Чаканае значэнне бінамінальнага размеркавання
Бінамінальнае размеркаванне — адно з найбольш распаўсюджаных дыскрэтных размеркаванняў імавернасцей у статыстыцы і тэорыі імавернасцей. Гэта размеркаванне апісвае колькасць поспехаў у серыі незалежных бінарных выпрабаванняў (выпрабаванняў толькі з двума вынікамі: поспехам або няўдачай). Каб лепш зразумець бінамінальнае размеркаванне, важна разумець паняцце чаканага значэння, якое апісвае сярэдняе значэнне выпрабавання, паўтаранага на працягу доўгага часу. У гэтым артыкуле будзе разгледжана паняцце чаканага значэння ў кантэксце бінамінальнага размеркавання.
Вызначэнне бінамінальнага размеркавання
Бінамінальнае размеркаванне ўзнікае ў кантэкстах, калі мы праводзім шэраг аднолькавых і незалежных выпрабаванняў, і кожнае выпрабаванне мае два ўзаемавыключныя вынікі, якія звычайна называюць «поспехам» і «няўдачай». Напрыклад, падкідванне манеты (арол ці рэшка), адказ на экзаменацыйнае пытанне (праўда ці ілжыва) або медыцынскае выпрабаванне (выздараўленне ці невыздараўленне).
Бінамінальнае размеркаванне вызначаецца двума параметрамі:
– n, колькасць спроб.
– p — верагоднасць поспеху ў кожнай спробе.
Груба кажучы, калі X — выпадковая велічыня, якая прадстаўляе колькасць поспехаў у n спробах, то X мае бінамінальнае размеркаванне з параметрамі n і p, якое пазначаецца як X ~ Binomial(n, p).
Функцыя верагоднасці
Функцыя імавернасці бінамінальнага размеркавання мае наступны выгляд:
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{nk} \]
Дзе:
– \( \binom{n}{k} \) — бінаміяльны каэфіцыент, які вылічваецца як \( \frac{n!}{k!(nk)!} \).
– \(k \) — жаданая колькасць поспехаў.
– \(n \) — колькасць спроб.
– \(p \) — верагоднасць поспеху ў кожнай спробе.
– \( (1-p) \) — верагоднасць няўдачы ў кожнай спробе.
Чаканае значэнне
Матэматычнае чаканне або сярэдняе значэнне размеркавання імавернасцей з'яўляецца адной з найважнейшых мер цэнтральнага размяшчэння. Для бінамінальнага размеркавання чаканае значэнне выпадковай велічыні X, якая ідзе за Binomial(n, p), роўнае:
\[ E(X) = np \]
Доказ чаканай каштоўнасці
Каб зразумець, чаму чаканае значэнне бінамінальнага размеркавання роўнае np, мы можам выкарыстаць уласцівасць лінейнасці чаканага значэння і паглядзець, як бінарныя зменныя складаюць свой уклад.
Вызначым \(X\) як колькасць поспехаў у n бінарных выпрабаваннях. Больш канкрэтна, няхай \(X_i\) будзе выпадковай велічынёй, якая абазначае вынік i-га выпрабавання, дзе \(X_i = 1\) калі i-е выпрабаванне паспяховае, і \(X_i = 0\) калі яно няўдалае. Тады мы можам запісаць \(X\) як:
\[X = X_1 + X_2 + \ldots + X_n \]
Паколькі кожная зменная \(X_i \) з'яўляецца бінарнай з імавернасцю поспеху p, чаканае значэнне \(X_i \) роўнае:
E(X_i) = 1 p + 0 (1-p) = p
Мы можам выкарыстаць уласцівасць лінейнасці чаканага значэння для чаканага значэння X:
E(X) = E(X_1 + X_2 + кропкі + X_n)
\[ E(X) = E(X_1) + E(X_2) + \ldots + E(X_n) \]
\[ E(X) = p + p + \ldots + p \]
\[ E(X) = np \]
Гэта паказвае, што чаканае значэнне бінамінальнага размеркавання роўна np.
Ілюстрацыйны прыклад
Разгледзім выпадак, калі мы падкідваем справядлівую манету 10 разоў. Давайце спытаем, якім будзе чаканае значэнне колькасці падкіданняў, якія прывядуць да выпадзення арла.
У гэтым выпадку:
– n = 10 (колькасць падкідванняў манеты)
– p = 0.5 (верагоднасць выпадзення арла, бо манета справядлівая)
Такім чынам, чаканае значэнне:
\[ E(X) = np = 10 \times 0.5 = 5 \]
Гэта азначае, што калі мы падкінем манету 10 разоў на працягу доўгага часу, у сярэднім мы атрымаем арол 5 разоў.
Дысперсія і стандартнае адхіленне
Акрамя чаканага значэння, важна таксама разумець дысперсію і стандартнае адхіленне бінамінальнага размеркавання.
Для бінамінальнага размеркавання дысперсія (σ²) і стандартнае адхіленне (σ) наступныя:
\[ \sigma^2 = np(1-p) \]
\[ \sigma = \sqrt{np(1-p)} \]
Дысперсія вымярае, наколькі дадзеныя адхіляюцца ад чаканага значэння. Стандартнае адхіленне — гэта квадратны корань з дысперсіі, і яно таксама вымярае распаўсюджванне дадзеных, але ў тых жа адзінках вымярэння, што і зыходныя дадзеныя.
Выснова
Бінамінальнае размеркаванне — гэта фундаментальнае паняцце ў статыстыцы і тэорыі верагоднасці, якое часта сустракаецца ў розных рэальных прыкладаннях, ад бізнесу да сацыяльных навук і біялогіі. Чаканае значэнне бінамінальнага размеркавання, разлічанае як np, дае важную інфармацыю аб сярэдняй колькасці поспехаў у серыі бінамінальных выпрабаванняў. Разумеючы паняцці чаканага значэння, дысперсіі і стандартнага адхілення, мы можам атрымаць больш выразнае разуменне характарыстык бінамінальнага размеркавання і таго, як яно апісвае пэўныя з'явы ў паўсядзённым жыцці.
Гэтыя веды надзвычай карысныя не толькі ў аналізе дадзеных і статыстыцы, але і ў прыняцці рашэнняў, якія патрабуюць ацэнкі верагоднасці і нявызначанасці. Разуменне чаканага значэння і бінамінальнага размеркавання можа дапамагчы нам рабіць больш дакладныя прагнозы і прымаць больш абгрунтаваныя рашэнні.
