Прыклады пытанняў і абмеркаванне: дысперсія і стандартнае адхіленне адзінкавых дадзеных
Статыстыка — гэта раздзел матэматыкі, які займаецца зборам, аналізам, інтэрпрэтацыяй, прадстаўленнем і арганізацыяй дадзеных. Два важныя паняцці ў статыстыцы — гэта дысперсія і стандартнае адхіленне. У гэтым артыкуле падрабязна абмяркуецца, як вылічыць дысперсію і стандартнае адхіленне аднаго набору дадзеных на аснове некалькіх прыкладаў задач.
Разуменне дысперсіі і стандартнага адхілення
Дысперсія — гэта паказчык, які колькасна вызначае, наколькі лікі ў наборы дадзеных адрозніваюцца ад сярэдняга значэння. Дысперсія выражаецца ў квадратных адзінках зыходных дадзеных, што часта ўскладняе яе інтэрпрэтацыю.
Стандартнае адхіленне — гэта квадратны корань з дысперсіі. Яно забяспечвае больш інтуітыўнае вымярэнне таго, наколькі дадзеныя звычайна адхіляюцца ад сярэдняга значэння, паколькі яго адзінкі вымярэння супадаюць з зыходнымі адзінкамі вымярэння дадзеных.
Агульная формула
Для асобных дадзеных формула для дысперсіі (σ²) і стандартнага адхілення (σ) генеральнай сукупнасці выглядае наступным чынам:
1. Дысперсія (σ²):
( \sigma^2 = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2 \)
2. Стандартнае адхіленне (σ):
( \sigma = \sqrt{\frac{1}{N} \sum_{i=1}^{N} (x_i – \mu)^2} \)
Дзе:
– \(N \) — колькасць дадзеных у генеральнай сукупнасці.
– \(x_i \) — i-е значэнне дадзеных.
– \( \mu \) — сярэдняе значэнне або ўсярэдняе значэнне дадзеных.
Калі мы вылічым дысперсію і стандартнае адхіленне выбаркі, то прыведзеная вышэй формула крыху зменіцца:
1. Дысперсія выбаркі (s²):
(s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2 \)
2. Стандартнае адхіленне выбаркі (s):
(s = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i – \bar{x})^2})
Дзе:
– \(n \) — колькасць дадзеных у выбарцы.
– \( \bar{x} \) — сярэдняе значэнне выбаркі.
Прыклады пытанняў і абмеркаванне
Прыклад пытання 1:
Улічваючы наступныя дадзеныя:
8, 10, 10, 10, 12, 14
Разлічыце дысперсію і стандартнае адхіленне дадзеных!
Этапы рашэння:
1. Разлік сярэдняга значэння (Mean) \( \mu \):
\[
\mu = \frac{8 + 10 + 10 + 10 + 12 + 14}{6} = \frac{64}{6} = 10.67
\]
2. Вылічыце розніцу паміж дадзенымі і сярэднім значэннем, а затым узвядзіце ў квадрат:
\[
(8 – 10.67)^2 = 7.1289
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(10 – 10.67)^2 = 0.4489
\]
\[
(12 – 10.67)^2 = 1.7689
\]
\[
(14 – 10.67)^2 = 11.1089
\]
3. Складанне ўсіх квадратных вынікаў:
\[
\сума (x_i – \mu)^2 = 7.1289 + 0.4489 + 0.4489 + 0.4489 + 1.7689 + 11.1089 = 21.3534
\]
4. Разлік дысперсіі (σ²) дадзеных папуляцыі:
\[
σ² = 21.3534 6 = 3.559
\]
Заўвага: Паколькі гэтыя дадзеныя пададзены як дадзеныя пра насельніцтва, мы дзелім на 6.
5. Разлік стандартнага адхілення (σ):
\[
σ = 3.559 = прыблізна 1.886
\]
Такім чынам, дысперсія дадзеных складае 3.559, а стандартнае адхіленне — 1.886.
Прыклад пытання 2:
Улічваючы наступныя прыклады дадзеных:
5, 6, 8, 9, 10, 11
Разлічыце дысперсію і стандартнае адхіленне выбаркі!
Этапы рашэння:
1. Вылічэнне сярэдняга значэння (Mean) \( \bar{x} \):
\[
\bar{x} = \frac{5 + 6 + 8 + 9 + 10 + 11}{6} = \frac{49}{6} = 8.167
\]
2. Вылічыце розніцу паміж дадзенымі і сярэднім значэннем, а затым узвядзіце ў квадрат:
\[
(5 – 8.167)^2 = 10.035
\]
\[
(6 – 8.167)^2 = 4.694
\]
\[
(8 – 8.167)^2 = 0.028
\]
\[
(9 – 8.167)^2 = 0.694
\]
\[
(10 – 8.167)^2 = 3.361
\]
\[
(11 – 8.167)^2 = 7.945
\]
3. Складанне ўсіх квадратных вынікаў:
\[
∫(x_i – x)² = 10.035 + 4.694 + 0.028 + 0.694 + 3.361 + 7.945 = 26.757
\]
4. Разлік дысперсіі выбаркі (s²):
\[
s^2 = \frac{26.757}{5} = 5.351
\]
Заўвага: Паколькі гэта выбарка дадзеных, мы дзелім на 5 (n-1).
5. Разлік стандартнага адхілення (s):
\[
s = \sqrt{5.351} \прыблізна 2.313
\]
Такім чынам, дысперсія выбаркі дадзеных складае 5.351, а стандартнае адхіленне — 2.313.
Выснова
Разлік дысперсіі і стандартнага адхілення мае жыццёва важнае значэнне для разумення таго, наколькі размеркаваны дадзеныя ў межах дадзенага набору. У той час як дысперсія забяспечвае тэарэтычную меру дысперсіі ў квадратах зыходных адзінак, стандартнае адхіленне інтэрпрэтуе меру дысперсіі з пункту гледжання зыходных адзінак дадзеных, што спрашчае яе разуменне. У аналізе дадзеных гэтыя дзве меры часта выкарыстоўваюцца для ацэнкі зменлівасці дадзеных і прыняцця статыстычных рашэнняў.
Разумеючы неабходныя крокі і формулы, мы можам лёгка вылічыць дысперсію і стандартнае адхіленне для розных сітуацый, з якімі мы сутыкаемся пры штодзённым зборы і аналізе дадзеных. Спадзяемся, што гэты артыкул дае больш глыбокае разуменне паняццяў дысперсіі і стандартнага адхілення ў асобных наборах дадзеных.
