Запіс вытворнай функцыі
Пендахулуан
У матэматыцы, асабліва ў вылічэнні, вытворная з'яўляецца фундаментальным паняццем, якое адыгрывае вырашальную ролю ў шырокім дыяпазоне прымянення. Вытворныя выкарыстоўваюцца не толькі ў тэарэтычнай матэматыцы, але і ў навуцы, тэхніцы, эканоміцы і многіх іншых дысцыплінах. У гэтым артыкуле падрабязна абмяркуецца вытворная функцыі, ахопліваючы яе асновы, важныя правілы і прыклады прымянення.
Асновы вытворных фінансавых інструментаў
Вызначэнне вытворных фінансавых інструментаў
Вытворная функцыі апісвае хуткасць змены функцыі адносна яе незалежнай зменнай. Інтуітыўна вытворную можна вызначыць як нахіл датычнай, якая датыкаецца графіка функцыі ў пункце.
Калі y = f(x), то першая вытворная ад f адносна x пазначаецца як f'(x) або dydx. Фармальнае вызначэнне вытворнай задаецца наступнай граніцай:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0}} \frac{f(x+h) – f(x)}{h} \]
Абазначэнне вытворных
Існуе некалькі абазначэнняў, якія звычайна выкарыстоўваюцца пры запісе вытворных:
1. Абазначэнні Лейбніца: \( \frac{dy}{dx} \)
2. Абазначэнне Лагранжа: \( f'(x) \)
3. Абазначэнне Ньютана: \( y ' \)
4. Абазначэнне Эйлера: \( Df(x) \)
Кожная натацыя мае спецыфічнае прымяненне і кантэксты, у якіх яна часцей ужываецца.
Асноўныя правілы дыферэнцыявання
Правілы складання і аднімання
Калі f(x) і g(x) — дзве дыферэнцыявальныя функцыі, то:
\[ \frac{d}{dx} [f(x) \pm g(x)] = f'(x) \pm g'(x) \]
Правілы множання
Для дзвюх функцый (u(x)) і (v(x)):
\[ \frac{d}{dx} [u(x) \cdot v(x)] = u'(x) \cdot v(x) + u(x) \cdot v'(x) \]
Правілы дывізіёна
Калі \(u(x) \) і \(v(x) \) — дзве функцыі, і \(v(x) \neq 0 \):
\[ \frac{d}{dx} \left[ \frac{u(x)}{v(x)} \right] = \frac{u'(x) \cdot v(x) – u(x) \cdot v'(x)}{[v(x)]^2} \]
Правіла ланцуга
Для кампазіцыі дзвюх функцый (f(u)) і (u(g)):
\[ \frac{d}{dx} [f(g(x))] = f'(g(x)) \cdot g'(x) \]
Прыклады прымянення
Вытворныя паліномных функцый
Дапусцім, (f(x) = 3x^3 – 5x^2 + 2x – 1). Каб знайсці вытворную гэтай функцыі, мы ўжываем асноўныя правілы дыферэнцыявання.
f'(x) = dx (3x^3) – dx (5x^2) + dx (2x) – dx (1)
\[f'(x) = 9x^2 – 10x + 2 \]
Вытворныя экспанентнай і лагарыфмічнай функцый
Калі \( f(x) = e^x \), то вытворная экспаненцыяльнай функцыі мае выгляд:
\[f'(x) = e^x \]
Для натуральнага лагарыфма (f(x) = ln(x)):
\[f'(x) = \frac{1}{x} \]
Вытворныя трыганаметрычных функцый
Для асноўных трыганаметрычных функцый:
– Калі f(x) = sin(x), то f'(x) = cos(x)
– Калі f(x) = cos(x), то f'(x) = -sin(x)
– Калі f(x) = tg(x), то f'(x) = 2(x)
Вытворная састаўной функцыі
Дапусцім, што f(x) = sin(2x) можна ўжыць правіла ланцуга:
\[f'(x) = \cos(2x) \cdot \frac{d}{dx}(2x) = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x) \]
Пашыраныя вытворныя фінансавыя інструменты
Другія і наступныя вытворныя
Другая вытворная — гэта вытворная першай вытворнай функцыі. Калі \(y = f(x) \), то другая вытворная пазначаецца як \(f”(x) \) або \( \frac{d^2y}{dx^2} \). І гэтак далей для трэцяй вытворнай \(f”'(x) \) або \( \frac{d^3y}{dx^3} \).
Дапусцім, (f(x) = x^4)
\[f'(x) = 4x^3 \]
\[f”(x) = \frac{d}{dx}(4x^3) = 12x^2 \]
\[f”'(x) = \frac{d}{dx}(12x^2) = 24x \]
\[f””(x) = \frac{d}{dx}(24x) = 24 \]
Прымяненне вытворных у фізіцы
У фізіцы вытворныя часта выкарыстоўваюцца для вызначэння хуткасці і паскарэння. Дапусцім, што \(s(t) \) — гэта функцыя становішча адносна часу \(t \). Хуткасць \(v(t) \) — гэта першая вытворная становішча:
\[v(t) = s'(t) \]
Паскарэнне (a(t)) — гэта першая вытворная хуткасці або другая вытворная ад становішча:
\[ a(t) = v'(t) = s”(t) \]
Выснова
Вытворная функцыі — гэта фундаментальнае паняцце ў вылічэнні, якое шырока ўжываецца ў розных галінах. Інтуітыўнае разуменне вытворнай як нахілу датычнай дае важнае ўяўленне аб уласцівасцях і паводзінах функцыі. Разуменне і ўменне прымяняць правілы дыферэнцыявання, такія як правіла ланцуга, правіла здабытку і правіла дзялення, вельмі важныя для ўсіх, хто вывучае вылічэнне. З дапамогай простых прыкладаў і прымянення ў фізіцы гэты артыкул мае на мэце даць поўнае разуменне запісу вытворнай функцыі.
