Захаванне механічнай энергіі на крывых паверхнях – праблемы і рашэнні
1. Калі хуткасць мяча ў пункце А роўная 6 м/с, хуткасць мяча ў пункце В роўная √92 м/с, а паскарэнне сілы цяжару роўна g = 10 м/с² . Якая вышыня пункта В (h)?
Вядома:
Хуткасць мяча ў пункце А (vA) = 6 м/с
Хуткасць шара ў пункце B (v B ) = √92 м/с
Паскарэнне сілы цяжару (g) = 10 м/ с²
Вышыня A (h A ) = 5.6 метра
Вышыня B (h B ) = h
Шукаецца: вышыня пункта B (h)
Рашэнне:
Пачатковая механічная энергія = гравітацыйная патэнцыяльная энергія
У пункце А хуткасць шара = 0, таму кінетычная энергія шара = 0. KE = 1/2 mv 2 = 1/2 m (0) = 0.
Мяч знаходзіцца на вышыні 5.6 метраў, таму мяч мае гравітацыйную патэнцыяльную энергію. Гравітацыйная патэнцыяльная энергія : PE = mgh = m (10)(5.6) = 56 м
Пачатковая механічная энергія = гравітацыйная патэнцыяльная энергія + кінетычная энергія = 56 м + 0 = 56 м
Канчатковая механічная энергія = гравітацыйная патэнцыяльная энергія + кінетычная энергія
У пункце B вышыня шара роўная h. Гравітацыйная патэнцыяльная энергія: PE = mgh = m (10) h = 10 mh
Кінетычная энергія шара: KE = 1/2 мв 2 = 1/2 м (√92) 2 = 1/2 м (92) = 46 м
Канчатковая механічная энергія = гравітацыйная патэнцыяльная энергія + кінетычная энергія = 10 mh + 46 m = m (10 h + 46)
Прынцып захавання механічнай энергіі:
Пачатковая механічная энергія = канчатковая механічная энергія
56 м = м (10 гадзін + 46)
56 = 10 гадзін + 46
56 – 46 = 10 гадзін
10 = 10 гадзін
h = 10/10
h = 1 метраў
2.
Калі пачатковая хуткасць = 0, паскарэнне сілы цяжару = 10 м/с² , то якая хуткасць на вышыні B?
Вядома:
Пачатковая хуткасць (v₂o ) = 0
Пачатковая вышыня (h o ) = 50 м – 10 м = 40 м
Канчатковая вышыня (ht ) = 0
Паскарэнне сілы цяжару (g) = 10 мс -2
Жаданая: Канчатковая хуткасць ( vt )
Рашэнне:
Змена кінетычнай энергіі:
ΔKE = 1/2 м (v t 2 – v o 2 ) = 1/2 м (v t 2 – 0) = 1/2 мv t 2
Змена патэнцыяльнай энергіі:
ΔPE = мг (ht – ho ) = м (10)(0-40) = м (10)(-40) = –400 м
Вылічыце канчатковую хуткасць (vt ) , выкарыстоўваючы ўраўненне прынцыпу захавання механічнай энергіі :
0 = ΔKE + ΔPE
0 = 1/2 мВ t 2 – 400 м
1/2 мВ t² = 400 м
1/2 v t² = 400
v t 2 = 2(400)
v t = √(400)(2)
v t = 20√2 м/с
- Што маецца на ўвазе пад «захаваннем механічнай энергіі»?
- адказ: Захаванне механічнай энергіі азначае, што поўная механічная энергія (сума кінетычнай і патэнцыяльнай энергіі) ізаляванай сістэмы застаецца пастаяннай, калі на яе дзейнічаюць толькі кансерватыўныя сілы, такія як гравітацыя.
- Як аб'ект, які рухаецца па крывалінейнай паверхні (напрыклад, мяч, які коціцца па крывалінейным пандусе), захоўвае сваю механічную энергію?
- адказ: Па меры руху аб'екта ўніз па крывалінейнай паверхні патэнцыяльная энергія пераўтвараецца ў кінетычную энергію, але агульная механічная энергія застаецца пастаяннай, калі выказаць здагадку, што ніякія некансерватыўныя сілы (напрыклад, трэнне) не выконваюць працу.
- Калі мяч вызваліць з стану спакою ўверсе крывалінейнага пандуса, як зменіцца яго кінетычная энергія пры руху ўніз па пандусе?
- адказ: Кінетычная энергія мяча павялічваецца па меры руху ўніз па пандусе, таму што яго патэнцыяльная энергія памяншаецца і пераўтвараецца ў кінетычную энергію.
- Пры адсутнасці трэння, як будзе адрознівацца хуткасць мяча ўнізе крывалінейнай горкі ад хуткасці мяча на прамой горцы такой жа вышыні?
- адказ: Хуткасць мяча ўнізе будзе аднолькавай як для крывалінейных, так і для прамых слізгальных паверхняў, таму што пераўтварэнне патэнцыяльнай энергіі ў кінетычную энергію залежыць толькі ад вертыкальнай вышыні, а не ад пройдзенага шляху.
- Чаму мяч можа не дасягнуць сваёй першапачатковай вышыні, калі яго каціць па крывалінейнай рампе пасля спуску з пэўнай вышыні?
- адказ: Калі на мяч дзейнічаюць некансерватыўныя сілы, такія як трэнне, яны будуць выконваць працу супраць руху, пераўтвараючы частку механічнай энергіі мяча ў іншыя формы, напрыклад, цяпло. У выніку мяч можа не мець дастаткова энергіі, каб дасягнуць сваёй першапачатковай вышыні.
- Калі два аб'екты рознай формы (напрыклад, сфера і куб) слізгаюць па крывалінейным пандусе з аднолькавай вышыні, не кацячыся, ці будуць яны мець аднолькавую хуткасць унізе? Чаму?
- адказ: Так, яны будуць мець аднолькавую хуткасць унізе. Калі выказаць здагадку, што няма качэння і трэння, адзіным фактарам, які вызначае іх хуткасць, з'яўляецца захаванне энергіі, заснаванае на пачатковай вышыні, а не на іх форме.
- Як крывізна паверхні ўплывае на нармальную сілу, якая дзейнічае на аб'ект, які рухаецца па ёй?
- адказ: Крывуля прымушае кірунак нармальнай сілы змяняць яго па меры руху аб'екта. На ўвагнутай паверхні, накіраванай уверх (напрыклад, унутры міскі), нармальная сіла большая ўнізе з-за цэнтраімклівай сілы, неабходнай для крывалінейнага руху. І наадварот, на выпуклай паверхні нармальная сіла можа памяншацца або нават станавіцца роўнай нулю (аб'ект пакідае паверхню) у самым верхнім пункце.
- Якую ролю адыгрывае радыус крывізны ў захаванні механічнай энергіі на крывалінейнай паверхні?
- адказ: Сам радыус крывізны непасрэдна не ўплывае на захаванне механічнай энергіі. Аднак ён можа ўплываць на нармальную сілу і, пры наяўнасці трэння, на колькасць энергіі, якая губляецца з-за некансерватыўных сіл.
- Калі ў сярэдзіне рэйкавага пояса ёсць западзіна (напрыклад, U-вобразная крывая), як змяняецца механічная энергія аб'екта па меры яго руху праз западзіну і ўверх па іншым баку?
- адказ: Патэнцыяльная энергія аб'екта будзе памяншацца па меры яго руху ў паглыбленне і павялічвацца яго кінетычная энергія. Па меры руху ўверх па іншым баку яго кінетычная энергія будзе памяншацца, а патэнцыяльная энергія будзе павялічвацца. Калі дзейнічаюць толькі кансерватыўныя сілы, агульная механічная энергія застаецца пастаяннай на працягу ўсяго руху.
- Ці можа аб'ект мець як паступальную, так і вярчальную кінетычную энергію пры руху па крывалінейнай паверхні?
- адказ: Так, калі аб'ект, напрыклад, мяч, коціцца (без слізгацення) па крывалінейнай паверхні, ён будзе мець паступальную кінетычную энергію з-за руху цэнтра мас і вярчальную кінетычную энергію з-за кручэння вакол сваёй восі.
