Артыкул пра прынцып Бернуліса і ўраўненне Бернуліса
Калі мы едзем на матацыкле, вопратка, якую мы носім, задзімаецца назад. Часам, калі дзьме моцны вецер, дзверы могуць зачыніцца самі па сабе. Нягледзячы на тое, што вецер дзьме звонку дома, дзверы знаходзяцца ўнутры.
Гэта можна растлумачыць з дапамогай прынцыпу Бернулі. Даніэль Бернулі (1700-1782) адкрыў прынцып, які можна было б выкарыстаць для тлумачэння вышэйзгаданай з'явы.
Прынцып Бернулі
Прынцып Бернулі сцвярджае, што там, дзе хуткасць патоку вадкасці высокая, ціск вадкасці нізкі. І наадварот, калі хуткасць патоку вадкасці нізкая, ціск вадкасці высокі. Калі матацыкл рухаецца хутка, хуткасць паветра спераду і збоку вашага цела высокая. Такім чынам, ціск паветра становіцца нізкім. Задняя частка вашага цела перашкаджае пярэдняй частцы вашага цела, таму хуткасць паветра на задняй частцы вашага цела не становіцца высокай. У выніку ціск паветра ў задняй частцы вашага цела становіцца вышэйшым. Паколькі існуе розніца ў ціску паветра, калі ціск паветра ў задняй частцы цела вышэйшы за ціск паветра, ваша кашуля адштурхоўваецца назад, так што ваша адзенне выглядае раздутым назад.
А як наконт дзвярэй дома, якія зачыняюцца самі па сабе, калі звонку дзьме вецер? Паветра звонку дома рухаецца хутчэй, чым паветра ўнутры дома. У выніку ціск паветра звонку дома меншы, чым ціск паветра ўнутры дома. З-за розніцы ціскаў, калі ціск паветра ўнутры дома большы, дзверы выштурхоўваюцца. Іншымі словамі, створка дзвярэй рухаецца з месца, дзе ціск паветра вялікі, у месца, дзе ціск паветра малы.
Ураўненне Бернулі
Раней мы вывучалі прынцып Бернулі. Бернулі таксама распрацаваў гэты прынцып колькасна. Каб вывесці ўраўненне Бернулі, мы мяркуем, што паток вадкасці стацыянарны і ламінарны, несціснуты, глейкасць мінімальная, таму ёю можна занядбаць.
Пры абмеркаванні ўраўнення непарыўнасці мы даведаліся, што хуткасць патоку вадкасці таксама можа змяняцца ў залежнасці ад плошчы праточнай плошчай расточнай трубкі. Згодна з прынцыпам Бернулі, апісаным вышэй, ціск вадкасці таксама можа змяняцца ў залежнасці ад хуткасці патоку вадкасці. Ціск вадкасці таксама можа змяняцца ў залежнасці ад вышыні патоку вадкасці. Сувязь паміж ціскам, хуткасцю патоку і вышынёй патоку можна атрымаць з дапамогай ураўнення Бернулі.
Ураўненне Бернулі мае вырашальнае значэнне, таму што яго можна выкарыстоўваць для аналізу палётаў самалётаў, гідраэлектрастанцый, трубаправодных сістэм і г.д. Для вываду ўраўнення Бернулі ў агульным выпадку мы мяркуем, што вадкасць цячэ праз праточную трубку з плошчай папярочнага сячэння, якая не аднолькавая, і вышыня таксама розная. Каб вывесці ўраўненне Бернулі, мы ўжыем тэарэму аб працы і энергіі да вадкасці ў праточнай трубцы.
Непразрысты колер у расходнай трубцы на малюнку ніжэй паказвае паток вадкасці, а белы колер паказвае адсутнасць вадкасці.
Вадкасць у папярочным сячэнні 1 (левы бок) цячэ да кропкі L1 і прымушае вадкасць у секцыі 2 (правы бок) рухацца да кропкі L2 . Паколькі плошча папярочнага сячэння 2 справа меншая, хуткасць патоку вадкасці ў правым сячэнні трубкі большая (памятайце пра ўраўненне непарыўнасці). Гэта выклікае розніцу ціскаў паміж секцыяй 2 (правы бок трубкі) і секцыяй 1 (левы бок трубкі) – памятайце пра прынцып Бернулі. Вадкасць, якая знаходзіцца злева ад секцыі 1, аказвае ціск (P1 ) на вадкасць справа і выконвае працу:
Тады ўраўненне W1 можна запісаць як:
W1 = p1A1L1
У секцыі 2 (правы бок расходнай трубкі) работа, выкананая над вадкасцю, складае:
W² = −p²A²L²
Адмоўны знак паказвае, што прыкладзеная сіла накіравана супрацьлегла кірунку руху. Такім чынам, вадкасць выконвае працу справа ад папярочнага сячэння 2. Акрамя таго, сіла цяжару выконвае працу над вадкасцю. У вышэйзгаданым выпадку некаторыя масы вадкасці перамяшчаюцца з сячэння 1 да L1 у сячэнне 2 да L2 , дзе — аб'ём вадкасці ў сячэнні 1 (A1L1 ) = аб'ём вадкасці ў сячэнні 2 (A2L2 ) . Работа, выкананая сілай цяжару , роўная :
W3 = − мг( г2 − г1 )
W3 = −mg² + mg1 )
W3 = mgh1 − mgh2
Адмоўны знак выкліканы тым, што вадкасць цячэ ўверх, у адрозненне ад кірунку сілы цяжару. Такім чынам, чыстая праца, выкананая над вадкасцю, складае:
Ш = Ш1 + Ш2 + Ш3
W = P1 A1 L1 - П2 A2 L2 + мг1 - мг2
Тэарэма аб рабоце і энергіі сцвярджае, што чыстая праца, выкананая над сістэмай, такая ж, як і змяненне кінетычнай энергіі. Такім чынам, мы можам замяніць працу (Вт) зменамі кінетычнай энергіі (EK² – EK¹ ).
Прыведзенае вышэй раўнанне можна запісаць яшчэ раз:
W = P1 A1 L1 - П2 A2 L2 + мг1 - мг2
EK2 ‐ EK1 = Р1 A1 L1 - П2 A2 L2 + мг1 - мг2
1⁄2 мВ22 – 1⁄2 мВ12 = Р1 A1 L1 - П2 A2 L2 + мг1 - мг2
Вадкая маса, якая цячэ да адлегласці L1 у папярочным сячэнні А1 = маса вадкасці, якая працякае да адлегласці L2 (папярочны перасек А2Маса вадкасці, скажам, m, мае аб'ём A1 L1 і а2 L2 дзе А1 L1 = A2 L2 (L2 даўжэйшы за L1).
Цяпер падстаўляем m у прыведзенае вышэй ураўненне, м = ρ AL:
Гэта ўраўненне Бернулі. Ураўненне Бернулі атрымана на аснове прынцыпу працы-энергіі, таму яно з'яўляецца формай захавання энергіі.
P = ціск, ρ = шчыльнасць, v = хуткасць вадкасці, g = паскарэнне свабоднага падзення, h = вышыня трубы над зямлёй.
Левы і правы сегменты ўраўнення Бернулі вышэй могуць адносіцца да двух кропак у любым месцы ўздоўж расходнай трубкі, таму мы можам перапісаць прыведзенае вышэй у наступным выглядзе:
Цяпер давайце разгледзім ураўненне Бернулі для некаторых выпадкаў.
Ураўненне Бернулі ў статычных вадкасцях
Асобны выпадак ураўнення Бернулі — гэта статычная вадкасць, калі вадкасць не мае хуткасці. Такім чынам, v1 = v2 = 0. У выпадку статычнай вадкасці ўраўненне Бернулі можна сфармуляваць наступным чынам:
Калі h² – h1 = h, гэтае ўраўненне можна запісаць наступным чынам:
p1 − p2 = ρg( h2 − h1 )
p1 − p2 = ρgh
Ураўненне Бернулі на трубе такой жа вышыні
Калі вышыня трубы аднолькавая, ураўненне Бернулі змяняецца на:
