Артыкул пра ўраўненне непарыўнасці
Паспрабуйце павольна адкрыць кран, звяртаючы ўвагу на хуткасць вады, якая выцякае з адтуліны крана. Цяпер параўнайце, дзе хуткасць патоку вады большая, калі адтуліна крана зачынена ці не? Чаму так? Каб зразумець гэта, вывучыце ўраўненне непарыўнасці.
рацыяналізаваць
У стацыянарным патоку хуткасць кожнай часціцы вадкасці ў пункце, напрыклад, пункце А, заўсёды аднолькавая. Пры праходжанні міма пункта В хуткасць часціц вадкасці можа змяняцца. Аднак, пры дасягненні пункта В часціцы вадкасці, якія ідуць ззаду, цякуць з той жа хуткасцю, што і часціцы вадкасці, якія папярэднічаюць ім. Аналагічна, пры дасягненні пункта С і гэтак далей. Лінія патоку — гэта крывая, якая злучае пункты А, В і С.
Праточная трубка
Мы можам апісаць кожную лінію току праз кожную кропку патоку вадкасці. Калі мы ўспрымаем стацыянарны паток вадкасці, то некаторыя лініі току, якія праходзяць пэўны вугал на ўяўнай паверхні, утвараюць праточную трубку. Часцінкі вадкасці не перасякаюцца, а заўсёды паралельныя, і праточная трубка будзе нагадваць трубу, форма якой застаецца нязменнай. Вадкасць, якая паступае з аднаго канца трубкі, будзе выходзіць з трубкі з другога канца.
[ірп]
Дэбет
Разрад паказвае аб'ём вадкасці, якая працякае праз пэўнае папярочнае сячэнне за пэўны інтэрвал часу. Матэматычна гэта можна запісаць як:
Выдатак = Аб'ём вадкасці / інтэрвал часу
Q = V / t
Каб палепшыць ваша разуменне, мы выкарыстоўваем прыклад. Напрыклад, вадкасць цячэ па трубе. Трубы звычайна цыліндрычныя і маюць пэўную плошчу папярочнага сячэння. Труба таксама мае даўжыню.
Калі вадкасць цячэ па трубе да адлегласці L, аб'ём вадкасці ў трубе складае V = AL (V = аб'ём вадкасці, A = плошча папярочнага сячэння і L = даўжыня трубы). Паколькі, пакуль вадкасць цячэ па трубе ўздоўж L, ёй патрабуецца пэўны інтэрвал часу, можна сказаць, што колькасць вадкасці роўная:
Паколькі v = s / t = L / t —> L = vt, прыведзенае вышэй ураўненне змяняецца на:
Такім чынам, калі вадкасць працякае праз трубу, якая мае пэўную плошчу папярочнага сячэння і даўжыню, на працягу пэўнага перыяду часу, колькасць выцякаючай вадкасці (Q) роўная плошчы папярочнага сячэння (A), памножанай на хуткасць патоку вадкасці (v).
Раўнанне непарыўнасці
Разгледзьце паток вадкасці ў трубе рознага дыяметра, як паказана на малюнку ніжэй.
На гэтым малюнку паказаны паток вадкасці злева направа (вадкасць цячэ з трубы вялікага дыяметра ў трубу малога дыяметра). Пункцірная лінія мае абцякальную форму.
A 1 = плошча папярочнага сячэння трубы вялікага дыяметра, A 2 = плошча папярочнага сячэння трубы малога дыяметра, v 1 = хуткасць патоку вадкасці ў трубе вялікага дыяметра, v 2 = хуткасць патоку вадкасці ў трубе малога дыяметра, L = адлегласць, пройдзеная вадкасцю.
У стацыянарным патоку хуткасць патоку часціц вадкасці ў адной кропцы роўная хуткасці патоку іншых часціц вадкасці, якія праходзяць праз гэтую кропку. Патокі вадкасці таксама не перасякаюцца (лініі паралельныя). Такім чынам, маса вадкасці, якая паступае ў адзін канец трубы, павінна быць роўная масе вадкасці, якая выходзіць з другога канца. Калі вадкасць мае пэўную масу, якая паступае ў трубу з вялікім дыяметрам, то вадкасць будзе выходзіць па трубе малога дыяметра з такой жа масай.
Цяпер разгледзьце малюнак трубы вышэй. Разгледзьце трубу вялікага дыяметра і трубу малога дыяметра.
На працягу пэўнага прамежку часу некаторыя вадкасці працякаюць праз участак трубы вялікага дыяметра (A1 ) да L1 ( L1 = v1t ) . Аб'ём вадкасці, якая працякае, складае V1 = A1L1 = A1v1t . На працягу таго ж прамежку часу некаторыя іншыя вадкасці працякаюць праз участак трубы малога дыяметра (A2 ) да L2 ( L2 = v2t ) . Аб'ём вадкасці , якая працякае , складае V2 = A2L2 = A2v2t.
[ірп]
Раўнанне непарыўнасці для несціскальных вадкасцей
У несціскальных вадкасцях шчыльнасць вадкасці заўсёды аднолькавая ў кожнай кропцы, якую яна праходзіць. Маса вадкасці, якая працякае ў трубе з плошчай папярочнага сячэння A1 (вялікі дыяметр трубы) на працягу пэўнага прамежку часу, складае:
Аналагічна, маса вадкасці, якая працякае ў трубе з плошчай папярочнага сячэння A² ( малы дыяметр трубы) на працягу пэўнага прамежку часу, складае:
У стацыянарным патоку маса паступаючай вадкасці такая ж, як маса вадкасці, якая выходзіць, таму:
м1 = м2
ρA1v1t = ρA2v2t
А 1 супраць 1 = А 2 супраць 2
Такім чынам, ураўненне неразрыўнасці ў несціскальных вадкасцях:
A 1 v 1 = A 2 v 2 — Раўнанне 1
A 1 = плошча папярочнага сячэння 1, A 2 = плошча папярочнага сячэння 2, v 1 = хуткасць патоку вадкасці ў сячэнні 1, v 2 = хуткасць патоку вадкасці ў сячэнні 2, A v = аб'ёмны расход (V / t) = расход.
З раўнання 1 вынікае, што расход заўсёды аднолькавы ў кожнай кропцы трубы або расходнай трубкі. Пры памяншэнні папярочнага сячэння трубы хуткасць патоку вадкасці павялічваецца, а пры павелічэнні папярочнага сячэння трубы хуткасць патоку вадкасці памяншаецца.
[ірп]
Калі частка адтуліны крана зачынена, паток вады становіцца больш цяжкім, чым калі частка адтуліны крана не зачынена. Гэта адбываецца таму, што плошча папярочнага сячэння крана памяншаецца, калі частка адтуліны крана зачынена, таму хуткасць патоку вады павялічваецца. Але важна ведаць, што хуткасць патоку або расход вадкасці заўсёды аднолькавая ў кожнай кропцы ўздоўж патоку вады, незалежна ад таго, зачынена частка адтуліны нашага крана ці не. Дык што ж змяняецца ў хуткасці патоку вадкасці?
А як жа тады паток вады ў рацэ? Глыбокая частка ракі мае большы папярочны сячэнне, чым мелкаводная частка ракі, таму хуткасць патоку вады ў глыбокай рацэ меншая за хуткасць патоку вады ў мелкаводнай частцы ракі.
Раўнанне непарыўнасці для сціскальных вадкасцей
Для сціснутай вадкасці шчыльнасць вадкасці не заўсёды аднолькавая. Іншымі словамі, шчыльнасць вадкасці змяняецца пры сцісканні. Калі вадкасць не сціскаецца, шчыльнасць вадкасці выдаляецца з ураўнення, таму ў гэтым выпадку шчыльнасць вадкасці ўключана ў ўраўненне. Звяртаючыся да ўраўнення, якое было выведзена раней, вывядзем ураўненне для сціснутай вадкасці.
Маса вадкасці, якая ўваходзіць, роўная масе вадкасці, якая выходзіць, таму:
м1 = м2
ρA1v1t = ρA2v2t
Інтэрвал патоку вадкасці аднолькавы, таму яго можна выключыць. Раўнанні мяняюцца на наступны выгляд:
ρ A 1 v 1 = ρ A 2 v 2 → Ураўненне 2
Гэта ўраўненне для сціснутай вадкасці. Розніца заключаецца ў шчыльнасці вадкасці. Калі вадкасць сціскаецца, шчыльнасць змяняецца. І наадварот, калі вадкасць не сціскаецца, шчыльнасць заўсёды аднолькавая, таму яе можна выключыць з ураўнення.
Прыклад задачы 1:
Вада цячэ па трубе дыяметрам 10 см з хуткасцю 2 м/с. Які расход вады?
Вядома:
Дыяметр трубы = 10 см
Радыус трубы (r) = 5 см = 0.05 м
Хуткасць вады (v) = 2 м/с
Патрэбна: Дэбетавая карта
Рашэнне:
Q = A v
Q = (πr² ) (2 м/с)
Q = (3.14)(0.05 м) ² (2 м/с)
Q = (3.14)(0.0025 м² ) (2 м/с)
Q = 0.0157 м³ / с
[ірп]
Прыклад задачы 2:
Труба дыяметрам 20 см злучана з іншай трубой дыяметрам 10 см. Калі хуткасць вады ў трубе дыяметрам 20 см роўная 4 м/с, якая хуткасць вады ў трубе дыяметрам 10 см?
Вядома:
Дыяметр 1 = 20 см (r 1 = 10 см = 0.1 м)
v1 = 4 м/ с
Дыяметр 2 = 10 см (r 2 = 5 см = 0.05 м)
Шукаецца: версія 1
Адказ:
Q1 = Q2
А 1 супраць 1 = А 2 супраць 2
( π r 12 ) (4 м/с) = (π r 22 ) (v 2 )
(0.1 м) 2 (4 м/с) = (0.05 м) 2 (v 2 )
(0.01 м² ) (4 м/с) = (0.0025 м² ) ( v² )
(0.04 м³ / с) = (0.0025 м² ) ( v² )
v2 = 16 м/ с
[ірп]
