Цэлыя лікі і іх уласцівасці
Цэлыя лікі — адно з самых асноўных паняццяў матэматыкі, але яны адыгрываюць значную ролю ў паўсядзённым жыцці. Калі мы падлічваем прадметы, вызначаем тэмпературу ніжэй за нуль, вылічваем колькасць паверхаў у падвале або запісваем прыбытак і страты ў бізнэсе, мы насамрэч маем справу з цэлымі лікамі. Разуменне цэлых лікаў і іх уласцівасцей дазволіць лягчэй вывучаць арыфметыку, алгебру і нават матэматычныя паняцці больш высокага ўзроўню.
Вызначэнне цэлых лікаў
Цэлыя лікі — гэта мноства лікаў, якое складаецца з адмоўных цэлых лікаў, нуля і дадатных цэлых лікаў. Сімвал, які часта выкарыстоўваецца для абазначэння мноства цэлых лікаў, — Z (паходзіць ад нямецкага слова Zahlen, што азначае «лік»). Увогуле, цэлыя лікі можна запісаць наступным чынам:
…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …
У адрозненне ад цэлых лікаў, якія ўтрымліваюць толькі 0 і дадатныя лікі, цэлыя лікі ўключаюць адмоўныя лікі, таму яны больш поўна апісваюць розныя сітуацыі.
Прыклады цэлых лікаў у паўсядзённым жыцці
Цэлыя лікі цесна звязаны з дзейнасцю чалавека. Вось некаторыя прыклады іх выкарыстання:
1. Тэмпература паветра: тэмпература -5°C азначае, што тэмпература паветра складае 5 градусаў ніжэй за нуль.
2. Вышыня над узроўнем мора: вышыня -20 метраў можа азначаць месцазнаходжанне на 20 метраў ніжэй за ўзровень мора.
3. Фінансы: баланс -50 000 азначае запазычанасць або дэфіцыт у памеры 50 000.
4. Паверх будынка: Паверх -1 або -2 звычайна выкарыстоўваецца для падвала.
5. Лік гульні: У некаторых гульнях лік можа павялічвацца або памяншацца, такім чынам, у ім удзельнічаюць як станоўчыя, так і адмоўныя лічбы.
З гэтых прыкладаў відаць, што цэлыя лікі дапамагаюць нам выказваць станы «больш чым», «менш чым» або «роўна», маючы нуль у якасці кропкі адліку.
Цэлая лікавая прамая
Каб зразумець цэлыя лікі, мы часта выкарыстоўваем лікавую прамую. Лікавая прамая — гэта прамая лінія, якая размяшчае лікі ў пэўных пазіцыях:
– Дадатныя лікі знаходзяцца справа ад нуля.
– Адмоўныя лікі знаходзяцца злева ад нуля.
– Чым далей значэнне ўправа, тым яно большае.
– Чым далей налева, тым меншае значэнне.
З дапамогай лікавай прамой мы можам лёгка параўноўваць цэлыя лікі. Напрыклад, -2 большы за -5, таму што -2 знаходзіцца правей, чым -5.
Уласцівасці цэлых лікаў
Цэлыя лікі маюць некалькі важных уласцівасцей у матэматычных аперацыях. Гэтыя ўласцівасці вельмі карысныя пры выкананні вылічэнняў, спрашчэнні алгебраічных выразаў або доказе паняццяў.
1. Закрыты характар (Закрытасць)
Мноства цэлых лікаў замкнёнае адносна пэўных аперацый, гэта значыць, што калі мы выканаем гэтыя аперацыі над цэлымі лікамі, вынік усё роўна будзе цэлым лікам.
– Складанне: Калі a і b цэлыя лікі, то a + b таксама цэлы лік.
Прыклад: -3 + 7 = 4
– Адніманне: Калі a і b цэлыя лікі, то a − b таксама цэлы лік.
Прыклад: 5 − 12 = -7
– Множанне: калі a і b цэлыя лікі, то a × b таксама цэлы лік.
Прыклад: (-4) × 6 = -24
Аднак цэлыя лікі не заўсёды замкнёныя адносна дзялення, бо вынікам дзялення можа быць дроб.
Прыклад: 1 ÷ 2 = 1/2 (не цэлы лік).
2. Камутатыўная ўласцівасць (абмен)
Камутатыўнасць азначае, што парадак лікаў можна мяняць месцамі без змены выніку.
– Складанне: a + b = b + a
Прыклад: 2 + (-5) = (-5) + 2 = -3
– Множанне: a × b = b × a
Прыклад: (-3) × 4 = 4 × (-3) = -12
Важна памятаць, што адніманне і дзяленне не з'яўляюцца камутатыўнымі.
Прыклад: 7 − 2 ≠ 2 − 7.
3. Асацыятыўныя ўласцівасці (групаванне)
Асацыятыўнасць азначае, што спосаб групоўкі лікаў у аперацыі не змяняе вынік.
– Складанне: (a + b) + c = a + (b + c)
Прыклад: (1 + 2) + 3 = 1 + (2 + 3) = 6
– Множанне: (a × b) × c = a × (b × c)
Прыклад: (2 × 3) × 4 = 2 × (3 × 4) = 24
Гэтак жа, як і камутатыўнасць, асацыятыўнасць таксама не распаўсюджваецца на адніманне і дзяленне.
4. Размеркавальныя ўласцівасці (распаўсюджванне)
Размеркавальная ўласцівасць звязвае аперацыі множання са складаннем або адніманнем:
– a × (b + c) = (a × b) + (a × c)
Прыклад: 3 × (2 + 5) = (3 × 2) + (3 × 5) = 6 + 15 = 21
– a × (b − c) = (a × b) − (a × c)
Прыклад: 4 × (10 − 3) = 40 − 12 = 28
Гэтая ўласцівасць вельмі важная для спрашчэння алгебраічных формаў і рашэння ўраўненняў.
5. Элементы адзінкі (тоеснасці складання і множання)
Ідэнтычнасць — гэта лік, які не змяняе значэння іншага ліку пры выкананні аперацый над ім.
– Адытыўная адзінка роўная 0: a + 0 = a
Прыклад: -9 + 0 = -9
– Тонасць множання роўная 1: a × 1 = a
Прыклад: 8 × 1 = 8
Тоеснасці дапамагаюць нам зразумець нейтральную канцэпцыю ў матэматычных аперацыях.
6. Адваротныя элементы (супрацьлеглыя лікі)
Кожны цэлы лік мае адытыўнае адваротнае значэнне, якое з'яўляецца супрацьлегласцю ліку, сумаванне якога дае 0.
– Адваротная функцыя да a — гэта -a, таму: a + (-a) = 0
Прыклад: 6 + (-6) = 0, і -4 + 4 = 0
Аднак не ўсе цэлыя лікі маюць адваротную аперацыю множання. Напрыклад, адваротная аперацыя множання 2 — гэта 1/2, якая не з'яўляецца цэлым лікам.
7. Станоўчыя і адмоўныя прыкметы ў эксплуатацыі
У цэлых ліках дадатныя і адмоўныя знакі даюць спецыяльныя правілы множання і дзялення:
– (+) × (+) = (+)
– (+) × (-) = (-)
– (-) × (+) = (-)
– (-) × (-) = (+)
прыклад:
– 3 × (-2) = -6
– (-5) × (-4) = 20
Для складання і аднімання мы часта выкарыстоўваем паняцце лікавай прамой або правіла:
– Дадаванне адмоўных лікаў тое ж самае, што і «адніманне».
– Адніманне адмоўнага ліку тое ж самае, што і «даданне».
прыклад:
– 7 + (-3) = 4
– 5 − (-2) = 7
Выснова
Цэлыя лікі — гэта набор лікаў, які складаецца з адмоўных лікаў, нуля і дадатных лікаў. Гэтыя лікі вельмі важныя, таму што яны могуць апісваць розныя ўмовы ў жыцці, такія як мінусовая тэмпература, фінансавыя страты або месцы ніжэй за ўзровень мора. Цэлыя лікі таксама маюць фундаментальныя ўласцівасці, такія як замкнёнасць (для складання, аднімання і множання), камутатыўнасць, асацыятыўнасць, размеркавальнасць, адзінка і адытыўная адваротная функцыя. Разумеючы ўласцівасці цэлых лікаў, нам будзе лягчэй выконваць вылічэнні, спрашчаць аперацыі і вывучаць наступныя матэматычныя тэмы, такія як алгебра, ураўненні і іншыя сістэмы злічэння.
Калі хочаце, я магу зрабіць версію гэтага артыкула для пачатковай/сярэдняй школы (больш простую) або больш фармальную версію, напрыклад, поўную працу з практычнымі пытаннямі і абмеркаваннямі.
