Прыклады пытанняў па абмеркаванні сістэм лінейных ураўненняў і няроўнасцей
Сістэмы лінейных ураўненняў і няроўнасцей — важная тэма ў матэматыцы, якая шырока ўжываецца ў розных галінах, такіх як эканоміка, навука і тэхніка. У гэтым артыкуле мы абмяркуем прыклады задач, якія ўключаюць сістэмы лінейных ураўненняў і няроўнасцей, і тое, як іх вырашаць падрабязна.
Вызначэнне сістэмы лінейных ураўненняў
Сістэма лінейных ураўненняў складаецца з двух або больш лінейных ураўненняў, якія звязаны адно з адным. Прыклады:
\[
\begin{выпадкі}
2x + 3y = 5 \\
4x – y = 1
\end{выпадкі}
\]
Мэта рашэння гэтай сістэмы — знайсці значэнні \(x\) і \(y\), якія задавальняюць абодва ўраўненні адначасова.
Метады рашэння сістэм лінейных ураўненняў
Існуе некалькі метадаў рашэння сістэм лінейных ураўненняў, у тым ліку:
1. Метад замены
2. Метад выключэння
3. Матрычны метад (адваротны або Гаўса-Жардана)
Прыклад пытання 1: Метад замены
Вырашым наступную сістэму, выкарыстоўваючы метад падстаноўкі:
\[
\begin{выпадкі}
x + 2y = 10 \\
3x – y = 5
\end{выпадкі}
\]
Лангках-лангках:
1. Вылучыце адну са зменных у адным з ураўненняў.
З першага ўраўнення вылучаем \(x\):
\[
x = 10 – 2y
\]
2. Падстаўце знойдзены выраз у іншае ўраўненне.
Падстаўце \(x = 10 – 2y\) у другое ўраўненне:
\[
3(10 – 2y) – y = 5
\]
Вырашыце для \(y\):
\[
30 – 6y – y = 5
\]
\[
30 – 7 гадоў = 5
\]
\[
-7y = -25
\]
\[
y = \frac{25}{7}
\]
3. Выкарыстайце знойдзеныя значэнні для пошуку іншых зменных.
Падстаўце \(y = \frac{25}{7}\) назад у выраз для \(x\):
\[
x = 10 – 2(25/7)
\]
\[
x = 10 – \frac{50}{7}
\]
\[
x = 70 7 – 50 7
\]
\[
x = \frac{20}{7}
\]
Такім чынам, рашэнні сістэмы наступныя: \(x = \frac{20}{7} \) і \(y = \frac{25}{7} \).
Прыклад пытання 2: Метад выключэння
Далей, выкарыстаем метад выключэння для рашэння наступнай сістэмы:
\[
\begin{выпадкі}
2x + 3y = 12 \\
4x + 6y = 24
\end{выпадкі}
\]
У гэтым выпадку мы бачым, што другое ўраўненне з'яўляецца кратным першаму ўраўненню. Каб скараціць сістэму, мы можам памножыць першае ўраўненне на 2, а затым адняць яго ад другога ўраўнення:
1. Памножце першае ўраўненне на 2:
\[
2(2x + 3y) = 2 \cdot 12
\]
\[
4x + 6y = 24
\]
2. Адніміце памножанае першае ўраўненне ад другога ўраўнення:
\[
(4x + 6y) – (4x + 6y) = 24 – 24
\]
\[
0 = 0
\]
Гэта дае \(0 = 0\), што паказвае на тое, што сістэма мае бясконцую колькасць рашэнняў, і гэтыя ўраўненні з'яўляюцца залежнымі.
Прыклад пытання 3: Лінейныя няроўнасці
Лінейныя няроўнасці прытрымліваюцца падобных прынцыпаў да лінейных ураўненняў, але ўключаюць знакі няроўнасці, такія як \(<, \leq, >, \geq\). Давайце разгледзім просты прыклад:
\[
\begin{выпадкі}
3x – y < 7 \\ 2x + y \geq 4 \end{cases} \] Крокі: 1. Мы выкарыстоўваем графічны метад для вызначэння вобласці рашэнняў гэтай сістэмы. Пабудуйце графік кожнай няроўнасці. 2. Пераўтварыце няроўнасць у раўнанне, каб вызначыць лінію мяжы: Для \(3x - y < 7\) лінія мяжы будзе \(3x - y = 7\)
