Даданне вектараў

Артыкул пра складанне вектараў

1. Велічыні вектара і скаляра

Акрамя асноўных і вытворных велічынь, фізічныя велічыні можна падзяліць на два іншыя тыпы, а менавіта скалярныя велічыні і вектарныя велічыні. Такія велічыні, як маса, адлегласць, час і аб'ём, з'яўляюцца скалярнымі велічынямі, велічынямі, якія маюць толькі велічыню, але не маюць кірунку. У той жа час велічыні, такія як перамяшчэнне, хуткасць, паскарэнне і сіла, з'яўляюцца вектарнымі велічынямі, велічынямі, якія маюць як велічыню, так і кірунак.

а. Розніца паміж s- калярнай і вектарнай велічынёй

Калі вы кажаце, што маса шара роўная 400 грамам, гэтага сцвярджэння дастаткова, каб высветліць масу шара. Вам не патрэбен кірунак, каб высветліць масу шара. Падобным чынам і з часам, тэмпературай, аб'ёмам, шчыльнасцю і г.д. Ёсць некалькі фізічных велічынь, якія нельга выразіць толькі велічынёй. Калі вы кажаце, што дзіця перамясцілася на 100 метраў, то гэтага сцвярджэння недастаткова. Вы можаце спытаць, куды яно перамясцілася? На поўнач, поўдзень, усход ці захад? Аналагічна, калі вы кажаце, што штурхаеце стол з сілай 200 Н.

Куды вы едзеце? Такія велічыні называюцца вектарнымі велічынямі, велічыня і кірунак якіх патрабуюць тлумачэння. Прыкладамі вектарных велічынь з'яўляюцца перамяшчэнне, паскарэнне, імпульс, імпульс і г.д. Вы можаце лепш зразумець гэта, вывучаючы прадметы, звязаныя з гэтымі велічынямі.

б. Намалюйце вектар

Вектар пазначаецца стрэлкай. Стрэлка заўсёды малюецца так, каб яна паказвала ў кірунку вектара. Даўжыня стрэлкі апісваецца як велічыня вектара. Напрыклад, на малюнку вектар сілы (F) з велічынёй 2 Н мае кірунак на паўночны ўсход або пад вуглом 45 ^° адносна восі x.

c. Правілы запісу велічынь вектара

Пры запісе вектара, калі вы выкарыстоўваеце рукапісны тэкст, сімвал вектара звычайна пішацца курсівам з выкарыстаннем вялікіх літар, а над ім трэба дадаць стрэлку. Для друкаваных кніг вектарныя сімвалы пішуцца вялікімі літарамі тлустым шрыфтам, напрыклад, F. Для велічыні вектара, калі мы выкарыстоўваем рукапісны тэкст, то велічыня вектара пішацца, напрыклад, |F|. Для друкаваных кніг велічыня вектара пішацца курсівам, напрыклад , F.

2. Складанне вектараў — графічныя метады

Існуе некалькі спосабаў графічнага складання вектараў, у тым ліку метад «ад хваста да кончыка» і метад паралелаграма.

а. Метад складання вектараў ад хваста да кончыка

Вектары A і B вядомыя. Вектар A = 3 см супадае з воссю x (на ўсход). Вектар B = 2 см утварае вугал 30 ^° да восі x (на паўночны ўсход). Складзіце A і B графічна, выкарыстоўваючы метад «ад хваста да кончыка». а) R = A + B б) R = A – B

Велічыня выніковага вектара (R) вымяраецца з дапамогай лінейкі. Кірунак выніковага вектара вымяраецца з дапамогай транспарціра.

Вядомыя вектары A, B і C. Вектар A = 3 см супадае з воссю x (на ўсход). Вектар B = 2 см утварае вугал 30 ^° да восі x (на паўночны ўсход). Вектар C = 1 см утварае вугал 60 ^° да восі x (на паўночны ўсход). Складзіце A, B і C графічна, выкарыстоўваючы метад «ад хваста да кончыка».

а) R = A + B + C

б) R = A – B – C

Выніковы вектар (R) вымяраецца з дапамогай лінейкі. Кірунак выніковага вектара вымяраецца з дапамогай транспарціра.

б. Метад паралелаграма

Вядомыя вектары A, B і C. Вектар A = 3 см супадае з воссю x (на ўсход). Вектар B = 2 см утварае вугал 30 ^° з воссю x (на паўночны ўсход). Вектар C = 1 см утварае вугал 60 ^° з воссю x (на паўночны ўсход). Складзеце A, B і C графічна з дапамогай паралелаграма.

а) R = A + B

б) R = A – B

в) R = A + B + C

г) R = A – B – C

Выніковы вектар (R) вымяраецца з дапамогай лінейкі. Кірунак выніковага вектара вымяраецца з дапамогай транспарціра.

3. Складанне вектараў – ааналітычны метад

Вызначэнне велічыні і кірунку выніковага вектара графічным метадам — адзін з падыходаў. Дакладнасць вынікаў залежыць ад вашай дакладнасці і акуратнасці ў маляванні і чытанні маштабу. Велічыня і кірунак выніковага вектара больш дакладна атрымліваюцца з дапамогай матэматычных разлікаў.

а. Вылічэнне сумы 2 вектараў з дапамогай тэорыі косінусаў

Формула для вызначэння велічыні выніковага вектара:

Формула для вызначэння кірунку выніковага вектара:

C = выніковы вектар

A = вектар 1

B = вектар 2

cos ∠(A, B) = вугал, утвораны вектарамі A і B

Прыклад задачы 1:

F1 = 2N утварае вугал 30° вакол восі x, F2 ₌ 3N утварае вугал 60 ^° вакол восі x, θ = ³⁰ _°.

Прыклад задачы 2:

F1 ₌ 2N супадае з воссю x, F2 ₌ 3N утварае вугал 90 ^° адносна восі x, θ = 90 ^°.

б. Дадаванне вектараў па кампанентах

Разгледзьце вектар F, які ўтварае пэўны вугал адносна восі x, як паказана на малюнку ніжэй. Fx _і Fy _— гэта кампанентныя вектары вектара F.

Велічыня вектара кампаненты вызначаецца па формуле:

Fx ₌ Fcosθ

F _y = F sin θ

Разгледзьце два вектары F₁ і Ж₂ які ўтварае пэўны вугал вакол восі x, як паказана на малюнку ніжэй. F_1x і Ж_1y з'яўляюцца кампанентамі вектара F₁, таму F_2x і Ж_2y з'яўляюцца кампанентамі вектара F₂.

Вектар кампанент вызначаецца па формуле:

F_1x = Ф₁ cos θ

F1y = _F1sinθ​​

F²x = _F²cosθ​​

F1y = _F1sinθ​​

Даданне вектараў кампанентаў:

Fx = _F1x + _F2x​

F _y = F _1y + F _2y

Выніковы вектар вызначаецца па формуле:

Кірунак выніковага вектара вызначаецца па формуле:

Прыклад задачы 1:

Вызначце кампаненты вектара F, велічыня якіх роўная 20 Н і ўтвараюць вугал 30 ^° адносна восі x.

F _x = (20 Н) (cos 30 ^o ) = 17 Н

F _y = (20 Н) (sin 30 ^o ) = 10 Н

Прыклад задачы 2:

F1 = 20 Н утварае вугал 30 ^° адносна восі x, а F2 _{= 15} Н — вугал 180° адносна восі x. Вызначце велічыню і кірунак выніковага вектара.

F³x = ( ₂₀ Н)(cos₁₁o ⁾ = 17 Н

F2x = F1 ₌ –15 _Н

F _1y = (20 Н) (sin 30 ^o ) = 10 Н

F _2y = 0

Даданне вектараў кампанентаў:

F _x = F _1x – F _2x = 17 Н – 15 Н = 2 Н

F _y = 10 Н

Выніковы вектар:

F² = Fx² ₊ Fy² ₌ 2² ⁺ 10² ^{= 4} + 100 ⁼ _10⁴

F = 10.2 Н

Кірунак выніковага вектара:

θ = tan −15 = 78.7 ^° адносна восі x

Прыклад задачы 3:

F₁, Ж_2, і Ж₃ складаюць 20 Н, 30 Н і 40 Н. Ф₁ утварае вугал 60^o вакол восі x, F₂ утварае вугал 150^o вакол восі x і F₃ утварае вугал 315^o адносна восі x. Вызначце велічыню і кірунак выніковага вектара.

F1x = ( ₂₀ Н)(cos 60 ^o ) = 10 Н

F _1y = (20 Н) (sin 60 ^o ) = 17 Н

F²x = ( ₃₀ Н)(cos³⁺ ⁾ = -26 Н

F _2y = (30 Н) (sin 30 ^o ) = 15 Н

F³x = ( ₄₀ Н)(cos₁₁o ⁾ = 28 Н

F _3y = (40 Н) (sin 45 ^o ) = -28 Н

Даданне вектара кампанентаў:

F _x = F _1x – F _2x + F _3x = 10 Н – 26 Н + 28 Н = 12 Н

F _y = F _1y + F _2y – F _3y = 17 Н + 15 Н – 28 Н = 4 Н

Выніковы вектар:

F² = Fx² ₊ Fy² ₌ 12² ^{+ 4² =} 144 + 16 ^{= 160}

F = 13 Н

Кірунак выніковага вектара:

θ = tan ⁻¹ 0.3 = 17 ^° вакол восі x