Прыклады пытанняў і абмеркаванне вытворных функцый
Вытворная — гэта фундаментальнае паняцце ў вылічэнні, якое адыгрывае жыццёва важную ролю ў розных ужываннях матэматыкі, фізікі, інжынерыі і іншых навук. У гэтым артыкуле мы абмяркуем некалькі прыкладаў вытворных і іх рашэнняў. Разуменне паняцця вытворнай дазволіць лягчэй ужываць яго да розных задач.
Асноўнае разуменне вытворных фінансавых інструментаў
Вытворная функцыі апісвае хуткасць змены функцыі адносна незалежнай зменнай. Інтуітыўна зразумела, што вытворная функцыі (f(x)) у пункце (x) — гэта нахіл датычнай да крывой (f) у пункце (x). Звычайная натацыя для вытворнай — (f'(x)) або (\frac{df}{dx}).
Асноўныя правілы вытворных
Каб вырашыць задачы на вытворныя, нам трэба ведаць некаторыя асноўныя правілы вытворных:
1. Пастаянная вытворная: калі \(c \) — канстанта, то вытворная \(c \) роўная нулю.
\[
\frac{d}{dx}(c) = 0
\]
2. Вытворная лінейнай функцыі: Калі \(f(x) = mx + b \), дзе \(m \) і \(b \) — канстанты, то:
\[
f'(x) = m
\]
3. Правіла ўзвядзення ў ступені: Калі \(f(x) = x^n \), дзе \(n \) — рэальны лік, то:
\[
f'(x) = nx^{n-1}
\]
4. Правіла сумавання: Калі \( f(x) = g(x) + h(x) \), то:
\[
f'(x) = g'(x) + h'(x)
\]
5. Правіла множання: Калі \( f(x) = g(x) \cdot h(x) \), то:
\[
f'(x) = g'(x)h(x) + g(x)h'(x)
\]
6. Правіла дзялення: Калі f(x) = g(x) h(x)), то:
\[
f'(x) = \frac{g'(x)h(x) – g(x)h'(x)}{h(x)^2}
\]
7. Правіла ланцуга: Калі \( f(x) = g(h(x)) \), то:
\[
f'(x) = g'(h(x)) \cdot h'(x)
\]
Прыклады пытанняў і абмеркаванне
Прыклад пытання 1
Пытанне: Вызначце вытворную функцыі (f(x) = 3x^2 + 2x + 1).
Абмеркаванне:
Каб вызначыць вытворную функцыі, мы будзем выкарыстоўваць правіла ўзвядзення ў ступені і правіла сумы.
\[
f(x) = 3x^2 + 2x + 1
\]
Вытворныя:
\[
f'(x) = \frac{d}{dx}(3x^2) + \frac{d}{dx}(2x) + \frac{d}{dx}(1)
\]
На падставе правіла рангу:
\[
\frac{d}{dx}(3x^2) = 3 \cdot 2x^{2-1} = 6x
\]
\[
\frac{d}{dx}(2x) = 2 \cdot 1x^{1-1} = 2
\]
\[
\frac{d}{dx}(1) = 0
\]
Такім чынам, вытворная функцыі \(f \) мае выгляд:
\[
f'(x) = 6x + 2
\]
Прыклад пытання 2
Пытанне: Вызначце вытворную функцыі (g(x) = (2x^3 – x)(x^2 + 3)).
Абмеркаванне:
Каб вырашыць гэтую задачу, мы скарыстаемся правілам множання.
\[
g(x) = (2x^3 – x)(x^2 + 3)
\]
Такім чынам, вытворная ад \(g(x) \) роўная:
\[
g'(x) = (2x^3 – x)'(x^2 + 3) + (2x^3 – x)(x^2 + 3)'
\]
Спачатку вызначым вытворную кожнай функцыі:
\[
(2x^3 – x)' = 6x^2 – 1
\]
\[
(x^2 + 3)' = 2x
\]
Затым падстаўляем яго ў формулу:
\[
g'(x) = (6x^2 – 1)(x^2 + 3) + (2x^3 – x)(2x)
\]
Далей мы размяркоўваем:
\[
g'(x) = 6x^2 \cdot x^2 + 6x^2 \cdot 3 – 1 \cdot x^2 – 1 \cdot 3 + 2x^3 \cdot 2x – x \cdot 2x
\]
\[
g'(x) = 6x^4 + 18x^2 – x^2 – 3 + 4x^4 – 2x^2
\]
Нарэшце, атрымліваем:
\[
g'(x) = 10x^4 + 15x^2 – 3
\]
Прыклад пытання 3
Пытанне: Знайдзіце вытворную ад \(h(x) = \frac{x^2 + 1}{x – 1} \).
Абмеркаванне:
Каб вырашыць гэтую задачу, мы скарыстаемся правілам дзялення.
\[
h(x) = \frac{x^2 + 1}{x – 1}
\]
Такім чынам, вытворная ад \(h(x) \) роўная:
\[
h'(x) = \frac{(x^2 + 1)'(x – 1) – (x^2 + 1)(x – 1)'}{(x – 1)^2}
\]
Спачатку вызначым вытворную кожнай функцыі:
\[
(x^2 + 1)' = 2x
\]
\[
(x – 1)' = 1
\]
Затым падстаўляем яго ў формулу:
\[
h'(x) = \frac{2x(x – 1) – (x^2 + 1)(1)}{(x – 1)^2}
\]
Далей мы размяркоўваем:
\[
h'(x) = \frac{2x^2 – 2x – x^2 – 1}{(x – 1)^2}
\]
Тады мы спрашчаем:
\[
h'(x) = \frac{x^2 – 2x – 1}{(x – 1)^2}
\]
Выснова
Вытворная функцыі — гэта фундаментальнае паняцце ў вылічэнні, якое дае інфармацыю аб хуткасці змены значэння функцыі адносна яе незалежнай зменнай. Разумеючы асноўныя правілы вывядзення, такія як вытворная канстанты, лінейныя функцыі, правіла ўзвядзення ў ступені, сума, множанне і дзяленне, а таксама правіла ланцуга, мы можам вырашаць розныя задачы на вытворныя.
Прыведзеныя вышэй прыклады задач — добры першы крок да разумення таго, як прымяняць канцэпцыю вытворных. На практыцы навыкі вылічэння вытворных будуць далей адточвацца пры працы з рознымі тыпамі задач і варыяцыямі функцый. Спадзяемся, што гэты артыкул быў карысным для разумення і засваення канцэпцыі вытворнай функцыі.
