পিয়ারসন কোরিলেশন নামেও পরিচিত, হলো একটি পরিসংখ্যানগত পদ্ধতি যা দুটি চলকের মধ্যে একটি রৈখিক সম্পর্কের শক্তি এবং দিক পরিমাপ করতে ব্যবহৃত হয়। এই পদ্ধতিটি একাডেমিক গবেষণা এবং ব্যবসায়িক বিশ্লেষণ থেকে শুরু করে প্রাকৃতিক বিজ্ঞানের পরীক্ষা-নিরীক্ষার মূল্যায়ন পর্যন্ত বিভিন্ন ক্ষেত্রে উপযোগী। এই নিবন্ধে প্রোডাক্ট-মোমেন্ট কোরিলেশন গণনার জন্য কয়েকটি উদাহরণ সমস্যা এবং তাদের সমাধান নিয়ে আলোচনা করা হবে।
পেন্ডাহুলুয়ান
উদাহরণ প্রশ্নগুলিতে যাওয়ার আগে, প্রোডাক্ট মোমেন্ট কোরিলেশনের মৌলিক ধারণাটি বুঝে নেওয়া ভালো। পিয়ারসন কোরিলেশন কোএফিসিয়েন্ট (r) গণনা করার জন্য ব্যবহৃত সাধারণ সূত্রটি হলো:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
কোথায়:
– \( n \) হলো ডেটা জোড়ের সংখ্যা।
– \( \sum{XY} \) হলো \( X \) এবং \( Y \) এর গুণফলের যোগফল।
– \( \sum{X} \) হলো \( X \) চলকগুলোর যোগফল।
– \( \sum{Y} \) হলো \( Y \) চলকগুলোর যোগফল।
– \( \sum{X^2} \) হলো \( X \) চলকটির বর্গগুলোর যোগফল।
– \( \sum{Y^2} \) হলো \( Y \) চলকটির বর্গগুলোর যোগফল।
পিয়ারসনের সহসম্পর্ক গুণাঙ্ক (\( r \)) সর্বদা -১ এবং ১ এর মধ্যে থাকে। একটি ধনাত্মক সহসম্পর্ক নির্দেশ করে যে উভয় চলক একই দিকে অগ্রসর হয়, অপরদিকে একটি ঋণাত্মক সহসম্পর্ক নির্দেশ করে যে একটি চলক বাড়লে অন্যটি কমে যায়। যদি \( r = 0 \) হয়, তবে দুটি চলকের মধ্যে কোনো রৈখিক সহসম্পর্ক থাকে না।
উদাহরণ প্রশ্ন ৩
উপাত্ত
নিম্নলিখিতটি হলো ৫ জন শিক্ষার্থীর গণিত ও পদার্থবিজ্ঞান পরীক্ষার নম্বরের তথ্য:
| শিক্ষার্থী | গণিত (দশম) | পদার্থবিজ্ঞান (দ্বিতীয়) |
|——-|——————-|————-|
| ৫ | ৮০ | ৮৮ |
| ৫ | ৮০ | ৮৮ |
| ৫ | ৮০ | ৮৮ |
| ৫ | ৮০ | ৮৮ |
| ৫ | ৮০ | ৮৮ |
সমাধানের পদক্ষেপ
১. গুরুত্বপূর্ণ উপাদানসমূহ গণনা করা:
– \( \sum{X} \) = 85 + 78 + 85 + 70 + 80 = 398
– \( \sum{Y} \) = 90 + 85 + 80 + 70 + 88 = 413
– \( \sum{XY} \) = (85\ 90) + (78\ 85) + (85\ 80) + (70\ 70) + (80\ 88) = 7650 + 6630 + 6800 + 4900 + 7040 = 33020
– \( \sum{X^2} \) = (85^2) + (78^2) + (85^2) + (70^2) + (80^2) = 7225 + 6084 + 7225 + 4900 + 6400 = 31834
– \( \sum{Y^2} \) = (90^2) + (85^2) + (80^2) + (70^2) + (88^2) = 8100 + 7225 + 6400 + 4900 + 7744 = 34369
২. সূত্রে প্রবেশ করান:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{5(33020) – (398)(413)}{\sqrt{[5(31834) – (398)^2][5(34369) – (413)^2]}} \]
৩. ফলাফল গণনা:
– লব: \( 5(33020) – (398)(413) = 165100 – 164474 = 626 \)
– হর:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 5(31834) – (398)^2 = 159170 – 158404 = 766 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 5(34369) – (413)^2 = 171845 – 170569 = 1276 \)
– \( \sqrt{766 \times 1276} \approx \sqrt{976856} \approx 989.36 \)
\[ r = \frac{626}{989.36} \approx 0.633 \]
সুতরাং, গণিত ও পদার্থবিজ্ঞান পরীক্ষার নম্বরের মধ্যে পিয়ারসন সহসম্পর্ক গুণাঙ্ক হলো ০.৬৩৩, যা নির্দেশ করে যে এই দুটি চলকের মধ্যে একটি মাঝারি ধনাত্মক সহসম্পর্ক রয়েছে।
উদাহরণ প্রশ্ন ৩
উপাত্ত
একটি কোম্পানির ৬ মাসের বিক্রয় মূল্য এবং বিজ্ঞাপন ব্যয়ের তথ্য নিচে দেওয়া হলো:
| মাস | বিজ্ঞাপন (X) | বিক্রয় (Y) |
|——-|————–|——————|
| ৬ | ২৫০০ | ৩২০০ |
| ৬ | ২৫০০ | ৩২০০ |
| ৬ | ২৫০০ | ৩২০০ |
| ৬ | ২৫০০ | ৩২০০ |
| ৬ | ২৫০০ | ৩২০০ |
| ৬ | ২৫০০ | ৩২০০ |
সমাধানের পদক্ষেপ
১. গুরুত্বপূর্ণ উপাদানসমূহ গণনা করা:
– \( \sum{X} \) = 2000 + 1800 + 2200 + 2400 + 2300 + 2500 = 13200
– \( \sum{Y} \) = 2500 + 2100 + 2700 + 2900 + 3000 + 3200 = 16400
– \( \sum{XY} \) = (2000\ 2500) + (1800\ 2100) + (2200\ 2700) + (2400\ 2900) + (2300\ 3000) + (2500\ 3200) = 5000000 + 3780000 + 5940000 + 6960000 + 6900000 + 8000000 = 36580000
– \( \sum{X^2} \) = (2000^2) + (1800^2) + (2200^2) + (2400^2) + (2300^2) + (2500^2) = 4000000 + 3240000 + 4840000 + 5760000 + 5290000 + 6250000 = 29380000
– \( \sum{Y^2} \) = (2500^2) + (2100^2) + (2700^2) + (2900^2) + (3000^2) + (3200^2) = 6250000 + 4410000 + 7290000 + 8410000 + 9000000 + 10240000 = 45590000
২. সূত্রে প্রবেশ করান:
\[ r = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{\sqrt{[n\sum{X^2} – (\sum{X})^2][n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2]}} \]
\[ r = \frac{6(36580000) – (13200)(16400)}{\sqrt{[6(29380000) – (13200)^2][6(45590000) – (16400)^2]}} \]
৩. ফলাফল গণনা:
– লব: \( 6(36580000) – (13200)(16400) = 219480000 – 216480000 = 3000000 \)
– হর:
– \( n\sum{X^2} – (\sum{X})^2 = 6(29380000) – (13200)^2 = 176280000 – 174240000 = 2040000 \)
– \( n\sum{Y^2} – (\sum{Y})^2 = 6(45590000) – (16400)^2 = 273540000 – 268960000 = 4580000 \)
– \( \sqrt{2040000 \times 4580000} \approx \sqrt{9343200000000} \approx 3056246.20 \)
\[ r = \frac{3000000}{3056246.20} \approx 0.981 \]
সুতরাং, বিজ্ঞাপন ব্যয় এবং বিক্রয় মূল্যের মধ্যে পিয়ারসন সহসম্পর্ক গুণাঙ্ক হলো ০.৯৮১, যা নির্দেশ করে যে এই দুটি চলকের মধ্যে একটি অত্যন্ত শক্তিশালী ধনাত্মক সহসম্পর্ক বিদ্যমান।
উপসংহার
দুটি চলকের মধ্যে রৈখিক সম্পর্ক বোঝার জন্য পিয়ারসন সহসম্পর্ক গুণাঙ্ক (\(r\)) একটি অত্যন্ত দরকারি উপায়। প্রদত্ত উদাহরণগুলোতে আমরা দেখব কীভাবে \(r\) এর মান গণনা করতে হয় এবং এর ব্যাখ্যা করতে হয়। উচ্চতর সহসম্পর্ক (১ বা -১ এর কাছাকাছি) একটি শক্তিশালী সম্পর্ক নির্দেশ করে, অপরদিকে নিম্নতর সহসম্পর্ক (০ এর কাছাকাছি) একটি দুর্বল সম্পর্ক নির্দেশ করে। এটি মনে রাখা গুরুত্বপূর্ণ যে সহসম্পর্ক কার্যকারণ সম্পর্ক বোঝায় না; এটি কেবল নির্দেশ করে যে দুটি চলকের মধ্যে একটি সম্পর্ক বিদ্যমান।
