Момент інэрцыі часціц – праблемы і рашэнні

1. Два шары, злучаныя стрыжнем, як паказана на малюнку ніжэй. Масай стрыжня можна занядбаць . Маса шара P роўная 600 грамаў, а маса шара Q — 400 грамаў. Які момант інэрцыі сістэмы адносна кропкі AB?

Вядома:

Вось кручэння — AB. Момент інэрцыі часціц – праблемы і рашэнні 1

m _p = 600 грамаў = 0.6 кг, m _q = 400 грамаў = 0.4 кг

rp ₌ 20 см = 0.2 м, _rq = 50 см = 0.5 м

Шукаецца: момант інэрцыі сістэмы

Рашэнне:

I ₌_{mp_r_p²} + m_q_r_q²

I = (0.6 кг)(0.2 м) ^² + (0.4 кг)(0.5 м) ^²

I = (0.6 кг)(0.04 м² ⁾ + (0.4 кг)(0.25 ^м² )

I = 0.024 кг ^м² + 0.1 кг ^м²

I = 0.124 кг ^м²

2. Стрыжень AB масай 2 кг круціцца вакол пункта A, а момант інэрцыі стрыжня складае 8 кг м² ^. Калі яго круціць вакол пункта O (AO = OB), то які момант інэрцыі стрыжня?

Вядома: Момент інэрцыі часціц – праблемы і рашэнні 2

Маса стрыжня AB (м) = 2 кг

Калі павярнуць вакол пункта А так, што радыус павароту (r) роўны даўжыні AB = r, то момант інэрцыі (I) = 8 кг м²^.

Хочацца зразумець: калі стрыжань павярнуць вакол кропкі O так, што радыус кручэння (r) = даўжыня AO = даўжыня OB = 1/2 r, то які момант інэрцыі стрыжня?

Рашэнне:

Я = спадар ²

8 кг ^м² = (2 кг) ^r²

8 м² ⁼ (2) ^r²

r² = 8 ^м²^/ ²

r² = ⁴^м²

r = 2 метры

Калі павярнуць вакол пункта O на ½ r = 1 метр, то момант інэрцыі:

I = mr² ⁼ (2 кг)(1 м²) ^² = (2 кг)(1 м² ⁾ = 2 кг· ^м²

3. Два шары, злучаныя стрыжнем, як паказана на малюнку ніжэй. Масай стрыжня можна занядбаць. Чаму роўны момант інэрцыі сістэмы?

Вядома:

Маса шара А (м_A) = 200 грамаў = 0.2 кг Момент інэрцыі часціц – праблемы і рашэнні 3

Маса шара B (м _B ) = 400 грамаў = 0.4 кг

Адлегласць паміж шарыкам A і воссю кручэння (r _A ) = 0

Адлегласць паміж шарам B і воссю кручэння (r _B ) = 25 см = 0.25 м

Шукаецца: Момант інэрцыі сістэмы

Рашэнне:

Момант інэрцыі шара А:

IA ₌ (м _A )(r _A² ) = (0.2)(0) ² = 0

Момант інэрцыі шара B:

I _B = (м _B )(r _B² ) = (0.4)(0.25) ² = (0.4)(0.0625) = 0.025 кг м ²

Момант інэрцыі сістэмы:

I = I _A + I _B = 0 + 0.025 = 0.025 кг м² ⁼ 25 x ^10⁻³ кг ^м²

4. Чатыры часціцы з рознымі масамі, паказаныя на малюнку ніжэй. Вызначце момант інэрцыі сістэмы адносна гарызантальнай лініі P.

Рашэнне

Вось кручэння — гарызантальная лінія P.

Вядома: Момент інэрцыі часціц – праблемы і рашэнні 4

Маса часціцы A (m _A ) = m

Маса часціцы B (m _B ) = 2m

Маса часціцы C (м _C ) = 3m

Праход часціц D (м _D ) = 4 м

Адлегласць паміж часціцай A і воссю кручэння (r _A ) = b

Адлегласць паміж часціцай B і воссю кручэння (rB ₎ = b

Адлегласць паміж часціцай C і воссю кручэння (r _C ) = 2b

Адлегласць паміж часціцай D і воссю кручэння (rD ₎ = 2b

Шукаецца: момант інэрцыі сістэмы адносна гарызантальнай лініі P

Рашэнне:

I ₌_{mA_r_A²} + mB_r_B² ⁺_{mC_r_C²} + _{mD_r_D²}

I = (m)(b) ² + (2m)(b) ² + (3m)(2b) ² + (4m)(2b) ²

I = mb ² + 2 mb ² + (3m)(4b ² ) + (4m)(4b ² )

I = мб ² + 2 мб ² + 12 мб ² + 16 мб ²

I = 31 ^МБ²

5. Чатыры часціцы, злучаныя стрыжнем. Масай стрыжня можна занядбаць. Вызначце момант інэрцыі вакол восі кручэння праз часціцы m1 _і m2 _, як паказана на малюнку ніжэй.

вядомы

Маса часціцы 1 (м₁) = 1/4 кг Момент інэрцыі часціц – праблемы і рашэнні 5

Маса часціцы 2 (м2 ₎ = 1/2 кг

Маса часціцы 3 (м3 ₎ = 1/4 кг

Маса часціцы 4 (м4 ₎ = 1/4 кг

Адлегласць паміж часціцай 1 і воссю кручэння (r1 ₎ = 0

Адлегласць паміж часціцай 2 і воссю кручэння (r2 ₎ = 0

Адлегласць паміж часціцай 3 і воссю кручэння (r3 ₎ = 10 см = 10/100 м = 1/10 м

Адлегласць паміж часціцай 4 і воссю кручэння (r4 ₎ = 10 см = 10/100 м = 1/10 м

Шукаецца: Момант інэрцыі

Рашэнне:

I = _m1/_r1 / ² + m2/ _r2 / ²₊ m3/ _r3 / ²₊ m4 _/ r4 _/²

I = (1/4)(0) ^² + (1/2)(0) ^² + (1/4)(1/10) ^² + (1/4)(1/10) ^²

I = 0 + 0 + (1/4)(1/100) + (1/4)(1/100)

I = 1/400 + 1/400

I = 2/400

I = 1/200 кг· ^м²

Што такое момант інэрцыі часціцы?
- АдказДля адной часціцы масы $m$ на адлегласці $r$ ад восі кручэння, яго момант інэрцыі $I$ даецца $I = m \times r^{2}$ .
Чаму момант інэрцыі часта называюць «вяртальным аналагам» масы?
- АдказГэтак жа, як маса з'яўляецца мерай супраціву аб'екта зменам яго паступальнага руху (згодна з другім законам Ньютана), момант інэрцыі з'яўляецца мерай супраціву аб'екта зменам яго вярчальнага руху.
Як змяненне адлегласці часціцы ад яе восі кручэння ўплывае на яе момант інерцыі?
- АдказМомант інэрцыі прапарцыйны квадрату адлегласці ад восі кручэння. Калі падвоіць адлегласць, момант інэрцыі павялічыцца ў чатыры разы.
Чаму роўны квадрат адлегласці (r²) выкарыстоўваецца ў формуле для моманту інэрцыі, а не толькі для адлегласці?
- АдказКвадрат адлегласці выкарыстоўваецца з-за таго, як працуе кінетычная энергія пры кручэнні. Пры вярчальным руху кожная часціца аб'екта ўносіць свой уклад у кінетычную энергію кручэння ў залежнасці як ад яе масы, так і ад квадрата адлегласці ад восі.
Як зменіцца момант інэрцыі часціцы, калі яе масу павялічыць утрая, а адлегласць ад восі застанецца нязменнай?
- АдказКалі маса павялічыцца ўтрая, а адлегласць застанецца пастаяннай, момант інэрцыі таксама павялічыцца ўтрая, бо ён прама прапарцыйны масе.
Ці можа часціца мець момант інэрцыі, роўны нулю? Калі так, то пры якой умове?
- АдказТак, момант інэрцыі часціцы будзе роўны нулю, калі яна знаходзіцца непасрэдна на восі кручэння, што робіць яе адлегласць $r$ ад восі, роўнай нулю.
Чаму розныя аб'екты з аднолькавай масай і памерам маюць розныя моманты інэрцыі пры кручэнні вакол розных восяў?
- АдказРазмеркаванне масы вакол восі кручэння вызначае момант інэрцыі. Нават калі два аб'екты маюць аднолькавую масу і памер, іх размеркаванне масы адносна восі кручэння можа адрознівацца, што прыводзіць да розных момантаў інэрцыі.
Момант інэрцыі з'яўляецца скалярнай ці вектарнай велічынёй?
- АдказМомант інэрцыі — гэта скалярная велічыня. Аднак для цвёрдых цел са складанай формай і некалькімі восямі кручэння ён прадстаўлены тэнзарам.
Калі дзве часціцы, кожная з якіх мае масу $m$ , размешчаны на адлегласцях $r_{1}$ і $r_{2}$ ад восі кручэння, які сумарны момант інэрцыі?
- АдказМомант інэрцыі з'яўляецца адытыўным для асобных часціц. Такім чынам, сумарны момант інэрцыі $I = m \times r_{12} + m \times r_{22}$ .
Як момант інэрцыі звязаны з захаваннем вуглавога моманту?
- Адказ: Вуглавы момант $L$ гэта здабытак моманту інэрцыі $I$ і вуглавая хуткасць $ω$ , прадстаўленае ўраўненнем $L = I \times ω$ Калі на сістэму не дзейнічаюць знешнія моманты, вуглавы момант застанецца пастаянным. Гэта азначае, што калі момант інэрцыі змяняецца (як у фігурыста, які цягне рукі), вуглавая хуткасць павінна змяняцца, каб твор заставаўся пастаянным.