Прыклады пытанняў і дыскусій па матэматычным перакладзе
Перанос — гэта геаметрычнае пераўтварэнне, якое перамяшчае кожную кропку на плоскасці на пэўную адлегласць у пэўным кірунку. У матэматыцы перанос часта выкарыстоўваецца для зрушэння аб'екта ў адным кірунку без змены яго формы або арыентацыі. У гэтым артыкуле мы абмяркуем некалькі прыкладаў задач і дыскусій, звязаных з матэматычным пераносам, каб дапамагчы чытачам лепш зразумець гэтую канцэпцыю.
Асноўныя паняцці перакладу
Зрушэнне ў двухмерных каардынатах можна выразіць з дапамогай вектарнай натацыі. Калі пункт A(x, y) зрушваецца на вектар (a, b)), то атрыманы пункт A' (x'), y') можна вылічыць па формуле:
\[x' = x + a \]
\[y' = y + b \]
Дзе:
– \( (x, y) \) — пачатковая каардыната,
– \( (a, b) \) — вектар зрушэння,
– \( (x', y') \) — каардынаты выніку пераўтварэння.
Прыклады пытанняў і абмеркаванне
Вось некалькі прыкладаў пытанняў, якія тычацца матэматычнага перакладу, а таксама іх абмеркаванні:
Прыклад пытання 1:
Пытанне:
Пункт А знаходзіцца ў каардынатах (3, 4). Зрушыце пункт А з дапамогай вектара (5, -2). Вызначце новыя каардынаты пункта А.
Абмеркаванне:
Вядома:
\[ \text{Зыходныя каардынаты пункта A} = (3, 4) \]
\[ \text{Вектар зрушэння} = (5, -2) \]
Выкарыстайце формулу пераўтварэння:
\[x' = x + a \]
\[y' = y + b \]
Падстаўце значэнні:
\[x' = 3 + 5 = 8 \]
\[y' = 4 + (-2) = 2 \]
Такім чынам, новыя каардынаты пункта А пасля зрушэння будуць (8, 2)).
Прыклад пытання 2:
Пытанне:
Трохвугольнік мае каардынаты вяршыні (A(1, 2)), (B(3, 5)) і (C(6, 1)). Зрушыце трохвугольнік з дапамогай вектара (-2, 4)). Вызначце каардынаты вяршыні трохвугольніка пасля зрушэння.
Абмеркаванне:
Каардынаты вяршыні трохвугольніка і вектар зрушэння вядомыя.
Каардынаты пункта А':
\[x' = 1 + (-2) = -1 \]
\[y' = 2 + 4 = 6 \]
Тады, \(A' = (-1, 6) \).
Каардынаты пункта B':
\[x' = 3 + (-2) = 1 \]
\[y' = 5 + 4 = 9 \]
Тады, \(B' = (1, 9)\).
Каардынаты пункта C':
\[x' = 6 + (-2) = 4 \]
\[y' = 1 + 4 = 5 \]
Тады, \(C' = (4, 5)\).
Такім чынам, пасля перамяшчэння, каардынаты вяршынь новага трохвугольніка будуць наступнымі: \(A'(-1, 6) \), \(B'(1, 9) \) і \(C'(4, 5) \).
Прыклад пытання 3:
Пытанне:
Дадзены пункт P з каардынатамі \( (-3, 0) \). Вызначце вынік перамяшчэння пункта P на вектар \( (7, -5) \).
Абмеркаванне:
Дадзеныя каардынаты P і вектар зрушэння.
Выкарыстайце формулу пераўтварэння:
\[x' = x + a \]
\[y' = y + b \]
Падстаўце значэнні:
\[x' = -3 + 7 = 4 \]
\[y' = 0 + (-5) = -5 \]
Такім чынам, каардынаты выніку перамяшчэння пункта P роўныя \( (4, -5) \).
Прыклад пытання 4:
Пытанне:
Пункт Q знаходзіцца ў каардынатах (4, -3). Калі пункт Q зрушваецца так, што новыя каардынаты становяцца (9, 1)), вызначце выкарыстаны вектар зрушэння.
Абмеркаванне:
Вядома:
\[ \text{Пачатковыя каардынаты} = (4, -3) \]
\[ \text{Каардынаты выніку} = (9, 1) \]
Выкарыстайце формулу пераўтварэння, каб знайсці вектар \( (a, b) \):
\[x' = x + a \]
\[y' = y + b \]
Вынікі перакладу вядомыя:
\[9 = 4 + а \]
\[1 = -3 + b\]
Такім чынам, вектар перамяшчэння можна вылічыць наступным чынам:
\[ a = 9 – 4 = 5 \]
\[ b = 1 + 3 = 4 \]
Такім чынам, выкарыстоўваецца вектар перамяшчэння \( (5, 4) \).
Прыклад пытання 5:
Пытанне:
Чтырохвугольнік ABCD мае вярхоўныя кропкі \( A(1, 2) \), \( B(1, 5) \), \( C(4, 5) \) і \( D(4, 2) \). Зрушым чатырохвугольнік з дапамогай вектара \( (3, -1) \). Вызначце новыя каардынаты чатырохвугольніка ABCD.
Абмеркаванне:
Вядома:
\[ \text{Вектар зрушэння} = (3, -1) \]
Каардынаты пункта А':
\[x' = 1 + 3 = 4 \]
\[y' = 2 + (-1) = 1 \]
Тады, (A' = (4, 1)).
Каардынаты пункта B':
\[x' = 1 + 3 = 4 \]
\[y' = 5 + (-1) = 4 \]
Тады, \(B' = (4, 4)\).
Каардынаты пункта C':
\[x' = 4 + 3 = 7 \]
\[y' = 5 + (-1) = 4 \]
Тады, \(C' = (7, 4)\).
Каардынаты пункта D':
\[x' = 4 + 3 = 7 \]
\[y' = 2 + (-1) = 1 \]
Тады, (D' = (7, 1)).
Такім чынам, новыя каардынаты чатырохвугольніка ABCD пасля зрушэння наступныя: \(A'(4, 1) \), \(B'(4, 4) \), \(C'(7, 4) \) і \(D'(7, 1) \).
Выснова
Перамяшчэнне — гэта вельмі простае, але важнае пераўтварэнне ў геаметрыі. Авалоданне гэтай тэхнікай дазваляе нам выконваць розныя геаметрычныя аперацыі, такія як зрушэнне аб'ектаў без змены іх формы або памеру.
Разумеючы канцэпцыю перакладу праз розныя прыклады задач, разгледжаныя вышэй, чытачы змогуць лепш зразумець і прымяніць гэтую канцэпцыю ў розных задачах і ў рэальным жыцці. Пераклад карысны не толькі ў матэматыцы, але і ў розных іншых галінах, у тым ліку ў фізіцы, камп'ютэрнай графіцы і дызайне.
