Прыклады пытанняў і абмеркаванне лінейнай рэгрэсіі
Лінейная рэгрэсія — гэта статыстычны метад, які выкарыстоўваецца для вызначэння сувязі паміж двума або больш зменнымі. Гэты метад шырока выкарыстоўваецца ў розных галінах, у тым ліку ў эканоміцы, бізнесе, сацыяльных і прыродазнаўчых навуках. У гэтым артыкуле мы абмяркуем лінейную рэгрэсію, спосабы яе разліку і прывядзем некалькі прыкладаў задач з тлумачэннямі, каб дапамагчы чытачам глыбей зразумець гэтую канцэпцыю.
Разуменне лінейнай рэгрэсіі
Лінейная рэгрэсія — гэта аналітычны метад, які выкарыстоўваецца для мадэлявання сувязі паміж адной або некалькімі незалежнымі зменнымі (прадказальнікамі) і залежнай зменнай (рэактам). Простая лінейная рэгрэсія ўключае адну незалежную зменную і адну залежную зменную, у той час як множная лінейная рэгрэсія ўключае больш чым адну незалежную зменную.
Ураўненне простай лінейнай рэгрэсіі мае выгляд:
\[Y = a + bX \]
Дзе:
– \(Y \) — залежная зменная.
– \(X\) — незалежная зменная.
– \(a \) — гэта кропка перасячэння з воссю Y, якая з'яўляецца значэннем Y пры X = 0.
– \(b \) — каэфіцыент рэгрэсіі, гэта значыць, наколькі змяняецца Y, калі X змяняецца на адну адзінку.
Этапы лінейнай рэгрэсіі
1. Збор дадзеных: спачатку збярыце дадзеныя для аналізу.
2. Пабудуйце дыяграму даных: стварыце дыяграму рассейвання, каб убачыць, ці існуе лінейная залежнасць паміж зменнымі.
3. Разлічыце каэфіцыент рэгрэсіі: выкарыстоўвайце метад найменшых квадратаў, каб вызначыць найлепшую прамую.
4. Тэставанне мадэлі: праверце значнасць каэфіцыентаў рэгрэсіі з дапамогай t-крытэрыя і вызначце значэнне R-квадрата, каб убачыць, наколькі добра мадэль адпавядае дадзеным.
Прыклады пытанняў і абмеркаванне
Прыклад пытання 1: Простая лінейная рэгрэсія
Пытанне:
Даследчык хоча даведацца пра сувязь паміж колькасцю вучэбных гадзін (X) і вынікамі экзаменаў студэнтаў (Y). Атрыманыя дадзеныя наступныя:
| Гадзіны вучобы (X) | Бал экзамену (Y) |
|——————–|——————–|
| 2 | 70 |
| 3 | 75 |
| 5 | 80 |
| 7 | 85 |
| 8 | 90 |
Складзіце лінейнае рэгрэсійнае ўраўненне з гэтых дадзеных!
Абмеркаванне:
1. Разлік сярэдняга значэння:
\[
\bar{X} = \frac{2 + 3 + 5 + 7 + 8}{5} = 5
\]
\[
\bar{Y} = \frac{70 + 75 + 80 + 85 + 90}{5} = 80
\]
2. Разлік каэфіцыента рэгрэсіі \(b \):
\[
b = \frac{\sum (X_i – \bar{X})(Y_i – \bar{Y})}{\sum (X_i – \bar{X})^2}
\]
\[
\sum (X_i – \bar{X})(Y_i – \bar{Y}) = (2 – 5)(70 – 80) + (3 – 5)(75 – 80) + (5 – 5)(80 – 80) + (7 – 5)(85 – 80) + (8 – 5)(90 – 80)
\]
\[
= (-3)(-10) + (-2)(-5) + (0)(0) + (2)(5) + (3)(10) = 30 + 10 + 0 + 10 + 30 = 80
\]
\[
\sum (X_i – \bar{X})^2 = (2 – 5)^2 + (3 – 5)^2 + (5 – 5)^2 + (7 – 5)^2 + (8 – 5)^2
\]
\[
= 9 + 4 + 0 + 4 + 9 = 26
\]
\[
b = \frac{80}{26} \прыблізна 3.08
\]
3. Вылічэнне кропкі перасячэння \(a \):
\[
a = \bar{Y} – b\bar{X}
\]
\[
a = 80 – 3.08 \times 5 = 80 – 15.4 = 64.6
\]
4. Ураўненне рэгрэсіі:
\[
Y = 64.6 + 3.08X
\]
Такім чынам, ураўненне лінейнай рэгрэсіі для дадзеных мае выгляд \(Y = 64.6 + 3.08X \). Гэта азначае, што кожная дадатковая гадзіна навучання павінна павялічыць вынік тэсту на 3.08 бала.
Прыклад пытання 2: Тэставанне мадэлі і інтэрпрэтацыя
Пытанне:
Працягваючы з тымі ж дадзенымі, вылічыце значэнне R-квадрата (R²), каб ацаніць, наколькі добра мадэль адпавядае дадзеным. Таксама праверце значнасць каэфіцыента рэгрэсіі (b).
Абмеркаванне:
1. Разлічыце агульную суму квадратаў (SST), суму квадратаў рэгрэсіі (SSR) і суму квадратаў памылак (SSE):
\[
SST = \sum (Y_i – \bar{Y})^2
\]
\[
SST = (70 – 80)^2 + (75 – 80)^2 + (80 – 80)^2 + (85 – 80)^2 + (90 – 80)^2 = 100 + 25 + 0 + 25 + 100 = 250
\]
\[
ССР = ∫(Y_i – Y)^2
\]
Дзе \( \hat{Y}_i \) — прагназаванае значэнне ўраўнення рэгрэсіі:
\[
\hat{Y}_i = 64.6 + 3.08X_i
\]
\[
\hat{Y} = [67.76, 70.84, 76.0, 82.16, 85.24]
\]
\[
Y = 80
\]
\[
ССР = (67.76 – 80)^2 + (70.84 – 80)^2 + (76.0 – 80)^2 + (82.16 – 80)^2 + (85.24 – 80)^2
\]
\[
ССР = (-12.24)^2 + (-9.16)^2 + (-4.0)^2 + 2.16^2 + 5.24^2 = 149.8
\]
2. Разлік SSE:
\[
SSE = SST – SSR = 250 – 149.8 = 100.2
\]
3. Разлік R-квадрата:
\[
R^2 = \frac{SSR}{SST} = \frac{149.8}{250} \прыблізна 0.6
\]
Значэнне R-квадрат, роўнае 0.6, паказвае, што гэтая мадэль тлумачыць прыблізна 60% варыяцый у дадзеных. Гэта сведчыць аб тым, што лінія рэгрэсіі дастаткова добра адпавядае дадзеным.
4. t-тэст на значнасць каэфіцыента \(b \):
\[
t = \frac{b}{SE(b)}
\]
\[
SE(b) = \sqrt{\frac{SSE}{n-2}} / \sqrt{\sum (X_i – \bar{X})^2}
\]
\[
SE(b) = \sqrt{\frac{100.2}{5-2}} / \sqrt{26}
\]
\[
SE(b) = 33.4 / 26 прыблізна 1.13
\]
\[
t = \frac{3.08}{1.13} \прыблізна 2.73
\]
Пры t-статыстыцы прыблізна 2.73, калі мы выкарыстоўваем агульны парог значнасці (α = 0.05), мы параўноўваем яго з t-табліцай. Напрыклад, для df = 3 крытычнае значэнне t складае прыблізна 2.353. Тады t-назіранае > t-крытычнае значэнне, што паказвае на значны каэфіцыент.
Выснова
У гэтым артыкуле мы разгледзелі асновы лінейнай рэгрэсіі, як разлічыць каэфіцыент рэгрэсіі і перасячэнне з воссю ачкі, а таксама як інтэрпрэтаваць вынікі з дапамогай прыкладаў задач. Рэгулярная практыка з рознымі наборамі дадзеных неабходная для таго, каб навучыцца выкарыстоўваць гэты метад. Лінейная рэгрэсія — каштоўны інструмент у аналізе дадзеных, які можа даць глыбокае разуменне ўзаемасувязяў паміж зменнымі.
