Прыклады пытанняў і абмеркаванне акружнасцей і акордаў
Акружнасць — адна з асноўных геаметрычных фігур, якія часта вывучаюцца ў матэматыцы. Адным з важных паняццяў, звязаных з акружнасцю, з'яўляецца хорда, якая ўяўляе сабой лінію, што злучае дзве кропкі на акружнасці, не праходзячы праз цэнтр. Разуменне акружнасцей і хорд мае важнае значэнне для вывучэння геаметрыі. У гэтым артыкуле будуць разгледжаны некалькі прыкладаў задач і дыскусій, звязаных з акружнасцю і хордамі, каб паглыбіць наша разуменне гэтых паняццяў.
Асноўнае разуменне
Круг
Акружнасць — гэта сукупнасць усіх кропак плоскасці, якія знаходзяцца на роўнай адлегласці ад дадзенай кропкі, якая называецца цэнтрам. Калі цэнтр акружнасці — кропка O, а радыус акружнасці роўны r, то акружнасць можна выразіць ураўненнем (x – O_x)² + (y – O_y)² = r² у дэкартавай форме.
Цяціва
Хорда ў акружнасці — гэта лінія, якая злучае дзве кропкі на акружнасці. Даўжыня хорды залежыць не толькі ад радыуса акружнасці, але і ад велічыні цэнтральнага вугла, накіраванага да яе.
Прыклады пытанняў і абмеркаванне
Пытанне 1:
Пытанне: Дадзены акружнасць радыусам 10 см і хорда AB даўжынёй 16 см. Вызначце найкарацейшую адлегласць ад цэнтра акружнасці да хорды.
Абмеркаванне:
Каб знайсці адлегласць ад цэнтра акружнасці да хорды, можна выкарыстаць формулу прамавугольнага трыкутніка, якая ўтвараецца паміж радыусам, адлегласцю ад цэнтра да хорды і паловай даўжыні хорды.
Дапусцім, што пункт O — цэнтр акружнасці, а пункт P — пункт пасярэдзіне хорды AB, перпендыкулярнай да AB. Такім чынам, OP — гэта адлегласць ад цэнтра акружнасці O да хорды AB.
У трохвугольніку OAP (прававугольны трохвугольнік у кропцы P) можна ўжыць тэарэму Піфагора:
OP² + AP² = OA²
Мы ведаем, што:
– OA (радыус акружнасці) = 10 см
– AB (даўжыня цяцівы) = 16 см, значыць AP = 16/2 = 8 см.
Падстаўце вядомыя значэнні ў раўнанне:
OP² + 8² = 10²
OP² + 64 = 100
OP² = 100 – 64
OP² = 36
OP = √36
АП = 6
Такім чынам, найкарацейшая адлегласць ад цэнтра акружнасці да хорды роўная 6 см.
Пытанне 2:
Пытанне: Акружнасць з цэнтрам у кропцы O мае радыус 8 см. Хорда AB утварае цэнтральны вугал ∠AOB, роўны 120°. Вызначце даўжыню хорды AB.
Абмеркаванне:
Каб вылічыць даўжыню хорды, якая ўтварае цэнтральны вугал (θ), можна выкарыстаць формулу:
AB = 2 × r × sin(θ/2)
Дзе:
– r — радыус акружнасці (у гэтым пытанні 8 см)
– θ — вугал, які ўтварае хорда ў цэнтры акружнасці (у гэтай задачы 120°)
Падстаўце вядомыя значэнні:
AB = 2 × 8 см × sin (120°/2)
AB = 16 см × sin(60°)
AB = 16 см × (√3 / 2)
AB = 8√3 см
Такім чынам, даўжыня хорды AB роўная 8√3 см.
Пытанне 3:
Пытанне: Акружнасць мае радыус 13 см, а хорда AB знаходзіцца на адлегласці 5 см ад цэнтра акружнасці. Вызначце даўжыню хорды AB.
Абмеркаванне:
У гэтым выпадку мы можам выкарыстаць прамавугольны трохвугольнік, каб знайсці даўжыню хорды. Дапусцім, што кропка O — гэта цэнтр акружнасці, кропка P — гэта кропка на хордзе, бліжэйшая да цэнтра, а AB — гэта хорда.
Мы ведаем:
– OA (радыус акружнасці) = 13 см
– АП (адлегласць ад цэнтра да цяцівы) = 5 см.
У трыкутніку OAP:
OP² + AP² = OA²
Знаходзім AP (палову даўжыні хорды):
5² + AP² = 13²
25 + AP² = 169
AP² = 169 – 25
AP² = 144
AP = √144
AP = 12
Такім чынам, даўжыня хорды AB = 2 × AP = 2 × 12 = 24 см.
Пытанне 4:
Пытанне: Дадзена акружнасць з радыусам 10 см. Хорда AB мае даўжыню 12 см. Вызначце памер цэнтральнага вугла ∠AOB.
Абмеркаванне:
У гэтым выпадку нам трэба выкарыстаць адваротную трыганаметрычную функцыю для вызначэння цэнтральнага вугла ∠AOB. Зыходзячы з формулы для даўжыні хорды, якая ўключае цэнтральны вугал θ, мы можам перапісаць формулу для вылічэння θ:
AB = 2 × r × sin(θ/2)
Дзе:
– r — радыус акружнасці (10 см)
– AB — даўжыня цяцівы (12 см)
Складзіце ўраўненне для вылучэння sin(θ/2):
12 = 2 × 10 × sin(θ/2)
12 = 20 × sin(θ/2)
sin(θ/2) = 12/20
sin(θ/2) = 0.6
Знайдзіце значэнне θ/2:
θ/2 = sin^(-1)(0.6)
θ/2 = 36.87°
Такім чынам,:
θ = 2 × 36.87° = 73.74°
Такім чынам, цэнтральны вугал ∠AOB роўны 73.74°.
Выснова
Вывучэнне акружнасцей і хорд патрабуе разумення асноў геаметрыі і трыганаметрыі. У прыведзеных вышэй прыкладах мы ўбачылі, як выкарыстоўваць розныя формулы і тэарэмы, такія як тэарэма Піфагора, трыганаметрычныя функцыі і асноўныя ўласцівасці акружнасцей, для рашэння задач.
Спадзяемся, што з дапамогай гэтых практычных задач можна будзе дасягнуць больш глыбокага разумення сувязі паміж радыусам, даўжынёй хорды і атрыманым цэнтральным вуглом. Разуменне гэтай канцэпцыі карысна не толькі ў школьнай матэматыцы, але і ў паўсядзённым ужыванні ў розных галінах навукі і тэхнікі.
