Дысперсія і стандартнае адхіленне адзінкавых дадзеных
Статыстыка — гэта навука, якая вывучае збор, аналіз, інтэрпрэтацыю, прадстаўленне і арганізацыю дадзеных. Адзін з важных аспектаў статыстыкі — гэта тое, як мы вымяраем і разумеем зменлівасць дадзеных. Дзве найважнейшыя меры зменлівасці — гэта дысперсія і стандартнае адхіленне. У гэтым артыкуле падрабязна абмяркуюцца дысперсія і стандартнае адхіленне, з акцэнтам на адзін набор дадзеных, тлумачацца азначэнні, формулы, этапы разліку і прыводзяцца практычныя прыклады для ўдакладнення паняццяў.
Вызначэнне дысперсіі і стандартнага адхілення
Varian
Дысперсія — гэта мера таго, наколькі дадзеныя адхіляюцца ад сярэдняга значэння. Яна дае агульнае ўяўленне аб разнастайнасці або варыяцыі ў наборы дадзеных. У матэматычных тэрмінах дысперсія — гэта сярэдняе значэнне квадратаў адхіленняў кожнага элемента дадзеных ад яго сярэдняга значэння.
Стандартнае адхіленне
Стандартнае адхіленне, таксама вядомае як стандартнае адхіленне, — гэта квадратны корань з дысперсіі. Яно дае інфармацыю пра размеркаванне дадзеных у тых жа адзінках вымярэння, што і зыходныя дадзеныя, што спрашчае іх інтэрпрэтацыю ў рэальных умовах.
Формулы і разлікі
Varian
Каб вылічыць дысперсію (σ^2) аднаго набору дадзеных памерам n, можна выкарыстаць наступную формулу:
\[ \sigma^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2}{n} \]
Дзе:
– \(x_i \) — i-е значэнне дадзеных.
– \( \bar{x} \) — сярэдняе значэнне або ўсярэдняе значэнне дадзеных.
– n — колькасць дадзеных у наборы.
– (x_i – \bar{x})^2 — гэта квадрат рознасці паміж кожнымі дадзенымі і іх сярэднім значэннем.
Стандартнае адхіленне
Стандартнае адхіленне (σ) — гэта квадратны корань з дысперсіі, таму формула мае выгляд:
\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]
Этапы разліку
Крок 1: Разлічыце сярэдняе значэнне дадзеных (сярэдняе)
Першы крок - вылічыць сярэдняе значэнне (сярэдняе) набору дадзеных. Сярэдняе значэнне вылічваецца шляхам складання ўсіх значэнняў дадзеных і дзялення на колькасць значэнняў дадзеных.
\[ \bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n} \]
Крок 2: Вылічыце розніцу кожнага набору дадзеных у параўнанні са сярэднім значэннем
Пасля атрымання сярэдняга значэння наступным крокам з'яўляецца вылічэнне розніцы паміж кожным значэннем дадзеных і сярэднім значэннем (адхіленне).
\[d_i = x_i – \bar{x} \]
Крок 3: Узвядзенне кожнага адхілення ў квадрат
Далей, узвядзіце кожнае адхіленне ў квадрат.
\[d_i^2 = (x_i – \bar{x})^2 \]
Крок 4: Падсумаванне ўсіх квадратаў адхіленняў
Складзіце ўсе квадраты вынікаў з папярэдняга кроку.
\[ \sum d_i^2 = \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \]
Крок 5: Разлік дысперсіі
Падзяліце суму квадратаў адхіленняў на колькасць дадзеных (n), каб атрымаць дысперсію.
\[ \sigma^2 = \frac{\sum d_i^2}{n} \]
Крок 6: Разлічыце стандартнае адхіленне
Нарэшце, вылічыце стандартнае адхіленне, узяўшы квадратны корань з дысперсіі.
\[ \sigma = \sqrt{\sigma^2} \]
Кантох Перхітунган
Каб удакладніць канцэпцыю разліку дысперсіі і стандартнага адхілення, разгледзім наступны прыклад. Дапусцім, у нас ёсць наступны адзін набор дадзеных: 4, 8, 6, 5, 3.
Крок 1: Разлічыце сярэдняе значэнне дадзеных
\[ \bar{x} = \frac{4 + 8 + 6 + 5 + 3}{5} = \frac{26}{5} = 5.2 \]
Крок 2: Вылічыце розніцу кожнага набору дадзеных у параўнанні са сярэднім значэннем
Розніца паміж кожным значэннем дадзеных і сярэднім значэннем:
– (4 – 5.2) = -1.2
– (8 – 5.2) = 2.8
– (6 – 5.2) = 0.8
– (5 – 5.2) = -0.2
– (3 – 5.2) = -2.2
Крок 3: Узвядзенне кожнага адхілення ў квадрат
Квадрат кожнага адхілення:
– (-1.2)^2 = 1.44
– 2.8^2 = 7.84
– 0.8^2 = 0.64
– (-0.2)^2 = 0.04
– (-2.2)^2 = 4.84
Крок 4: Падсумаванне ўсіх квадратаў адхіленняў
\[ \sum d_i^2 = 1.44 + 7.84 + 0.64 + 0.04 + 4.84 = 14.8 \]
Крок 5: Разлік дысперсіі
\[ \sigma^2 = \frac{14.8}{5} = 2.96 \]
Крок 6: Разлічыце стандартнае адхіленне
\[ \sigma = \sqrt{2.96} \прыблізна 1.72 \]
Такім чынам, у гэтым прыкладзе дысперсія дадзеных складае 2.96, а стандартнае адхіленне — каля 1.72.
Інтэрпрэтацыя
Дысперсія і стандартнае адхіленне даюць важную інфармацыю аб распаўсюджванні дадзеных. У прыведзеным вышэй прыкладзе дысперсія 2.96 паказвае, што сярэдняе квадратнае адхіленне значэнняў дадзеных ад сярэдняга значэння складае 2.96. Стандартнае адхіленне 1.72 паказвае, што ў сярэднім значэнні дадзеных адхіляюцца ад сярэдняга на 1.72 адзінкі.
Стандартнае адхіленне лягчэй інтэрпрэтаваць, бо яно мае тыя ж адзінкі вымярэння, што і зыходныя дадзеныя. Напрыклад, у кантэксце статыстыкі даходаў, калі стандартнае адхіленне дадзеных складае 500 долараў, гэта азначае, што сярэдні даход адхіляецца на 500 долараў ад сярэдняга даходу.
Прымяненне ў паўсядзённым жыцці
Разуменне дысперсіі і стандартнага адхілення можа быць ужыта ў розных галінах. У фінансах стандартнае адхіленне можа быць выкарыстана для вымярэння інвестыцыйнага рызыкі. У адукацыі яго можна выкарыстоўваць для ацэнкі варыяцый у выніках тэстаў паміж студэнтамі. У вытворчасці яно можа дапамагчы ў кантролі якасці шляхам вымярэння варыяцый вытворчасці.
Выснова
Дысперсія і стандартнае адхіленне — два найважнейшыя статыстычныя інструменты для разумення зменлівасці ў наборы дадзеных. Вылічваючы дысперсію, мы можам вызначыць, наколькі размеркаваны дадзеныя. Стандартнае адхіленне, якое з'яўляецца квадратным коранем з дысперсіі, прапануе больш інтуітыўна зразумелую інтэрпрэтацыю і вымяраецца ў тых жа адзінках, што і зыходныя дадзеныя. Разумеючы і ўмеючы вылічваць гэтыя дзве меры, мы можам лепш аналізаваць дадзеныя і прымаць больш абгрунтаваныя рашэнні.
