Як разлічыць стандартнае адхіленне
Стандартнае адхіленне — адна з найбольш часта выкарыстоўваных статыстычных мер для вызначэння таго, наколькі дадзеныя «расцягнутыя» адносна свайго сярэдняга значэння. У рэальным жыцці стандартнае адхіленне дапамагае нам зразумець стабільнасць або варыятыўнасць з'явы: напрыклад, варыяцыі вынікаў тэстаў, ваганні продажаў, розніцу ў росце і нават рызыкі ў фінансавых дадзеных. Чым меншае стандартнае адхіленне, тым бліжэй дадзеныя да сярэдняга значэння. І наадварот, вялікае стандартнае адхіленне паказвае, што дадзеныя далёкія ад сярэдняга значэння і маюць вялікую варыятыўнасць.
У гэтым артыкуле будзе разгледжана значэнне стандартнага адхілення, выкарыстоўваная формула і крокі для яго разліку ўручную з дапамогай зразумелых прыкладаў.
1. Вызначэнне стандартнага адхілення
Стандартнае адхіленне — гэта квадратны корань з дысперсіі. Сама дысперсія — гэта сярэдняе значэнне квадратаў рознасцей паміж кожнай кропкай дадзеных і сярэднім значэннем. Навошта выкарыстоўваць квадрат? Таму што рознасцей паміж кропкамі дадзеных і сярэднім значэннем могуць быць як адмоўнымі, так і дадатнымі. Пры непасрэдным складзе адмоўныя і дадатныя рознасцей могуць кампенсаваць адна адну, што прывядзе да памылковых вынікаў. Пры ўзвядзенні рознасцей у квадрат усе значэнні становяцца дадатнымі, што дазваляе больш дакладна вымяраць размеркаванне дадзеных.
Проста:
– Дысперсія = мера рассейвання ў «квадратных» адзінках.
– Стандартнае адхіленне = мера роскіду, якая вярнулася да зыходных адзінак дадзеных.
Прыклад: калі дадзеныя прадстаўлены ў выглядзе тэставых балаў (адзінак вымярэння), дысперсія будзе ў балах, а стандартнае адхіленне зноў жа будзе ў балах, што спрашчае інтэрпрэтацыю.
2. Стандартнае адхіленне папуляцыі супраць выбаркі
Перад тым, як пачаць разлік, важна ведаць, які тып дадзеных у вас ёсць:
1. Насельніцтва: дадзеныя ўключаюць усіх членаў, якія падлягаюць даследаванню.
Формула стандартнага адхілення папуляцыі выкарыстоўвае дзельнік N (колькасць дадзеных).
2. Выбарка: дадзеныя з'яўляюцца толькі часткай генеральнай сукупнасці, звычайна выкарыстоўваюцца для прадстаўлення большай генеральнай сукупнасці.
У формуле стандартнага адхілення выбаркі выкарыстоўваецца дзельнік (n − 1) для карэкцыі зрушэння ацэнкі. Гэтая карэкцыя называецца карэкцыяй Беселя.
У паўсядзённай практыцы (напрыклад, даследаванні, апытанні, аналіз класа) дадзеныя часта лічацца выбаркай, таму дзельнік роўны (n − 1).
3. Формула стандартнага адхілення
A. Формула стандартнага адхілення папуляцыі
Дапусцім, што дадзеныя: \(x_1, x_2, \dots, x_N \)
Сярэдні паказчык насельніцтва:
\[
\mu = \frac{\sum_{i=1}^{N} x_i}{N}
\]
Дысперсія папуляцыі:
\[
σ² = (сума i=1)^{N}(x-i – μ)²(N)
\]
Стандартнае адхіленне папуляцыі:
\[
σ = σ²
\]
B. Прыклад формулы стандартнага адхілення
Сярэдняе значэнне выбаркі:
\[
\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i}{n}
\]
Дысперсія выбаркі:
\[
s^2 = \frac{\sum_{i=1}^{n}(x_i – \bar{x})^2}{n – 1}
\]
Стандартнае адхіленне выбаркі:
\[
s = \sqrt{s^2}
\]
4. Крокі для разліку стандартнага адхілення ўручную
Каб было лягчэй зразумець, мы выкарыстоўваем прыклад з дадзенымі аб выніках экзаменаў 5 студэнтаў:
Дадзеныя: 60, 70, 70, 80, 90
Выкажам здагадку, што гэтыя дадзеныя з'яўляюцца выбаркай (што звычайна сустракаецца ў навучальных прыкладах).
Крок 1: Разлічыце сярэдняе значэнне
\[
\bar{x} = \frac{60 + 70 + 70 + 80 + 90}{5} = \frac{370}{5} = 74
\]
Такім чынам, сярэдні бал складае 74.
Крок 2: Вылічыце розніцу паміж кожнымі дадзенымі і сярэднім значэннем
Стварыце слупок рознасці \( (x_i – \bar{x}) \):
– 60 − 74 = −14
– 70 − 74 = −4
– 70 − 74 = −4
– 80 − 74 = 6
– 90 − 74 = 16
Крок 3: Узвядзіце розніцу ў квадрат
Вылічыце \((x_i – \bar{x})^2 \):
– (−14)² = 196
– (−4)² = 16
– (−4)² = 16
– 6² = 36
– 16² = 256
Крок 4: Складзіце квадраты рознасцей
\[
\sum (x_i – \bar{x})^2 = 196 + 16 + 16 + 36 + 256 = 520
\]
Крок 5: Вылічыце дысперсію (для выбаркі падзяліце на n − 1)
Паколькі n = 5, то n − 1 = 4:
\[
s^2 = \frac{520}{4} = 130
\]
Такім чынам, дысперсія выбаркі складае 130.
Крок 6: Квадратны корань з дысперсіі для атрымання стандартнага адхілення
\[
s = \sqrt{130} \approx 11{,}40
\]
Такім чынам, стандартнае адхіленне дадзеных складае прыблізна 11,40. Гэта азначае, што ў сярэднім вынікі студэнтаў адхіляюцца прыблізна на 11 балаў ад сярэдняга значэння 74.
5. Хуткі спосаб: альтэрнатыўная формула (вылічэнне)
Акрамя апісанага вышэй ручнога метаду, існуе вылічальная формула, якая часта выкарыстоўваецца для паскарэння разлікаў, асабліва калі дадзеных шмат:
Дысперсія выбаркі:
\[
s^2 = \frac{\sum x_i^2 – \frac{(\sum x_i)^2}{n}}{n – 1}
\]
Гэтая формула дазваляе пазбегнуць вылічэння рознасцей паасобку, але ўсё ж патрабуе дакладнасці пры вылічэнні сумы квадратаў дадзеных.
Аднак для канцэптуальнага разумення пакрокавы метад (розніца → квадрат → сума) звычайна прасцейшы і бяспечнейшы ад памылак.
6. Інтэрпрэтацыя стандартнага адхілення
Стандартнае адхіленне не абмяжоўваецца толькі лічбамі, яго трэба інтэрпрэтаваць:
– Малое стандартнае адхіленне: дадзеныя кластарызуюцца паблізу сярэдняга значэння, варыяцыі нізкія, вынікі больш паслядоўныя.
– Вялікае стандартнае адхіленне: дадзеныя разыходзяцца далёка ад сярэдняга значэння, варыяцыі высокія, вынікі менш паслядоўныя.
Напрыклад, дапусцім, што два класы маюць аднолькавы сярэдні бал, 74. Калі клас А мае стандартнае адхіленне 5, а клас B — 15, то балы ў класе А больш раўнамерныя і стабільныя. У класе B назіраецца большая варыятыўнасць: некаторыя вельмі нізкія, а некаторыя вельмі высокія.
7. Распаўсюджаныя памылкі
Некаторыя распаўсюджаныя памылкі пры разліку стандартнага адхілення:
1. Забыліся адрозніць выбарку ад генеральнай сукупнасці, таму дзельнік няправільны (N супраць n − 1).
2. Няправільны разлік сярэдняга значэння, у выніку якога ўсе наступныя крокі аказваюцца няправільнымі.
3. Забыццё ўзвесці рознасць у квадрат або памылка пры здабыванні квадратнага кораня ў канцы.
4. Арыфметычныя памылкі пры складанні або вылічэнні квадратаў лікаў.
Папярэдзіць памылкі можна, стварыўшы разліковую табліцу і двойчы праверыўшы вынікі.
Закрыццё
Разлік стандартнага адхілення насамрэч нескладаны, калі правільна выконваць наступныя дзеянні: вылічыць сярэдняе значэнне, знайсці розніцу паміж кожным наборам дадзеных, узвесці розніцы ў квадрат, скласці іх, падзяліць (на n або n − 1), а затым атрымаць квадратны корань. Разумеючы стандартнае адхіленне, вы можаце ацаніць, наколькі ўзгодненыя вашы дадзеныя і наколькі існуюць варыяцыі.
Калі хочаце, я магу стварыць дадатковыя прыклады з большай колькасцю дадзеных, прыклады згрупаваных дадзеных (частотныя табліцы) або прыклад разліку стандартнага адхілення з дапамогай Excel/Google Табліц.
