Прыклады пытанняў па выкарыстанні трыганаметрычных суадносін
Трыганаметрыя — гэта раздзел матэматыкі, які вывучае сувязі паміж бакамі і вугламі трыкутнікаў. Разуменне трыганаметрыі мае вырашальнае значэнне, таму што яна часта выкарыстоўваецца ў розных галінах, у тым ліку ў архітэктуры, інжынерыі, астраноміі і нават крыптаграфіі. У гэтым артыкуле будуць разгледжаны некалькі прыкладаў задач і абмеркаваны яны ў кантэксце выкарыстання трыганаметрычных суадносін.
Асноўныя паняцці трыганаметрыі
Перш чым перайсці да прыкладаў задач, давайце разгледзім некаторыя асноўныя паняцці трыганаметрыі. У прамавугольным трыкутніку часта выкарыстоўваюцца тры асноўныя трыганаметрычныя функцыі: сінус, косінус і тангенс.
– Сінус (sin) вугла — гэта стаўленне даўжыні катэта, процілеглага вуглу, да даўжыні гіпатэнузы.
\[
\sin \theta = \frac{\text{абарот}}{\text{гіпатэнуза}}
\]
– Косінус (cos) вугла — гэта стаўленне даўжыні катэта, прылеглага да вугла, да даўжыні гіпатэнузы.
\[
\cos \theta = \frac{\text{сумежны катэтар}}{\text{гіпатэнуза}}
\]
– Тангенс (tg) вугла — гэта стаўленне даўжыні стараны, супрацьлеглай вуглу, да даўжыні стараны, прылеглай да вугла.
\[
\tan \theta = \frac{\text{пярэдні бок}}{\text{бакавы бок}}
\]
Прыклад пытання 1: Разлік вышыні вежы
Пытанне: Назіральнік стаіць на адлегласці 50 метраў ад вежы і вымярае вугал узвышэння вяршыні вежы, які складае 30 градусаў. Вызначце вышыню вежы.
Рашэнне: Каб вырашыць гэтую задачу, можна выкарыстаць функцыю тангенса ў трыганаметрыі. Паколькі мы ведаем вугал узвышэння і гарызантальную адлегласць ад назіральніка да вежы, можна запісаць:
\[
\tan 30^\circ = \frac{\text{вышыня вежы}}{\text{гарызантальная адлегласць}}
\]
Падстаўце вядомыя значэнні:
\[
\tan 30^\circ = \frac{h}{50}
\]
Вядома, што \(\tan 30^\circ = \frac{1}{\sqrt{3}}\), таму:
\[
\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{h}{50}
\]
Тады вышыню вежы, \(h\), можна знайсці, памножыўшы абедзве часткі ўраўнення на 50:
\[
h = 50 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{50}{\sqrt{3}} \прыблізна 28.87 \, \text{метр}
\]
Вышыня вежы складае каля 28.87 метра.
Прыклад пытання 2: Вызначэнне адлегласці з дапамогай косінуса
Пытанне: Карабель рухаецца на ўсход на 10 км, затым змяняе курс на 60 градусаў на поўнач і праплывае 15 км. Вызначце адлегласць ад пункта пачатку да карабля.
Абмеркаванне: Каб вырашыць гэтую задачу, можна выкарыстаць правіла косінуса ў трыганаметрыі. Калі адлюстраваць шлях судна ў сістэме каардынат, атрымаецца трохвугольнік са старанамі 10 км і 15 км і вуглом 60 градусаў. З дапамогай правіла косінуса можна знайсці адлегласць паміж пачатковай кропкай судна і яго канчатковым месцам.
\[
c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C
\]
Дзе:
– \(a = 10 \)
– \(b = 15 \)
– \(C = 60^\circle \)
Падстаўце вядомыя значэнні:
\[
c^2 = 10^2 + 15^2 – 2 \cdot 10 \cdot 15 \cdot \cos 60^\circ
\]
Мы ведаем, што \(\cos 60^\circ = 0.5\), тады:
\[
c^2 = 100 + 225 – 2 \cdot 10 \cdot 15 \cdot 0.5
\]
\[
c^2 = 100 + 225 – 150
\]
\[
c^2 = 175
\]
\[
c = \sqrt{175} \прыблізна 13.23 \, \text{км}
\]
Такім чынам, адлегласць ад пачатковай кропкі да карабля складае каля 13.23 км.
Прыклад пытання 3: Вызначэнне бакоў трыкутніка з дапамогай сінуса
Пытанне: У трыкутніку дзве стараны роўныя 7 см і 10 см, а вугал паміж імі роўны 45 градусам. Вылічыце даўжыню трэцяй стараны трыкутніка.
Абмеркаванне: Для вырашэння гэтай задачы можна выкарыстаць тэарэму сінусаў. У тэорыі сінусаў для трохвугольніка са старанамі \(a\), \(b\) і \(c\) і вуглом \(C\) паміж старанамі \(a\) і \(b\):
\[
\frac{c}{\sin C} = \frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B}
\]
Аднак у гэтым выпадку мы можам непасрэдна выкарыстаць тэарэму косінусаў, каб спрасціць задачу. Тэарэма косінусаў абвяшчае:
\[
c^2 = a^2 + b^2 – 2ab \cos C
\]
Дзе:
– \(a = 7 \)
– \(b = 10 \)
– \(C = 45^\circle \)
(\cos 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}\), такім чынам:
\[
c^2 = 7^2 + 10^2 – 2 \cdot 7 \cdot 10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}
\]
\[
c^2 = 49 + 100 – 70\sqrt{2}
\]
\[
c^2 = 149 – 70\sqrt{2}
\]
Вылічэнне значэння \(c \):
\[
c \прыблізна \sqrt{149 – 70\sqrt{2}} \прыблізна 5.97 \, \text{см}
\]
Такім чынам, даўжыня трэцяга боку трохвугольніка складае каля 5.97 см.
Выснова
Трыганаметрыя — вельмі карысны інструмент для рашэння розных задач, звязаных з трыкутнікамі і вугламі. Добра разумеючы сінус, косінус, тангенс і законы трыганаметрыі, мы можам вырашыць мноства практычных задач. У гэтым артыкуле разглядаюцца некалькі прыкладаў выкарыстання трыганаметрычных суадносін, якія, як мы спадзяемся, дапамогуць чытачам паглыбіць сваё разуменне.
