Прыклад дыскусійнага пытання аб імавернасці ўмоўна незалежных складаных падзей
Пендахулуан
Верагоднасць — гэта раздзел матэматыкі, які вывучае верагоднасць таго, што падзея адбудзецца. Адным з фундаментальных паняццяў тэорыі верагоднасці з'яўляюцца складаныя падзеі, якія можна класіфікаваць як незалежныя або ўмоўныя. У гэтым артыкуле гэтыя паняцці будуць падрабязна разгледжаны з дапамогай прыкладаў задач і абмеркаванняў.
Складаныя падзеі
Складаная падзея — гэта камбінацыя дзвюх або больш падзей, якія адбываюцца ў прасторы выбаркі. Існуе два тыпы складаных падзей: узаемавыключальныя падзеі і ўмоўныя падзеі.
1. Незалежныя падзеі: Дзве падзеі называюцца незалежнымі, калі поспех або няўдача адной падзеі не ўплывае на іншую. Напрыклад, вынік кідання манеты і кідання кубіка.
2. Умоўныя падзеі: Умоўныя падзеі ўзнікаюць, калі поспех або няўдача адной падзеі ўплывае на верагоднасць узнікнення іншай падзеі. Напрыклад, верагоднасць развіцця хваробы ў чалавека, калі ў яго ёсць генетычная схільнасць да гэтай хваробы.
Верагоднасць незалежных падзей
Формула для вылічэння верагоднасці двух незалежных падзей A і B выглядае наступным чынам:
P(A) = P(A) памножанае на P(B)
Дзе:
– \(P(A \cap B)\) — гэта верагоднасць таго, што падзеі A і B адбудуцца адначасова.
– \(P(A)\) — імавернасць таго, што падзея А адбудзецца.
– \(P(B)\) — імавернасць таго, што падзея B адбудзецца.
Прыклады пытанняў і абмеркаванне: Узаемна незалежныя падзеі
Пытанне 1: Кідаюць манету і кідаюць шасцігранны кубік. Вызначце верагоднасць таго, што на манеце выпадзе арол, а на кубіку — 4.
Абмеркаванне:
– Верагоднасць з'яўлення выявы на манеце: \( P(G) = \frac{1}{2} \)
– Верагоднасць выпадзення лічбы 4 на кубіках: \( P(4) = \frac{1}{6} \)
Паколькі манета і кубік — дзве незалежныя падзеі, верагоднасць таго, што абедзве адбудуцца адначасова, роўная:
\[ P(G ∈ 4) = P(G) × P(4) = \frac{1}{2} × \frac{1}{6} = \frac{1}{12}]
Такім чынам, верагоднасць таго, што на манеце выпадзе малюнак, а на кубіку — 4, складае \( \frac{1}{12} \).
Умоўная верагоднасць падзей
Умоўная верагоднасць дзвюх падзей A і B — гэта верагоднасць таго, што A адбудзецца пры ўмове, што B адбылося. Формула для вылічэння ўмоўнай верагоднасці паказана ніжэй:
\[ P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \]
Дзе:
– \( P(A|B) \) — імавернасць падзеі А пры ўмове, што падзея B ужо адбылася.
– (P(A \cap B) \) — імавернасць адначасовага ўзнікнення падзей A і B.
– \(P(B) \) — верагоднасць таго, што падзея B адбудзецца.
Прыклады пытанняў і абмеркаванне: Умоўныя падзеі
Пытанне 2: З скрынкі, у якой знаходзяцца 3 чырвоныя і 2 сінія шарыкі, выпадковым чынам па адным дастаюць два шарыкі без вяртання. Знайдзіце верагоднасць таго, што другі выцягнуты шарык будзе чырвоным, улічваючы, што першы шарык таксама чырвоны.
Абмеркаванне:
Напрыклад:
– А — гэта падзея, калі першы шар чырвоны.
– B — падзея, калі другі шар чырвоны.
Мы шукаем \( P(B|A) \). Спачатку мы вылічваем \(P(A)\) і \(P(A \cap B)\):
Агульная колькасць шароў = 5 (3 чырвоныя і 2 сінія).
Першы шанец чырвонага мяча:
\[
P(A) = \frac{3}{5}
\]
Пасля таго, як выцягнуты першы чырвоны шарык, колькасць астатніх чырвоных шарыкаў роўная 2, а агульная колькасць шарыкаў становіцца роўнай 4.
Верагоднасць таго, што другі шарык будзе чырвоным пасля таго, як выцягнулі першы чырвоны шарык:
\[
P(B|A) = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
\]
Такім чынам, верагоднасць таго, што другі шар чырвоны, калі першы шар таксама чырвоны, роўная \( \frac{1}{2} \).
Прыклады пытанняў па камбінацыях
Каб паглыбіць наша разуменне, мы можам аб'яднаць незалежныя і ўмоўныя састаўныя падзеі ў адным пытанні.
Пытанне 3: У мяшку ляжыць 5 чырвоных і 3 сініх шарыкаў. Выпадковым чынам выцягваюцца два шарыкі без паўторнага ўзяцця. Знайдзіце верагоднасць таго, што першы шарык чырвоны, а другі — сіні.
Абмеркаванне:
Мы выкарыстоўваем тыя ж абазначэнні, што і раней:
– А — гэта падзея, калі першы шар чырвоны.
– B — падзея, калі другі шарык сіні.
Спачатку мы вылічваем верагоднасць кожнай падзеі запар.
Верагоднасць таго, што першы шарык будзе чырвоным:
\[
P(A) = \frac{5}{8}
\]
Калі першы шар чырвоны, то колькасць астатніх чырвоных шарыкаў = 4, а агульная колькасць астатніх шарыкаў = 7.
Верагоднасць таго, што другі шарык пасля таго, як першы шарык стаў чырвоным, будзе сінім:
\[
P(B|A) = \frac{3}{7}
\]
Такім чынам, верагоднасць таго, што першы шар чырвоны, а другі — сіні, роўная здабытку гэтых двух умоўных верагоднасцей:
\[
P(A \cap B) = P(A) \times P(B|A) = \frac{5}{8} \times \frac{3}{7} = \frac{15}{56}
\]
Такім чынам, верагоднасць таго, што першы шар чырвоны, а другі — сіні, роўная \( \frac{15}{56} \).
Выснова
У тэорыі імавернасцей разуменне розніцы паміж незалежнымі і ўмоўнымі падзеямі мае вырашальнае значэнне для рашэння задач, якія ўключаюць складаныя падзеі. На прыкладах задач мы даведаемся, як вылічваць імавернасці розных сцэнарыяў, якія ўключаюць гэтыя дзве канцэпцыі. Добрае разуменне гэтых канцэпцый можа дапамагчы ў прыняцці рашэнняў у рэальных сітуацыях, такіх як кіраванне рызыкамі, гульні і навуковыя даследаванні.
Прымяненне матэматыкі ў паўсядзённым жыцці дэманструе, наколькі важна гэта разуменне для розных аспектаў чалавечага жыцця, ад самых простых да самых складаных. Пастаянна практыкуючы і засвойваючы гэтыя асноўныя паняцці, мы будзем удасканальваць свае навыкі ў аналізе імавернасцей.
