Прыклады пытанняў і абмеркаванне прымянення інтэгралаў пры вылічэнні плошчы плоскай плоскасці
У выкладанні матэматыкі інтэгралы часта сустракаюцца ў вышэйшай матэматыкі. Адным з найбольш вядомых ужыванняў інтэгралаў з'яўляецца вылічэнне плошчы пад крывой або плоскасцю. У гэтым артыкуле будзе разгледжана некалькі прыкладаў задач і абмеркавана прымяненне інтэгралаў для вылічэння плошчы плоскасці.
Уводзіны ў тэорыю
Перш чым перайсці да прыкладу задачы, давайце разгледзім асноўную канцэпцыю вылічэння плошчы пад крывой з дапамогай інтэгралаў. Калі ў нас ёсць функцыя f(x), якая бесперапынная на прамежку [a, b], то плошча пад крывой y = f(x) ад x = a да x = b роўная:
\[L = \int_{a}^{b} f(x) \, dx \]
Геаметрычна гэта азначае, што мы падсумоўваем плошчу вельмі тонкага прамавугольніка ад x = a да x = b.
Прыклад пытання 1
Соль
Вылічыце плошчу пад крывой y = x² у інтэрвале [1, 3].
Абмеркаванне
Каб вылічыць плошчу, мы выкарыстоўваем інтэграл:
\[L = \int_{1}^{3} x^2 \, dx \]
Пачнем з пошуку першаснай функцыі (x^2). Першасная функцыя (x^2) роўная (x^3) і мае выгляд (x^3). Тады інтэграл мае выгляд:
\[ L = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{1}^{3} \]
Памятайце, што мы павінны вылічыць першасную ў межах інтэграла:
\[ L = \left( \frac{3^3}{3} \right) – \left( \frac{1^3}{3} \right) \]
L = (27/3) – (1/3)
\[L = 9 – \frac{1}{3} \]
\[L = \frac{27}{3} – \frac{1}{3} \]
\[L = \frac{26}{3} \]
Такім чынам, плошча пад крывой y = x² ад x = 1 да x = 3 роўная:
\[ \frac{26}{3} \, \text{адзінка вымярэння плошчы} \]
Прыклад пытання 2
Соль
Вызначце плошчу вобласці, абмежаванай крывой y = x³ і прамымі x = 1 і x = 2.
Абмеркаванне
Каб вылічыць плошчу, мы выкарыстоўваем інтэграл:
\[L = \int_{1}^{2} x^3 \, dx \]
Як звычайна, мы пачынаем з пошуку першаснай функцыі (x^3). Першасная функцыя (x^3) роўная (x^4/4). Інтэграл мае выгляд:
\[ L = \left[ \frac{x^4}{4} \right]_{1}^{2} \]
Ацаніце межы інтэграла:
\[ L = \left( \frac{2^4}{4} \right) – \left( \frac{1^4}{4} \right) \]
L = (16/4) – (1/4)
\[L = 4 – \frac{1}{4} \]
\[L = \frac{16}{4} – \frac{1}{4} \]
\[L = \frac{15}{4} \]
Такім чынам, плошча пад крывой y = x³ ад x = 1 да x = 2 роўная:
\[ \frac{15}{4} \, \text{адзінка вымярэння плошчы} \]
Прыклад пытання 3
Соль
Вызначце плошчу вобласці, абмежаванай крывымі y = x² + 1 і y = 2x + 2 у інтэрвале ад x = 0 да x = 1.
Абмеркаванне
Спачатку нам трэба знайсці кропкі перасячэння, каб вызначыць межы інтэгравання. Рашэнне ўраўненні \(x^2 + 1 = 2x + 2 \):
\[x^2 + 1 = 2x + 2 \]
\[x^2 – 2x – 1 = 0 \]
Выкарыстоўваючы формулу квадратнага ўраўнення:
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 4}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm \sqrt{8}}{2} \]
\[ x = \frac{2 \pm 2\sqrt{2}}{2} \]
\[ x = 1 \pm \sqrt{2} \]
Аднак, для верхняй і ніжняй межаў паміж 0 і 1 нам не трэба выкарыстоўваць квадратнае рашэнне, толькі звычайную інтэгральную мяжу ад 0 да 1. Далей вылічым плошчу верхняй крывой y мінус ніжняя крывая y у адпаведнасці з гэтымі межамі:
\[L = \int_{0}^{1} [(2x + 2) – (x^2 + 1)] \, dx \]
Спрашчэнне функцыі:
L = (2x + 2 – x^2 – 1) dx
\[L = \int_{0}^{1} (-x^2 + 2x + 1) \, dx \]
Далей, мы знаходзім першасную вытворную:
Першавытворная функцыі \( (-x^2) \) роўная \( -\frac{x^3}{3} \),
Первавытворная ад \( (2x) \) роўная \( x^2 \),
Першавытворнай \( (1) \) роўная \( x \).
Так што,
L = (-x^3}{3} + x^2 + x) |_0^1
Наступная ацэнка:
\[ L = \left[ -\frac{1^3}{3} + 1^2 + 1 \right] – \left[ -\frac{0^3}{3} + 0^2 + 0 \right] \]
\[ L = \left[ -\frac{1}{3} + 1 + 1 \right] – \left[ 0 \right] \]
\[L = -\frac{1}{3} + 2 \]
\[L = \frac{6}{3} – \frac{1}{3} \]
\[L = \frac{5}{3} \]
Такім чынам, плошча вобласці, абмежаванай крывымі y = x² + 1 і y = 2x + 2 на прамежку [0, 1], роўная:
\[ \frac{5}{3} \, \text{адзінка вымярэння плошчы} \]
-
З прыведзеных вышэй прыкладаў мы бачым, як інтэгралы можна выкарыстоўваць для вылічэння плошчы пад крывой або паміж двума крывымі. Пры правільным разуменні асноўных паняццяў інтэгралаў і метадаў першасных вылічэнне гэтых плошчаў становіцца вельмі сістэматычным і эфектыўным. Спадзяемся, што гэты артыкул пашырыў наша разуменне прымянення інтэгралаў у рэальным свеце, асабліва ў галіне вымярэння плошчы плоскіх паверхняў.
