নির্ণয় সহগের উপর একটি আলোচনা প্রশ্নের উদাহরণ
নির্ণয় সহগ (R²) হলো রিগ্রেশন বিশ্লেষণের একটি গুরুত্বপূর্ণ প্যারামিটার, যা নির্দেশ করে একটি রিগ্রেশন মডেল ডেটার প্রকৃত পরিবর্তনশীলতাকে কতটা ভালোভাবে ব্যাখ্যা করে। এই প্রবন্ধে আমরা একটি বিস্তারিত উদাহরণ ও আলোচনার মাধ্যমে নির্ণয় সহগের ধারণাটি ব্যাখ্যা করব।
নির্ণয় সহগের মৌলিক ধারণা
নির্ণয় সহগ বা \( R^2 \) কে ০ থেকে ১ এর স্কেলে পরিমাপ করা হয়, যেখানে:
– \( R^2 = 0 \) নির্দেশ করে যে রিগ্রেশন মডেলটি ডেটার পরিবর্তনশীলতা মোটেও ব্যাখ্যা করতে সক্ষম নয়।
– \( R^2 = 1 \) দেখায় যে রিগ্রেশন মডেলটি ডেটার সমস্ত পরিবর্তনশীলতা নিখুঁতভাবে ব্যাখ্যা করতে সক্ষম।
নির্ণয় সহগ গণনা করার মৌলিক সূত্রটি হলো:
\[ R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
কোথায়:
– SSR (Sum of Squared Residuals) হলো মডেল দ্বারা পূর্বাভাসিত মান এবং প্রকৃত মানের মধ্যকার পার্থক্যের বর্গগুলোর সমষ্টি।
– এসএসটি (টোটাল সাম অফ স্কোয়ার্স) হলো প্রকৃত মান এবং প্রকৃত মানগুলোর গড়ের মধ্যকার পার্থক্যের বর্গগুলোর যোগফল।
সমস্যার উদাহরণ
নির্ণয় সহগের গণনা পদ্ধতি আরও গভীরভাবে বোঝার জন্য চলুন একটি উদাহরণ সমস্যা নিয়ে আলোচনা করা যাক।
সমস্যার উদাহরণ:
ধরা যাক, আমাদের কাছে ১০ জন ছাত্রছাত্রীর অধ্যয়নের সময় (X) এবং পরীক্ষার নম্বর (Y) সম্পর্কিত তথ্য আছে:
| শিক্ষার্থী | অধ্যয়নের সময় (X) | পরীক্ষার স্কোর (Y) |
|——-|——————–|——————–|
| ৯ | ৩ | ৬২ |
| ৯ | ৩ | ৬২ |
| ৯ | ৩ | ৬২ |
| ৯ | ৩ | ৬২ |
| ৯ | ৩ | ৬২ |
| ৯ | ৩ | ৬২ |
| ৯ | ৩ | ৬২ |
| ৯ | ৩ | ৬২ |
| ৯ | ৩ | ৬২ |
| ১০ | ৪ | ৭৮ |
আমরা একটি সরল রৈখিক রিগ্রেশন মডেল তৈরি করব যেখানে অধ্যয়নের সময় (X)-এর উপর ভিত্তি করে পরীক্ষার স্কোর (Y) অনুমান করা হবে।
আলোচনা
১. একটি সরল রৈখিক রিগ্রেশন মডেল তৈরি করা
একটি সরল রৈখিক রিগ্রেশন মডেলের রূপটি হলো:
\[ Y = a + bX \]
কোথায়:
– \( Y \) হলো প্রত্যাশিত পরীক্ষার স্কোর।
– \( X \) হলো অধ্যয়নের ঘণ্টার সংখ্যা।
– \( a \) হলো ছেদক (X = 0 হলে Y অক্ষের উপর অবস্থিত বিন্দু)।
– \( b \) হলো ঢাল (রিগ্রেশন রেখার নতি)।
\( a \) এবং \( b \) পরামিতিগুলো গণনা করার জন্য, আমরা নিম্নলিখিত সূত্রটি ব্যবহার করি:
\[ b = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{n(\sum{X^2}) – (\sum{X})^2} \]
\[ a = \frac{\sum{Y} – b(\sum{X})}{n} \]
যেখানে \( n \) হলো ডেটার সংখ্যা (এই ক্ষেত্রে n = 10)।
সারণি থেকে আমরা গণনা করতে পারি:
– \(\sum{X} = 36\)
– \(\sum{Y} = 704\)
– \(\sum{X^2} = 140\)
– \(\sum{Y^2} = 50428\)
– \(\sum{XY} = 2576\)
প্রথমে b গণনা করা যাক:
\[ b = \frac{10(2576) – (36)(704)}{10(140) – (36)^2} \]
\[ b = \frac{25760 – 25344}{1400 – 1296} \]
\[ b = \frac{416}{104} \]
\[ b = 4 \]
তারপর, আমরা a গণনা করি:
\[ a = \frac{704 – 4(36)}{10} \]
\[ a = \frac{704 – 144}{10} \]
\[ a = \frac{560}{10} \]
\"a = 56 \]
সুতরাং, আমরা যে রৈখিক রিগ্রেশন মডেলটি পাই তা হলো:
\[ Y = 56 + 4X \]
২. পূর্বাভাসিত মান (Y') গণনা করুন।
এরপরে, আমরা প্রতিটি \( X \) এর জন্য পূর্বাভাসিত মান \( Y' \) গণনা করি:
শিক্ষার্থী | অধ্যয়নের সময় (X) | পরীক্ষার স্কোর (Y) | প্রত্যাশিত স্কোর (Y') |
|——-|——————–|——————–|————————-|
| 1 | 2 | 58 | \( 56 + 4(2) = 64 \) |
| 2 | 3 | 64 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 3 | 4 | 70 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
| 4 | 5 | 85 | \( 56 + 4(5) = 76 \) |
| 5 | 2 | 57 | \( 56 + 4(2) = 64 \) |
| 6 | 3 | 68 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 7 | 4 | 72 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
| 8 | 5 | 90 | \( 56 + 4(5) = 76 \) |
| 9 | 3 | 62 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 10 | 4 | 78 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
৩. এসএসআর এবং এসএসটি গণনা
এরপর, আমরা \( R^2 \) পাওয়ার জন্য SSR এবং SST গণনা করি।
এসএসআর:
\[ SSR = \sum{(Y – Y')^2} \]
\[ SSR = (58 – 64)^2 + (64 – 68)^2 + (70 – 72)^2 + (85 – 76)^2 + (57 – 64)^2 + (68 – 68)^2 + (72 – 72)^2 + (90 – 76)^2 + (62 – 68)^2 + (78 – 72)^2 \]
\[ SSR = 36 + 16 + 4 + 81 + 49 + 0 + 0 + 196 + 36 + 36 \]
[ SSR = 454 ]
SST:
\[ SST = \sum{(Y – \bar{Y})^2} \]
কোথায়:
\[ \bar{Y} = \frac{\sum{Y}}{n} = \frac{704}{10} = 70.4 \]
\[ SST = (58 – 70.4)^2 + (64 – 70.4)^2 + (70 – 70.4)^2 + (85 – 70.4)^2 + (57 – 70.4)^2 + (68 – 70.4)^2 + (72 – 70.4)^2 + (90 – 70.4)^2 + (62 – 70.4)^2 + (78 – 70.4)^2 \]
\[ SST = 153.76 + 40.96 + 0.16 + 213.16 + 178.56 + 5.76 + 2.56 + 384.16 + 70.56 + 57.76 \]
[ সমুদ্রপৃষ্ঠের তাপমাত্রা = ১১০৭.৪৪ ]
৪. নির্ণয় সহগ \( R^2 \) গণনা করা:
\[ R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
\[ R^2 = 1 – \frac{454}{1107.44} \]
\[ R^2 = 1 – 0.41 \]
\[ R^2 = 0.59 \]
উপসংহার
উপরোক্ত গণনা থেকে, আমরা একটি নির্ণয় সহগ (R² = ০.৫৯) পেয়েছি। এটি নির্দেশ করে যে, আমাদের তৈরি করা রৈখিক রিগ্রেশন মডেলটি অধ্যয়নের সময়ের উপর ভিত্তি করে পরীক্ষার নম্বরের তারতম্যের প্রায় ৫৯% ব্যাখ্যা করতে পারে। অবশিষ্ট ৪১% তারতম্য মডেলে অন্তর্ভুক্ত নয় এমন অন্যান্য কারণের জন্য হতে পারে।
উপরের ধাপ ও গণনাগুলো বোঝার মাধ্যমে আমরা দেখতে পাই যে, আমাদের তৈরি করা রিগ্রেশন মডেলটি ডেটার প্রকৃত পরিবর্তনশীলতাকে কতটা ভালোভাবে ব্যাখ্যা করে, তা মূল্যায়নে কোএফিসিয়েন্ট অফ ডিটারমিনেশন-এর গুরুত্ব অপরিসীম। এটি পরিসংখ্যানগত বিশ্লেষণ এবং ডেটা মডেলিং-এর একটি অত্যন্ত দরকারি উপকরণ।
