Рух снарада

Артыкул пра рух снарада і прыклады задач з рашэннямі

Пачатковая хуткасць (v_o) і кампанента пачатковай хуткасці (v_ox і v_oy)

Аб'ект, парабалічныя рухі якога заўсёды маюць пачатковую хуткасць. Паколькі парабалічны рух — гэта камбінацыя рухаў у гарызантальным і вертыкальным напрамках, пачатковая хуткасць таксама мае гарызантальную і вертыкальную складнікі.

Калі аб'ект рухаецца парабалічна, як паказана на малюнках 1 і 3, то пачатковая хуткасць у гарызантальным кірунку (v _ox ) і пачатковая хуткасць у вертыкальным кірунку (v _oy ) вылічваюцца з дапамогай ураўнення:

v _ox = v _o cos θ

v _oy = v _o sin θ

Калі аб'ект рухаецца па парабалічнай траекторыі, як паказана на малюнку 2, то v _o = v _ox (v _oy = 0)

Хуткасць (v_x і v_y) і пазіцыя (x і y)

Хуткасць у гарызантальным і вертыкальным кірунках за пэўны прамежак часу вылічваецца з дапамогай ураўнення:

v _x = v _ox = пастаянная ( раўнамерны лінейны рух )

v _y = v _oy + gt або v _y ² = v _oy ² + 2 gh (рух свабоднага падзення)

Палажэнне аб'ектаў у гарызантальным (x) і вертыкальным (y) напрамках у пэўны прамежак часу вылічваецца з дапамогай ураўнення:

x = v ₊ t

y = v _oy t + 1⁄2 gt ²

Выніковая сума хуткасці (v) і пазіцыі (h)

Выніковая хуткасць за зададзены інтэрвал часу вылічваецца з дапамогай ураўнення:

Кірунак аб'ектаў у пэўны прамежак часу вылічваецца з дапамогай ураўнення:

Заўвагі:

1. Гарызантальны кампанент парабалічнага руху разглядаецца як раўнамерны лінейны рух, таму vox = vx заўсёды пастаянная

2. Вертыкальны кампанент парабалічнага руху разглядаецца як рух свабоднага падзення, таму, калі аб'ект рухаецца па парабалічнай траекторыі, як паказана на малюнках 1 і 3, вертыкальны кампанент хуткасці аб'екта на максімальнай вышыні роўны нулю (v _y = 0). Калі кінуць шарык вертыкальна ўверх на максімальнай вышыні, аб'ект на імгненне застывае (v _y = 0), перш чым павярнуцца ўніз. Такім чынам, хуткасць аб'екта, які рухаецца па парабалічнай траекторыі на максімальнай вышыні = v _x = v _ox

3. Калі аб'ект рухаецца па парабалічнай траекторыі, як паказана на малюнку 2, вертыкальны кампанент парабалічнага руху разглядаецца як рух свабоднага падзення. Калі аб'ект рухаецца па парабалічнай траекторыі, як паказана на малюнках 1 і 3, то вертыкальны кампанент парабалічнага руху разглядаецца як вертыкальны рух уверх.

Прыклады задач:

1. Куля выпушчана ў гарызантальным кірунку з пачатковай хуткасцю 20 м/с. Калі стрэльба знаходзіцца на вышыні 5 метраў над зямлёй, вызначце:

а) час у паветры

(b) максімальная вышыня

(c) гарызантальная адлегласць

(d) хуткасць кулі пры ўдары аб зямлю

Рашэнне:

Рух у гарызантальным кірунку аналізуецца як раўнамерны лінейны рух, а рух у вертыкальным кірунку — як рух свабоднага падзення.

Вядомы:

v _ox = 20 м/с, v _oy = 0 м/с, h = 5 м, g = 9.8 м/ ^с²

а) Час у паветры

Рашэнне заключаецца ў вызначэнні інтэрвалу часу (t) у руху свабоднага падзення.

Вядома: v _oy = 0 м/с, h = 5 м, g = 9.8 м/ ^с²

Шукаецца: т

б) Максімальная вышыня

Максімальная вышыня = h = 5 метраў.

c) Гарызантальная адлегласць (d)

Рашэнне падобнае да вызначэння адлегласці пры раўнамерным лінейным руху

Вядома: v _ox = 20 м/с, t = 1 секунда

Шукаецца: d

d = vt

d = (20 м/с)(1 с) = 20 м

г) Хуткасць, калі куля ўдарыцца аб зямлю

v _tx = v _ox = 20 м/с

v _ты = ?

Спачатку мы вылічваем канчатковую хуткасць у вертыкальным кірунку (vty). Рашэнне падобнае да вызначэння канчатковай хуткасці руху ў вольным падзенні.

Вядома: v _oy = 0, g = 9.8 м/с² ^, t = 1 с

_{Шукаецца} : вельмі

v _t = v _o + gt —> vo = 0

v _t = gt

v _t = (9.8 м/с² ⁾ (1 с)

v _t = 9.8 м/с

Хуткасць кулі пры ўдары аб зямлю:

Кірунак кулі:

Паколькі v _tx накіравана ў кірунку дадатнай восі x (направа), а v _ty — у кірунку адмоўнай восі y (уніз),

кірунак кулі пры ўдары аб зямлю складае -26.1 ^° да дадатнай восі x (гл. малюнак ніжэй).

2. Гармата выпусціла кулю пад вуглом 30 ^° да гарызанталі са хуткасцю 60 м/с. Вызначце:

а) максімальная вышыня

б) хуткасць кулі на максімальнай вышыні

(c) час у паветры

(d) гарызантальная адлегласць

(e) хуткасць кулі ў момант удару аб зямлю. Дапусцім, зямля роўная. 🙂

Рашэнне:

Рух у гарызантальным кірунку аналізуецца як раўнамерны лінейны рух, рух у вертыкальным кірунку аналізуецца як вертыкальны рух уверх.

Вядома: v _o = 60 м/с, тэта = 30 ^o.

Зыходзячы з вядомых дадзеных, спачатку вылічваем вертыкальную (v _oy ) і гарызантальную (v _ox ) складнікі пачатковай хуткасці (v _o ).

а) Максімальная вышыня (h)

Рашэнне падобнае да вызначэння максімальнай вышыні пры вертыкальным руху ўверх.

Вядомы:

v _ox = v _o cos θ = (60)(cos 30) = (60)(0.87) = 52 м/с

v _oy = v _o sin θ = (60)(sin 30) = (60)(0.5) = 30 м/с

а) Максімальная вышыня (г)

Рашэнне падобнае да вызначэння максімальнай вышыні пры вертыкальным руху ўверх.

Вядомы:

v _oy = 30 м/с (гэта пачатковая хуткасць кулі)

v _ty = 0 м/с (На максімальнай вышыні вертыкальная хуткасць кулі = 0 м/с. Гэта канчатковая хуткасць.)

g = – 9.8 м/ ^с²

Шукаецца: h

v _t ² = v _o ² + 2 gh

0 ² = 30 ² + 2 (-9.8) гадзін

0 = 900 – 19.6 гадзін

900 = 19.6 гадзін

h = 900 / 19.6

h = 45.9 метраў

Максімальная вышыня, дасягнутая куляй = 45.9 метра.

б) Хуткасць на максімальнай вышыні

На максімальнай вышыні хуткасць у вертыкальным кірунку = 0 м/с. На максімальнай вышыні ёсць толькі хуткасць у гарызантальным кірунку. Хуткасць у гарызантальным кірунку на максімальнай вышыні роўная пачатковай хуткасці ў гарызантальным кірунку, якая складае 52.2 м/с. Кірунак хуткасці ў гарызантальным кірунку заўсёды пастаянны, гэта значыць у кірунку дадатнай восі x (калі рух аб'екта апісаны на дыяграме вышэй).

в) Час у паветры

Рашэнне падобнае да вызначэння часовага інтэрвалу (t) пры абмеркаванні вертыкальнага руху ўверх.

Вядомы:

v _oy = 30 м/с (гэта пачатковая хуткасць кулі ў вертыкальным кірунку)

g = – 9.8 м/ ^с²

h = 0 м (калі куля вяртаецца на зямлю, зрушэнне кулі ў вертыкальным кірунку = 0 м)

Шукаецца: т

h = v _o t + ½ ^gt²

⁰ = (30) t + ½ (-9.8 м/с² ) ^t²

0 = (30) t – 4.9 t ²

(30) t = 4.9 ^t²

30 = 4.9 т

t = 30 / 4.9

t = 6.12 секунды

Час у паветры = 6.12 секунды

г) Гарызантальная адлегласць (д)

Рашэнне падобнае да вызначэння адлегласці (d) пры раўнамерным лінейным руху.

Вядомы:

vox = 52.2 м/ _с

t = 6.12 секунды

Шукаецца: d

d = vt = (52.2 м/с)(6.12 секунды) = 319.5 м

д) Хуткасць, калі куля ўдарыцца аб зямлю

v _tx = v _ox = 52.2 м/с

v _ты = ?

Спачатку мы вылічваем канчатковую хуткасць у вертыкальным кірунку (v _ty ). Рашэнне заключаецца ў вызначэнні канчатковай хуткасці пры вертыкальным руху ўверх.

Патрэбныя: v _oy = 30 м/с, g = -9.8 м/с² ^, t = 6.12 секунды

_{Шукаецца} : вельмі

v _ty = v _oy + gt

v _ты = (30) + (-9.8)(6.12)

v _ты = (30) – (60)

v _ty = -30 м/с

Адмоўны знак паказвае, што канчатковая хуткасць накіравана ўніз. Звярніце ўвагу, што пачатковая хуткасць у вертыкальным кірунку роўная канчатковай хуткасці ў вертыкальным кірунку.

Хуткасць кулі пры ўдары аб зямлю:

Кірунак кулі:

Паколькі v _tx накіравана ў кірунку дадатнай восі x (направа), а vty — у кірунку адмоўнай восі y (уніз),

Напрамак хуткасці кулі пры ўдары аб зямлю складае -30 ^° адносна дадатнай восі x (гл. малюнак ніжэй).

3. Мяч кінуты з краю будынка вышынёй 50 метраў з пачатковай хуткасцю 10 м/с. Калі мяч кінуты пад вуглом 30° адносна гарызантальнай паверхні, вызначце:

а) прамежак часу, за які мяч дасягае зямлі

б) хуткасць мяча ў момант удару аб зямлю

(c) гарызантальная адлегласць, на якую можа даляцець мяч, вымяраецца ад краю будынка

(d) максімальная вышыня, на якую падняўся мяч

Рашэнне:

Спачатку мы вылічваем вертыкальную складовую (v _oy ) і гарызантальную складовую (v _ox ) пачатковай хуткасці (v _o ).

v _ox = v _o cos 30 ^o = (10 м/с)(0.87) = 8.7 м/с

v _oy = v _o sin 30 ^o = (10 м/с)(0.5) = 5 м/с

а) Прамежак часу, на працягу якога мяч дасягае зямлі

Рашэнне падобнае да вызначэння часовага інтэрвалу (t) пры вертыкальным руху ўверх. Велічыня вектара, накіраванага ўверх, выбіраецца дадатнай, велічыня вектара, накіраванага ўніз, выбіраецца адмоўнай. У якасці кропкі адліку выбіраецца месца кідання мяча. h адмоўнае, таму што паверхня зямлі знаходзіцца ніжэй за кропку адліку, g адмоўнае, таму што кірунак паскарэння сілы цяжару — уніз.

Вядомы:

v _oy = 5 м/с, h = –5 м, g = –9.8 м/ ^с²

Шукаецца: т

h = v _o t + ½ ^gt²

-5 = 5 t + ½ (-9.8) ^t²

-5 = 5 т – 4.9 т ²

-4.9 t ² + 5 t + 5 = 0

Выкарыстайце формулу квадратнага ўраўнення:

Час у паветры = прамежак часу з моманту кідка мяча да дасягнення зямлі = 1.64 секунды.

б) Хуткасць мяча пры ўдары аб паверхню зямлі

v _tx = v _ox = v _x = 8.7 м/с

v _ты = ?

Спачатку мы вылічваем канчатковую хуткасць у вертыкальным кірунку (v _ty ). Рашэнне падобнае да вызначэння канчатковай хуткасці пры вертыкальным руху ўверх.

Вядома: v _oy = 5 м/с, g = -9.8 м/с² ^, t = 1.64 секунды

_{Шукаецца} : вельмі

v _ty = v _oy + gt

v _ты = 5 + (-9.8)(1.64)

v _ty = 5 – 16

v _ty = -11 м/с

Адмоўны знак паказвае, што канчатковая хуткасць накіравана ўніз.

Хуткасць кулі пры ўдары аб зямлю:

Кірунак хуткасці кулі = кірунак руху кулі ў момант удару аб зямлю:

Хуткасць кулі пры ўдары аб зямлю:

Паколькі vtx знаходзіцца ў кірунку дадатнай восі x (направа), а vty — у кірунку адмоўнай восі y (уніз),

кірунак кулі пры ўдары аб зямлю складае -52° адносна дадатнай восі x (гл. малюнак ніжэй).

в) Гарызантальная адлегласць, на якую можа даляцець мяч, вымяраецца ад краю будынка

Рашэнне падобнае да вызначэння пройдзенай адлегласці (d) пры раўнамерным лінейным руху.

Вядома: t = 1.64 секунды, v _x = 8.7 м/с

Шукаецца: d

d = vt = (8.7 м/с)(1.64 с) = 14.3 м

г) Максімальная вышыня, на якую падняўся мяч

Вядома: v _oy = 5 м/с, v _ty = 0 м/с ( вертыкальная складнік хуткасці на максімальнай вышыні = 0 м/с), g = -9.8 м/ ^с².

Шукаецца: h

v _ty ² = v _oy ² + 2 gh

0 м/с = (5 м/с) ^² + 2(-9.8 м/с² ⁾ (г)

0 м/с = 25 (м/с) ^² + (-19.6 м/с² ⁾ (г)

25 (м/с) ^² = -19.6 м/с² (г)

h = 25 (м/с) ^² : -19.6 м/с² ⁼ 1.3 метра

Максімальная вышыня, на якую падымаецца шар = 1.3 метра над верхам будынка = 1.3 м + 50 м = 51.3 метра над паверхняй зямлі.