Прыклады задач, якія абмяркоўваюць матэматычнае кручэнне
Пендахулуан
Паварот — гэта геаметрычнае пераўтварэнне, якое часта сустракаецца ў матэматыцы, асабліва ў геаметрыі. Паварот заключаецца ў павароце аб'екта вакол пэўнай кропкі (цэнтра кручэння) на пэўны вугал па гадзіннікавай стрэлцы або супраць гадзіннікавай стрэлкі. Паняцце павароту мае вырашальнае значэнне ў такіх галінах, як камп'ютэрная графіка, фізіка і інжынерыя. У гэтым артыкуле будуць разгледжаны розныя прыклады і абмеркаванні павароту ў матэматыцы.
Разуменне кручэння
Паварот — гэта пераўтварэнне, якое перамяшчае кожную кропку аб'екта, паварочваючы яе вакол фіксаванай кропкі, якая называецца цэнтрам павароту, на пэўны вугал у пэўным кірунку. Агульнае абазначэнне для павароту з вуглом θ і цэнтрам павароту (a, b) можна запісаць як R_(a, b)(θ).
Для пункта P(x, y), павернутага на θ градусаў з цэнтрам кручэння ў пачатку каардынат (0, 0), новыя каардынаты P' (x', y') пасля павароту будуць атрыманы па формуле:
– x' = x cos θ – y sin θ
– y' = x sin θ + y cos θ
Давайце працягнем з некаторымі прыкладамі задач на кручэнне і дапоўнім іх абмеркаваннем.
Прыклады пытанняў і абмеркаванне
Прыклад пытання 1
Пытанне: Вызначце новыя каардынаты пункта A(3, 4) пасля павароту яго на 90 градусаў супраць гадзіннікавай стрэлкі з цэнтрам павароту ў пачатку каардынат (0, 0).
Абмеркаванне: Выкарыстанне формулы павароту з вуглом 90 градусаў супраць гадзіннікавай стрэлкі:
– x' = x cos(90°) – y sin(90°) = 3(0) – 4(1) = -4
– y' = x sin(90°) + y cos(90°) = 3(1) + 4(0) = 3
Такім чынам, новыя каардынаты кропкі A' пасля павароту будуць (-4, 3).
Прыклад пытання 2
Пытанне: Пункт B(2, -1) павернуты на 180 градусаў па гадзіннікавай стрэлцы, прычым цэнтр кручэння застаецца ў пачатку каардынат (0, 0). Вызначце новыя каардынаты пункта B пасля павароту.
Абмеркаванне: Паварот на 180 градусаў па гадзіннікавай стрэлцы або супраць гадзіннікавай стрэлкі дае той жа вынік, а менавіта каардынаты кропкі змяняюцца на (-x, -y).
– x' = -x = -2
– y' = -y = 1
Такім чынам, новыя каардынаты B' роўныя (-2, 1).
Прыклад пытання 3
Пытанне: Пункт C(-3, 5) павернуты на 270 градусаў супраць гадзіннікавай стрэлкі з цэнтрам кручэння ў пачатку каардынат (0, 0). Вызначце пункт C пасля павароту.
Абмеркаванне: Паварот на 270 градусаў супраць гадзіннікавай стрэлкі эквівалентны павароту на 90 градусаў па гадзіннікавай стрэлцы.
– x' = x cos(90°) + y sin(90°) = -3(0) + 5(1) = 5
– y' = -x sin(90°) + y cos(90°) = -(-3)(1) + 5(0) = 3
Такім чынам, новыя каардынаты C' пасля павароту будуць (5, -3).
Прыклад пытання 4
Пытанне: Вызначце новыя каардынаты пункта D(5, 5) пасля яго павароту на 45 градусаў з цэнтрам павароту ў пачатку каардынат (0, 0).
Абмеркаванне: Выкарыстанне формулы павароту з вуглом 45 градусаў:
– x' = x cos(45°) – y sin(45°) = 5(cos(45°)) – 5(sin(45°)) = 5(√2/2) – 5(√2/2) = 0
– y' = x sin(45°) + y cos(45°) = 5(√2/2) + 5(√2/2) = 5√2/2 + 5√2/2 = 5√2
Такім чынам, новыя каардынаты D' пасля павароту будуць (0, 5√2).
Кручэнне з цэнтрам кручэння не ў пачатку каардынат
Павароты не заўсёды выконваюцца вакол пачатку каардынат. Напрыклад, дапусцім, што мы хочам павярнуць кропку з цэнтрам кручэння (h, k). Для гэтага нам трэба скарэктаваць каардынаты наступным чынам:
1. Зрушыце кропку так, каб (h, k) стала пачаткам каардынат.
2. Выкарыстайце формулу кручэння.
3. Перанясіце назад у зыходнае становішча.
Прыклад пытання 5
Пытанне: Пункт E(5, 7) павернуты на 90 градусаў супраць гадзіннікавай стрэлкі з цэнтрам кручэння ў пункце (2, 3). Вызначце новыя каардынаты пункта E пасля павароту.
Абмеркаванне:
1. Перанясіце кропку E ў пачатак каардынат адносна цэнтра кручэння (2, 3):
– Новы пункт E' = (5 – 2, 7 – 3) = (3, 4)
2. Павярніце на 90 градусаў супраць гадзіннікавай стрэлкі вакол новай кропкі:
– x' = 3 cos(90°) – 4 sin(90°) = -4
– y' = 3 sin(90°) + 4 cos(90°) = 3
Такім чынам, каардынаты пасля павароту будуць (-4, 3).
3. Перанос назад у зыходнае становішча адносна цэнтра кручэння (2, 3):
– Канчатковая кропка E' = (-4 + 2, 3 + 3) = (-2, 6)
Такім чынам, новыя каардынаты пункта E пасля павароту будуць (-2, 6).
Выснова
Аналіз і разуменне матэматычных паваротаў мае вырашальнае значэнне ў розных сферах прымянення. Дзякуючы прыведзеным вышэй прыкладам і абмеркаванням, чытачы павінны зразумець, як працуюць формулы паваротаў і як іх можна ўжываць у розных сітуацыях. Гэта практыкаванне не толькі замацоўвае асноўныя матэматычныя веды, але і карыснае ў іншых галінах, звязаных з геаметрычнымі пераўтварэннямі.
