Прыклады пытанняў па абмеркаванні пераўтварэнняў у дэкартавай плоскасці
Пераўтварэнні ў дэкартавай плоскасці з'яўляюцца важнай тэмай у матэматыцы, асабліва ў геаметрыі. Гэтыя пераўтварэнні ўключаюць розныя аперацыі, такія як зрушэнне, адлюстраванне, паварот і пашырэнне, якія накіраваны на перамяшчэнне або змяненне формы аб'екта ў двухмернай плоскасці. У гэтым артыкуле будзе разгледжана некалькі прыкладаў задач і абмеркавана іх, звязаных з пераўтварэннямі ў дэкартавай плоскасці.
Тыпы трансфармацыі
Перш чым перайсці да прыкладу задачы, давайце спачатку разгледзім наступныя тыпы пераўтварэнняў:
1. Пераклад (Shift)
Трансляцыя — гэта зрушэнне кропкі або аб'екта на плоскасці на пэўную адлегласць у пэўным кірунку. Трансляцыю можна вызначыць як:
\[
(x, y) \rightarrow (x+a, y+b)
\]
дзе \(a\) і \(b\) — гарызантальныя і вертыкальныя адлегласці зрушэння.
2. Адлюстраванне
Адлюстраванне — гэта адлюстраванне кропкі або аб'екта па восі, няхай гэта будзе вось x, вось y ці іншая лінія. Напрыклад, адлюстраванне па восі x:
\[
(x, y) \rightarrow (x, -y)
\]
3. Кручэнне (Спінінг)
Паварот — гэта паварот кропкі або аб'екта вакол цэнтральнай кропкі на пэўны вугал. Паварот супраць гадзіннікавай стрэлкі на вугал \(\theta\) можна выразіць як:
\[
(x, y) \правая стрэлка (x \cos \theta – y \sin \theta, x \sin \theta + y \cos \theta)
\]
4. Дылатацыя (маштабаванне)
Дылатацыя — гэта змена памеру аб'екта на пэўны маштабны каэфіцыент. Калі маштабны каэфіцыент роўны \(k\), дылатацыю можна выразіць як:
\[
(x, y) \rightarrow (kx, ky)
\]
Прыклады пытанняў і абмеркаванне
Пытанне 1: Пераклад
Пытанне:
Выканайце перамяшчэнне ў пункце (A(2, 3)) са зрухам на 5 адзінак управа і на 4 адзінкі ўверх.
Абмеркаванне:
Зрушэнне на \(5\) адзінак направа азначае павелічэнне каардынаты x на \(5\). Сцвярджэнне «на 4 адзінкі ўверх» азначае павелічэнне каардынаты y на \(4\). Вынік зрушэння:
\[
(x, y) \rightarrow (x+5, y+4)
\]
Такім чынам, пункт \(A(2, 3)\) пасля пераўтварэння становіцца:
\[
(x+5, y+4) \rightarrow (2+5, 3+4) \rightarrow (7, 7)
\]
Такім чынам, пункт (A(2, 3)) пасля зрушэння мае выгляд (A'(7, 7)).
Пытанне 2: Рэфлексія
Пытанне:
Адлюструйце кропку \(B(-4, 7)\) вакол восі y.
Абмеркаванне:
Адлюстраванне вакол восі y змяняе каардынату x на адмоўную ад зыходнай каардынаты x, у той час як каардыната y застаецца ранейшай.
\[
(x, y) \rightarrow (-x, y)
\]
Такім чынам, кропка \(B(-4, 7)\) пасля адлюстравання становіцца:
\[
(x, y) \rightarrow (-(-4), 7) \rightarrow (4, 7)
\]
Такім чынам, кропка \(B(-4, 7)\) пасля адлюстравання вакол восі y — гэта \(B'(4, 7)\).
Пытанне 3: Ратацыя
Пытанне:
Павярніце кропку (C(1, 2)) на 90° супраць гадзіннікавай стрэлкі з цэнтрам у пачатку каардынат ((0, 0)).
Абмеркаванне:
Паварот на \(90^\circ\) супраць гадзіннікавай стрэлкі можна выразіць наступным чынам:
\[
(x, y) \rightarrow (-y, x)
\]
Такім чынам, кропка \(C(1, 2)\) пасля павароту становіцца:
\[
(x, y) \rightarrow (-2, 1)
\]
Такім чынам, кропка (C(1, 2)) пасля павароту на 90° супраць гадзіннікавай стрэлкі будзе (C'(-2, 1)).
Пытанне 4: Дылатацыя
Пытанне:
Пашырыце кропку (D(3, 4)) з дапамогай маштабнага каэфіцыента (k = 2).
Абмеркаванне:
Дылатацыя з маштабным каэфіцыентам \(2\) азначае памнажэнне абедзвюх каардынат на \(2\).
\[
(x, y) \rightarrow (2x, 2y)
\]
Такім чынам, кропка \(D(3, 4)\) пасля дылатацыі становіцца:
\[
(x, y) \rightarrow (2 \times 3, 2 \times 4) \rightarrow (6, 8)
\]
Такім чынам, кропка (D(3, 4)) пасля дылатацыі з маштабным каэфіцыентам (2) — гэта (D'(6, 8)).
Пытанне 5: Камбінацыя пераўтварэнняў
Пытанне:
Адлюструйце вакол восі x, а затым пашырыце з маштабным каэфіцыентам \(k = 0.5\) у кропцы \(E(8, -6)\).
Абмеркаванне:
Першы крок — паразважаць адносна восі x:
\[
(x, y) \rightarrow (x, -y)
\]
\[
(8, -6) \rightarrow (8, 6)
\]
Другі крок — выканаць дылатацыю з каэфіцыентам маштабавання \(0.5\):
\[
(x, y) \rightarrow (0.5x, 0.5y)
\]
\[
(8, 6) \rightarrow (0.5 \times 8, 0.5 \times 6) \rightarrow (4, 3)
\]
Такім чынам, кропка (E(8, -6)) пасля адлюстравання вакол восі x і пашырэння на маштабны каэфіцыент (0.5) будзе мець выгляд (E'(4, 3)).
Пытанне 6: Пераўтварэнне з паваротам і зрушэннем
Пытанне:
Павярніце кропку (F(-3, 4)) на 180° супраць гадзіннікавай стрэлкі, а затым зрушыце вынік з дапамогай вектара (2, -1)).
Абмеркаванне:
Першы крок — павярнуць на \(180^\circ\) супраць гадзіннікавай стрэлкі:
\[
(x, y) \rightarrow (-x, -y)
\]
\[
(-3, 4) \rightarrow (3, -4)
\]
Другі крок — выканаць перанос вектара \((2, -1)\):
\[
(x, y) \rightarrow (x+2, y-1)
\]
\[
(3, -4) \rightarrow (3+2, -4-1) \rightarrow (5, -5)
\]
Такім чынам, кропка (F(-3, 4)) пасля павароту на 180° і зрушэння на вектар (2, -1)) будзе мець выгляд (F'(5, -5)).
Выснова
Пераўтварэнні ў дэкартавай плоскасці — важнае паняцце ў геаметрыі, якое ахоплівае розныя аперацыі, такія як зрушэнне, адлюстраванне, паварот і пашырэнне. Разумеючы, як працуе кожны тып пераўтварэнняў, мы можам лёгка змяніць становішча або форму аб'екта ў плоскасці. На прыведзеных вышэй прыкладах мы можам убачыць практычнае прымяненне розных пераўтварэнняў і тое, як іх можна камбінаваць для дасягнення больш складаных пераўтварэнняў. Спадзяемся, што гэты артыкул быў карысным для разумення пераўтварэнняў у дэкартавай плоскасці.
