Вызначэнне каэфіцыента карэляцыі: уводзіны, метады і прымяненне
Каэфіцыент карэляцыі — гэта статыстычная мера, якая вызначае сілу сувязі паміж двума зменнымі ў наборы даных. Карэляцыі вар'іруюцца ад -1 да 1. Значэнне каэфіцыента, блізкае да 1 або -1, сведчыць аб моцнай сувязі паміж двума зменнымі. Значэнне каэфіцыента, блізкае да 0, сведчыць аб адсутнасці моцнай сувязі паміж двума зменнымі. У гэтым артыкуле будуць абмеркаваны каэфіцыент карэляцыі, метады яго разліку, яго інтэрпрэтацыя і яго прымяненне ў розных галінах.
Уводзіны ў каэфіцыент карэляцыі
Каэфіцыент карэляцыі дае нам лікавае ўяўленне аб тым, наколькі цесна звязаныя дзве зменныя. Каэфіцыенты карэляцыі падзяляюцца на два асноўныя тыпы ў залежнасці ад кірунку сувязі:
1. Станоўчы каэфіцыент карэляцыі: паказвае, што пры павелічэнні адной зменнай павялічваецца і другая зменная.
2. Адмоўны каэфіцыент карэляцыі: паказвае, што калі адна зменная павялічваецца, іншая зменная памяншаецца.
Сувязь паміж двума зменнымі таксама можна падзяліць на тры тыпы ў залежнасці ад трываласці сувязі:
1. Моцная карэляцыя: каэфіцыент блізкі да -1 або 1.
2. Умераная карэляцыя: каэфіцыент знаходзіцца ў дыяпазоне ад -0.5 да -1 або ад 0.5 да 1.
3. Слабая карэляцыя: каэфіцыент блізкі да 0.
Метад разліку каэфіцыента карэляцыі
Для разліку каэфіцыента карэляцыі выкарыстоўваецца некалькі распаўсюджаных метадаў, у тым ліку карэляцыя Пірсана, карэляцыя Спірмена і карэляцыя Кендала. Давайце абмяркуем кожны з гэтых метадаў больш падрабязна.
1. Карэляцыя Пірсана
Каэфіцыент карэляцыі Пірсана часта выкарыстоўваецца, калі абедзве зменныя бесперапынныя і маюць нармальнае размеркаванне. Формула для каэфіцыента карэляцыі Пірсана выглядае наступным чынам:
\[r = \frac {n(\Sigma xy) – (\Sigma x)(\Sigma y)}{ \sqrt{ [n \Sigma x^2 – (\Sigma x)^2] [n \Sigma y^2 – (\Sigma y)^2] } } \]
Дзе:
– \(r \) = каэфіцыент карэляцыі,
– \(n \) = колькасць пар дадзеных,
– \( \Sigma xy \) = сума здабыткаў пар дадзеных \(x \) і \(y \),
– \( \Sigma x \) = сума значэнняў (x \),
– \( \Sigma y \) = сума значэнняў ( y \),
– \( \Sigma x^2 \) = сума квадратаў \(x \),
– \( \Sigma y^2 \) = сума квадратаў \( y \).
2. Карэляцыя рангаў Спірмена
Каэфіцыент карэляцыі Спірмена выкарыстоўваецца для парадкавых дадзеных або калі немагчыма выканаць здагадку аб нармальнасці. Карэляцыя Спірмена заснавана на ранжыраванні значэнняў дадзеных, а не на іх фактычных значэннях. Формула для каэфіцыента карэляцыі Спірмена выглядае наступным чынам:
\[ \ρ = 1 – \frac {6\Sigma d_i^2}{n(n^2-1)} \]
Дзе:
– \( \ρ \) = каэфіцыент карэляцыі Спірмена,
– \(d_i \) = розніца паміж ранжыраваннем пар дадзеных \(x \) і \(y \),
– \(n \) = колькасць пар дадзеных.
3. Карэляцыя таў-клеткаў Кендала
Каэфіцыент карэляцыі Кендала вымярае сілу сувязі паміж двума парадкавымі зменнымі. У адрозненне ад карэляцыі Спірмена, карэляцыя Кендала больш сканцэнтравана на колькасці пар канкардантных і дыскардантных зменных. Формула для каэфіцыента карэляцыі Кендала выглядае наступным чынам:
\[ \tau = \frac{ (C – D)} { \sqrt{(C + D + T) (C + D + U) } } \]
Дзе:
– \( \tau \) = каэфіцыент карэляцыі Кендала,
– \( C \) = колькасць пар канкардантаў,
– \(D \) = колькасць дысардантных пар,
– \(T \) = колькасць пар серый у зменнай \(x \),
– \(U \) = колькасць пар паслядоўнасцей у зменнай \(y \).
Інтэрпрэтацыя каэфіцыента карэляцыі
Інтэрпрэтацыя каэфіцыента карэляцыі залежыць ад атрыманага значэння каэфіцыента:
– Каэфіцыент +1: Ідэальна пазітыўныя адносіны.
– Каэфіцыент ад 0.7 да 0.9: моцная станоўчая сувязь.
– Каэфіцыент ад 0.4 да 0.6: Умераная станоўчая сувязь.
– Каэфіцыент ад 0.1 да 0.3: Слабая станоўчая сувязь.
– Каэфіцыент 0: Няма сувязі.
– Каэфіцыент ад -0.1 да -0.3: Слабая адмоўная сувязь.
– Каэфіцыент ад -0.4 да -0.6: Умераная адмоўная сувязь.
– Каэфіцыент ад -0.7 да -0.9: Моцная адмоўная сувязь.
– Каэфіцыент -1: Ідэальна адмоўная сувязь.
Прымяненне каэфіцыента карэляцыі
Каэфіцыент карэляцыі мае шырокі спектр прымянення ў розных галінах, у тым ліку ў эканоміцы, сацыяльных навуках, ахове здароўя, адукацыі і іншых. Вось некалькі прыкладаў:
1. Эканоміка: Вызначэнне сувязі паміж інфляцыяй і беспрацоўем або паміж спажывецкімі выдаткамі і даходамі.
2. Грамадскія навукі: Вызначэнне сувязі паміж адукацыяй і даходам, або паміж сацыяльнымі сеткамі і псіхалагічным дабрабытам.
3. Здароўе: параўнанне сувязі паміж курэннем і выпадкамі раку лёгкіх або паміж актыўным ладам жыцця і здароўем сэрца.
4. Адукацыя: Вывучэнне сувязі паміж часам вучобы і вынікамі экзаменаў або паміж памерам класа і поспехамі вучняў.
Практычныя прыклады выкарыстання набораў дадзеных
Дапусцім, у нас ёсць набор даных, які ўключае вынікі тэстаў па матэматыцы і час вучобы ў гадзінах для 10 студэнтаў наступным чынам:
"
Вучні навучальных гадзін, адзнакі па матэматыцы
1 5 85
2 3 78
3 6 90
4 2 76
5 4 80
6 6 88
7 5 85
8 3 82
9 7 91
10 5 87
"
Мы можам вылічыць каэфіцыент карэляцыі Пірсана паміж Study_Hours і Math_Score. Выкарыстоўваючы формулу Пірсана, мы спачатку вылічваем \( \Sigma x \), \( \Sigma y \), \( \Sigma xy \), \( \Sigma x^2 \) і \( \Sigma y^2 \), а затым падстаўляем гэтыя значэнні ў формулу, каб атрымаць значэнне \(r \).
Выснова
Каэфіцыент карэляцыі — гэта магутны інструмент у аналізе дадзеных для вызначэння сілы і кірунку сувязі паміж двума зменнымі. Разуменне канцэпцыі, метадаў разліку і інтэрпрэтацыі каэфіцыента карэляцыі мае важнае значэнне для эфектыўнага аналізу дадзеных. Пры правільным разуменні мы можам лепш вызначаць карэляцыі паміж зменнымі ў розных галінах і прымаць больш абгрунтаваныя рашэнні, заснаваныя на дадзеных.
