Формула Бернулі: прынцыпы і прымяненне
Прынцып Бернулі — гэта фундаментальная канцэпцыя механікі вадкасці, адкрытая швейцарскім навукоўцам Даніэлем Бернулі ў 18 стагоддзі. Гэты прынцып тлумачыць сувязь паміж хуткасцю патоку вадкасці і ціскам у гэтым патоку. У гэтым артыкуле падрабязна абмяркуюцца формула Бернулі, яе асноўныя паняцці, матэматычныя высновы, прыклады разлікаў і яе прымяненне ў паўсядзённым жыцці.
Разуменне формулы Бернулі
Формула Бернулі сцвярджае, што ў ідэальным патоку вадкасці (без трэння) колькасць механічнай энергіі (патэнцыяльнай энергіі, кінетычнай энергіі і ціску) на адзінку аб'ёму пастаянная на ўсім працягу патоку. Гэтая формула мае наступны выгляд:
\[ P + \frac{1}{2} \rho v^2 + \rho gh = \text{канстанта} \]
Дзе:
– \(P \) — ціск вадкасці (у паскалях, Па),
– \( \ρ \) — шчыльнасць вадкасці (у кілаграмах на кубічны метр, кг/м³),
– \(v \) — хуткасць патоку вадкасці (у метрах у секунду, м/с),
– \(g \) — паскарэнне сілы падзення на нішто (у метрах у секунду ў квадраты, м/с²),
– \(h \) — вышыня вадкасці над эталоннай адзнакай (у метрах, м).
Прынцып Бернулі
Прынцып Бернулі заснаваны на законе захавання энергіі. Пры патоку вадкасці агульная энергія ў сістэме павінна заставацца пастаяннай, калі да сістэмы не дадаецца і не адбіраецца энергія. Агульная энергія на адзінку аб'ёму складаецца з:
1. Энергія ціску (\( P \)): Энергія, выкліканая ціскам вадкасці.
2. Кінетычная энергія (\( \frac{1}{2} \rho v^2 \)): энергія, выкліканая рухам вадкасці.
3. Гравітацыйная патэнцыяльная энергія (\( \rho gh \)): энергія, выкліканая становішчам вадкасці ў гравітацыйным полі.
Матэматычны вывад формулы Бернулі
Каб зразумець вывад формулы Бернулі, разгледзім невялікі элемент вадкасці, які рухаецца ў патоку са хуткасцю \(v \) з пункта 1 у пункт 2. Калі выказаць здагадку, што няма страт энергіі з-за трэння або цяпла, поўная энергія ў пунктах 1 і 2 павінна быць аднолькавай.
Поўная энергія ў кропцы 1 (\( E_1 \)) роўная:
\[ E_1 = P_1 + \frac{1}{2} \ρv_1^2 + \ρgh_1 \]
Поўная энергія ў кропцы 2 (\( E_2 \)) роўная:
\[ E_2 = P_2 + \frac{1}{2} \ρv_2^2 + \ρgh_2 \]
Паколькі поўная энергія павінна быць пастаяннай:
\[ P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho gh_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho gh_2 \]
Гэта тое, што называецца формулай Бернулі.
Прыклад разліку па формуле Бернулі
Дапусцім, у нас ёсць гарызантальная труба, па якой вада цячэ з пункта А ў пункт Б. У пункце А хуткасць вады складае 2 м/с, а ціск — 150 000 Па. У пункце Б хуткасць вады складае 4 м/с. Шчыльнасць вады — 1000 кг/м³. Разлічыце ціск у пункце Б.
Выкарыстоўваем формулу Бернулі:
\[ P_A + \frac{1}{2} \ro v_A^2 + \ro gh_A = P_B + \frac{1}{2} \ro v_B^2 + \ro gh_B \]
Паколькі труба гарызантальная, \(h_A = h_B \), таму \(\rho gh \) у абедзвюх кропках можна занядбаць:
\[ P_A + \frac{1}{2} \ro v_A^2 = P_B + \frac{1}{2} \ro v_B^2 \]
Падстаўце вядомыя значэнні:
\[ 150 000 + \frac{1}{2} \times 1000 \times (2)^2 = P_B + \frac{1}{2} \times 1000 \times (4)^2 \]
Вылічыце кінетычную энергію ў абедзвюх кропках:
\[150 000 + 2000 = P_B + 8000 \]
\[152 000 = P_B + 8000 \]
\[P_B = 152 000 – 8000 \]
\[ P_B = 144 000 \, \text{Па} \]
Такім чынам, ціск у пункце B складае 144 000 Па.
Прымяненне прынцыпу Бернулі
1. Самалёты: прынцып Бернулі выкарыстоўваецца ў канструкцыі крылаў самалётаў. Форма крыла самалёта распрацавана такім чынам, што хуткасць паветра над крылом большая, чым пад ім. У выніку ціск над крылом ніжэйшы, а пад крылом вышэйшы, што стварае пад'ёмную сілу, якая дазваляе самалёту ляцець.
2. Гоначныя аўтамабілі: Аэрадынамічны дызайн гоначных аўтамабіляў выкарыстоўвае прынцып Бернулі для павышэння хуткасці і ўстойлівасці. Спойлеры і дыфузары выкарыстоўваюцца для рэгулявання паветранага патоку, павялічваючы прыціскную сілу, што паляпшае счапленне аўтамабіля з дарогай.
3. Крывацёк у арганізме: прынцып Бернулі таксама дастасоўны да крывацёку праз крывяносныя пасудзіны. Розніцу ў хуткасці крывацёку і ціску ў розных частках цела можна вывучаць для дыягностыкі захворванняў.
4. Вымяральнік Вентуры: прылада, якая выкарыстоўваецца для вымярэння хуткасці патоку вадкасці ў трубе. Вымяральнік Вентуры мае звужаную частку, што прыводзіць да павелічэння хуткасці патоку вадкасці і зніжэння ціску ў адпаведнасці з прынцыпам Бернулі. Розніца ціскаў паміж шырокай і вузкай часткамі выкарыстоўваецца для разліку хуткасці патоку.
5. Распыляльнікі парфумы: Распыляльнікі парфумы або вадкія распыляльнікі выкарыстоўваюць прынцып Бернулі. Калі паветра прадзімаецца праз вузкую трубку, ціск паветра вакол канца трубкі памяншаецца, уцягваючы парфумерную вадкасць уверх праз трубку і распыляючы яе ў выглядзе дробнага туману.
Фактары, якія ўплываюць на прымяненне прынцыпу Бернулі
1. Трэнне: Насамрэч, вадкасці не ідэальныя, і заўсёды існуе ўнутранае трэнне (глейкасць), якое выклікае страту энергіі. Гэта робіць прымяненне прынцыпу Бернулі больш складаным.
2. Сціскальнасць вадкасці: прынцып Бернулі лягчэй ужываць да несціскальных вадкасцей (напрыклад, вады). Для газаў або сціскальных вадкасцей раўнанне неабходна скарэктаваць.
3. Турбулентнасць: прынцып Бернулі прымяняецца да ламінарнага (рэгулярнага) патоку. У турбулентным (нерэгулярным) патоку аналіз становіцца больш складаным.
Тэматычнае даследаванне: Выкарыстанне прынцыпу Бернулі ў канструкцыі крылаў самалёта
Канструкцыя крыла самалёта — класічны прыклад дзеяння прынцыпу Бернулі. Выгнутая верхняя частка і плоская ніжняя частка крыла дазваляюць паветру хутчэй цячы над крылом, чым пад ім. Згодна з прынцыпам Бернулі, большая хуткасць паветранага патоку над крылом стварае меншы ціск, чым пад крылом. Гэтая розніца ціскаў стварае пад'ёмную сілу, якая дазваляе самалёту ляцець.
Дапусцім, што плошча крыла самалёта складае 25 м². Хуткасць паветра над крылом складае 70 м/с, а пад крылом — 50 м/с. Шчыльнасць паветра складае 1.225 кг/м³. Разлічыце атрыманую пад'ёмную сілу.
1. Разлічыце розніцу ціскаў (ΔP) па формуле Бернулі:
\[ P_{ніз} – P_{верх} = \frac{1}{2} \rho (v_{верх}^2 – v_{ніз}^2) \]
Падстаўце вядомыя значэнні:
\[ \Delta P = \frac{1}{2} \times 1.225 \times (70^2 – 50^2) \]
\[ \Delta P = \frac{1}{2} \times 1.225 \times (4900 – 2500) \]
\[ \Delta P = \frac{1}{2} \times 1.225 \times 2400 \]
\[ \Delta P = 1.225 \times 1200 \]
\[ \Delta P = 1470 \, \text{Па} \]
2. Разлічыце пад'ёмную сілу (\( F_{ліфт} \)):
\[ F_{пад'ём} = \Delta P \times A \]
\[ F_{пад'ёмная сіла} = 1470 \, \text{Па} \times 25 \, \text{м}^2 \]
\[ F_{пад'ём} = 36 750 \, \text{
N} \]
Такім чынам, атрыманая пад'ёмная сіла складае 36 750 ньютанаў.
Выснова
Прынцып Бернулі — адзін з фундаментальных прынцыпаў механікі вадкасці, які тлумачыць сувязь паміж хуткасцю патоку вадкасці і ціскам. Разумеючы і ўжываючы формулу Бернулі, мы можам аналізаваць і праектаваць розныя сістэмы, якія ўключаюць паток вадкасці, ад самалётаў да расходомераў. Нягледзячы на тое, што на практыцы нам часта даводзіцца ўлічваць такія фактары, як трэнне і турбулентнасць, прынцып Бернулі застаецца важным інструментам у разуменні дынамікі вадкасці і распрацоўцы эфектыўных інжынерных рашэнняў.
