Просты спосаб рашэння задач на імавернасці
Тэма імавернасцей часта сустракаецца ў школах з-за яе блізкасці да паўсядзённага жыцця: ад верагоднасці з'яўлення лічбы на кубіку да выцягвання каляровага шарыка з скрынкі і верагоднасці падзеі, якая адбылася на аснове дадзеных. На жаль, многія вучні лічаць імавернасць «хітрай», таму што задачы здаюцца простымі, але адказы могуць быць няправільнымі, калі іх не ўважліва абдумаць. Аднак існуе даволі просты і сістэматычны спосаб вырашэння задач на імавернасці: зразумець асноўныя паняцці, вызначыць тып задачы, а затым выбраць правільную стратэгію.
У гэтым артыкуле будуць абмеркаваны практычныя крокі, якія дапамогуць вам хутчэй і дакладней працаваць над задачамі на імавернасць.
-
1. Зразумейце асноўную ідэю магчымасці
У агульным выпадку, імавернасць падзеі \(A\) запісваецца як:
\[
P(A) = \frac{\text{колькасць вынікаў, якія пацвярджаюць }A}{\text{колькасць усіх магчымых вынікаў}}
\]
Ключ крыецца ў двух рэчах:
1. Прастора выбаркі (S): усе магчымыя вынікі, якія могуць адбыцца.
2. Падзея (А): частка выбарачнай прасторы, якая адпавядае зададзенаму пытанню.
Калі ўсе вынікі аднолькава верагодныя (напрыклад, справядлівыя кубікі, справядлівыя манеты), то вышэйпаказаную формулу можна выкарыстоўваць непасрэдна. Калі яны не аднолькава верагодныя, верагоднасці звычайна разлічваюцца з іншых мадэляў (напрыклад, дадзеных аб частаце або ўмоўнай верагоднасці).
-
2. Хуткія крокі для вырашэння праблем з магчымасцямі
Каб не заблудзіцца, выкарыстоўвайце наступную «працоўную формулу»:
1. Запішыце, што пытаецца (пра якую падзею пытаецца?)
2. Вызначце прастору выбаркі (колькі магчымых вынікаў існуе?)
3. Вылічыце вынікі, якія пацвярджаюць запытаную падзею.
4. Размеркаванне прыбытку падтрымлівае агульныя вынікі
5. Спрасціце дроб і пераканайцеся, што ён лагічны (верагоднасць павінна быць паміж 0 і 1)
Большасць памылак узнікае з-за таго, што крокі 2 і 3 незразумелыя.
-
3. Пры неабходнасці выкарыстоўвайце табліцы, дрэвападобныя дыяграмы або спісы.
Для задач, якія ўключаюць дзве ці больш спроб (напрыклад, двойчы падкінуць манету, двойчы выцягнуць карту), візуальныя метады вельмі карысныя.
а) Табліца
Падыходзіць для двух простых зменных, напрыклад, манет і кубікаў.
б) Дрэвападобная дыяграма
Падыходзіць для пакрокавых эксперыментаў, асабліва калі ёсць умова «няма вяртання» (колькасць аб'ектаў змяняецца).
c) Спіс членаў прасторы выбарак
Падыходзіць для невялікіх пробных памяшканняў.
Такім чынам, вам не трэба будзе здагадвацца.
-
4. Класічныя пытанні на тэорыю верагоднасці і хуткія рашэнні
А. Верагоднасць выйгрышу ў кубіках
Кубікі маюць 6 граняў: \(\{1,2,3,4,5,6\}\)
Прыклад: верагоднасць атрымання цотнага ліку.
– Прастора выбаркі \(S = 6\)
– Падзея \(A = \{2,4,6\}\) роўная 3
– \(P(A) = 3/6 = 1/2\)
Хуткі прыём: заўсёды лічыце «колькі запоўніць», а не «усяго 6».
-
B. Выпадковасць на манеце
У манеты два бакі: арол (А) і арол (Г).
Прыклад: верагоднасць атрымання карцінкі пры кіданні манеты адзін раз.
– Усяго 2
– Падтрымка 1
– Шанец \(=1/2\)
Калі кінуць двойчы:
– Прастора выбаркі: \(\{AA, AG, GA, GG\}\) усяго 4
Хуткая парада: для незалежных выпрабаванняў агульная верагоднасць звычайна складае \(2^n\) (для манет) і \(6^n\) (для кубікаў).
-
C. Верагоднасць выцягвання мяча з скрынкі (з замяшчэннем і без замяшчэння)
Напрыклад, у скрынцы ляжаць 3 чырвоныя і 2 сінія шары (усяго 5).
1) З вяртаннем
Зрабіце 2 спробы, кожны раз вяртаючы мяч. Верагоднасць таго, што спачатку спачатку возьмеце чырвоны, а потым сіні:
– Верагоднасць чырвонага: \(3/5\)
– Затым сіні (паколькі яго вярнулі, ён застаецца): \(2/5\)
– \(P = (3/5)(2/5)=6/25\)
2) Вяртання няма
Зрабіце 2 спробы без вяртання. Верагоднасць чырвонага, а потым сіняга:
– Шанцы на першы чырвоны: \(3/5\)
– Засталося 4 шарыкі, сініх застаецца 2 → верагоднасць таго, што выпадзе другі сіні шар: \(2/4\)
– \(P = (3/5)(2/4)=6/20=3/10\)
Ключавое адрозненне: без замены назоўнік змяняецца, бо агульная колькасць шарыкаў памяншаецца.
-
5. Выкарыстоўвайце правілы складання і дапаўнення
А. Правіла складання (АБО)
Калі вас просяць пра каэфіцыенты «А» ці «Б», выкарыстоўвайце:
\[
P(A \cup B) = P(A) + P(B) – P(A \cup B)
\]
– \(A \кубак B\): A або B (ці абодва)
– \(A \cap B\): А і В адначасова
Просты прыклад: кіданне кубіка, верагоднасць атрымання цотнага ліку або ліку, кратнага 3.
– Цотныя: {2, 4, 6} → 3
– Кратныя 3: {3,6} → 2
– Зрэзы (цотныя і кратныя 3): {6} → 1
– Peluang: \((3/6)+(2/6)-(1/6)=4/6=2/3\)
B. Дапаўненне (супрацьлеглае)
Часта прасцей палічыць «не адбылося», а потым адняць гэта ад 1.
\[
P(A) = 1 – P(A^c)
\]
Прыклад: верагоднасць таго, што «арол» выпадзе хаця б адзін раз пры трох падкідваннях манеты.
Замест таго, каб лічыць лік у 1, 2, 3 разы, палічыце яго дапаўненне:
– Дапаўненне: адсутнасць лічбаў = толькі лічбы (GGG)
– \(P(\text{GGG}) = (1/2)^3 = 1/8\)
– Такім чынам, \(P(\text{мінімум 1 лік}) = 1 – 1/8 = 7/8\)
Гэты прыём вельмі папулярны для пытанняў тыпу «хаця б адзін», «хаця б адзін», «найменш».
-
6. Умоўныя каэфіцыенты: звяртайце ўвагу на дадатковую інфармацыю
Умоўная імавернасць азначае імавернасць таго, што А адбудзецца пры ўмове, што Б ужо адбылося:
\[
P(A|B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}
\]
Гэты тып пытанняў звычайна з'яўляецца, калі ёсць дадатковая інфармацыя, напрыклад, «вядома, што быў выцягнуты чырвоны шар» або «вядома, што абраная студэнтка была дзяўчынай».
Лёгкі спосаб:
1. Засяродзьцеся на ўмове B (дапусцім, што прастора выбаркі звужаецца толькі да B)
2. З тых, што адпавядаюць крытэрыю B, палічыце тыя, што таксама адпавядаюць крытэрыю A.
-
7. Найбольш распаўсюджаныя памылкі
1. Забыўся змяніць прастору ўзору, калі без замены.
2. Няправільнае тлумачэнне слова «ці» (часам маецца на ўвазе і тое, і другое).
3. Недакладнасць у выкарыстанні «мінімум» / «большасць»; лепш выкарыстоўваць дапаўненні.
4. Выказванне меркавання, што падзеі незалежныя, калі яны не з'яўляюцца такімі (без вяртання яны не незалежныя).
5. Не спрашчайце і не правярайце логіку (верагоднасць выніку не павінна быць >1).
-
8. Практыкуйцеся, каб хутка авалодаць навыкамі
– Прызвычайцеся пісаць: \(S\), \(A\), шмат членаў \(n(S)\), \(n(A)\).
– Практыкуйце рашэнні «двухэтапных» задач з дапамогай дрэвападобных дыяграм.
– Практыкуйце пытанні тыпу «хаця б адзін» з дапаўненнямі.
– Пасля таго, як вы атрымаеце адказ, праверце: ці мае ён сэнс? Калі імавернасць падзеі «верагодная», яе значэнне звычайна бліжэй да 1, а не бліжэй да 0.
-
Закрыццё
Рашэнне задач на імавернасці насамрэч лёгкае, калі вы паслядоўна выкарыстоўваеце сістэматычныя крокі: вызначаеце прастору выбаркі, вызначаеце падзеі, а затым вылічваеце суадносіны. Для больш складаных задач выкарыстоўвайце наглядныя дапаможнікі, такія як табліцы або дрэвападобныя дыяграмы, і выкарыстоўвайце правілы складання, множання і дапаўнення. Пры дастатковай практыцы і ўважлівым чытанні задач імавернасць перастане здавацца «хітрасцю», а замест гэтага стане часткай матэматыкі, якая сапраўды прыносіць задавальненне, таму што яна блізкая да паўсядзённых падзей.
Калі хочаце, я магу таксама скласці 10 прыкладаў задач на тэму верагоднасці разам з іх тлумачэннямі (ад простых да складаных), каб вы маглі адразу папрактыкавацца.
