Прыклад дыскусійнага пытання па каэфіцыенце дэтэрмінацыі
Каэфіцыент дэтэрмінацыі (R²) — важны параметр у рэгрэсійным аналізе, які паказвае, наколькі добра рэгрэсійная мадэль тлумачыць рэальную зменлівасць дадзеных. У гэтым артыкуле мы растлумачым паняцце каэфіцыента дэтэрмінацыі на падрабязным прыкладзе і абмеркаванні.
Асноўная канцэпцыя каэфіцыента дэтэрмінацыі
Каэфіцыент дэтэрмінацыі або \(R^2 \) вымяраецца па шкале ад 0 да 1, дзе:
– \( R^2 = 0 \) паказвае, што рэгрэсійная мадэль зусім не ў стане растлумачыць зменлівасць дадзеных.
– \(R^2 = 1 \) паказвае, што рэгрэсійная мадэль здольная ідэальна растлумачыць усю зменлівасць дадзеных.
Асноўная формула для разліку каэфіцыента дэтэрмінацыі:
\[R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
Дзе:
– ССР (сума квадратаў рэшткаў) — гэта сума квадратаў рознасцей паміж значэннямі, прагназаванымі мадэллю, і фактычнымі значэннямі.
– SST (агульная сума квадратаў) — гэта агульная сума квадратаў рознасцей паміж фактычным значэннем і сярэднім значэннем фактычных значэнняў.
Прыклад задачы
Давайце абмяркуем прыклад задачы, каб больш падрабязна зразумець разлік каэфіцыента дэтэрмінацыі.
Прыклад задачы:
Дапусцім, у нас ёсць дадзеныя аб колькасці навучальных гадзін (X) і выніках экзаменаў (Y) 10 студэнтаў:
| Студэнты | Гадзіны вучобы (X) | Бал экзамену (Y) |
|——-|——————–|——————–|
| 1 | 2 | 58 |
| 2 | 3 | 64 |
| 3 | 4 | 70 |
| 4 | 5 | 85 |
| 5 | 2 | 57 |
| 6 | 3 | 68 |
| 7 | 4 | 72 |
| 8 | 5 | 90 |
| 9 | 3 | 62 |
| 10 | 4 | 78 |
Мы створым простую мадэль лінейнай рэгрэсіі, дзе вынікі экзаменаў (Y) прагназуюцца на аснове вучэбных гадзін (X).
Абмеркаванне
1. Пабудова простай мадэлі лінейнай рэгрэсіі
Простая мадэль лінейнай рэгрэсіі мае выгляд:
\[Y = a + bX \]
Дзе:
– \(Y \) — прагназаваны вынік тэсту.
– \(X \) — колькасць вучэбных гадзін.
– \(a \) — кропка перасячэння з воссю Y пры X = 0.
– \(b \) — нахіл (кут нахілу лініі рэгрэсіі).
Для вылічэння параметраў (a) і (b) выкарыстоўваецца наступная формула:
\[ b = \frac{n(\sum{XY}) – (\sum{X})(\sum{Y})}{n(\sum{X^2}) – (\sum{X})^2} \]
\[ a = \frac{\sum{Y} – b(\sum{X})}{n} \]
Дзе \(n \) — колькасць дадзеных (у гэтым выпадку n = 10).
З табліцы мы можам вылічыць:
– \(\sum{X} = 36\)
– \(\sum{Y} = 704\)
– \(\sum{X^2} = 140\)
– \(\sum{Y^2} = 50428\)
– \(\sum{XY} = 2576\)
Спачатку вылічым b:
\[b = \frac{10(2576) – (36)(704)}{10(140) – (36)^2} \]
\[b = \frac{25760 – 25344}{1400 – 1296} \]
\[b = \frac{416}{104} \]
\[b = 4 \]
Затым мы вылічваем a:
\[a = \frac{704 – 4(36)}{10} \]
\[a = \frac{704 – 144}{10} \]
\[a = \frac{560}{10} \]
\[ a = 56 \]
Такім чынам, атрыманая намі лінейная рэгрэсійная мадэль мае наступны выгляд:
\[Y = 56 + 4X \]
2. Разлічыце прагназаванае значэнне (Y')
Далей мы вылічваем прагназаванае значэнне (Y') для кожнага (X):
| Студэнты | Гадзіны вучобы (X) | Экзаменацыйны бал (Y) | Прагназаваны бал (Y') |
|——-|——————–|——————–|————————-|
| 1 | 2 | 58 | \( 56 + 4(2) = 64 \) |
| 2 | 3 | 64 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 3 | 4 | 70 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
| 4 | 5 | 85 | \( 56 + 4(5) = 76 \) |
| 5 | 2 | 57 | \( 56 + 4(2) = 64 \) |
| 6 | 3 | 68 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 7 | 4 | 72 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
| 8 | 5 | 90 | \( 56 + 4(5) = 76 \) |
| 9 | 3 | 62 | \( 56 + 4(3) = 68 \) |
| 10 | 4 | 78 | \( 56 + 4(4) = 72 \) |
3. Разлік SSR і SST
Далей мы вылічваем SSR і SST, каб атрымаць \(R^2 \).
ССР:
\[SSR = \sum{(Y – Y')^2} \]
\[ ССР = (58 – 64)^2 + (64 – 68)^2 + (70 – 72)^2 + (85 – 76)^2 + (57 – 64)^2 + (68 – 68)^2 + (72 – 72)^2 + (90 – 76)^2 + (62 – 68)^2 + (78 – 72)^2 \]
\[ ССР = 36 + 16 + 4 + 81 + 49 + 0 + 0 + 196 + 36 + 36 \]
\[SSR = 454 \]
Тэрмін прыдатнасці:
\[ SST = \sum{(Y – \bar{Y})^2} \]
Дзе:
\[ \bar{Y} = \frac{\sum{Y}}{n} = \frac{704}{10} = 70.4 \]
\[ SST = (58 – 70.4)^2 + (64 – 70.4)^2 + (70 – 70.4)^2 + (85 – 70.4)^2 + (57 – 70.4)^2 + (68 – 70.4)^2 + (72 – 70.4)^2 + (90 – 70.4)^2 + (62 – 70.4)^2 + (78 – 70.4)^2 \]
\[ SST = 153.76 + 40.96 + 0.16 + 213.16 + 178.56 + 5.76 + 2.56 + 384.16 + 70.56 + 57.76 \]
\[ SST = 1107.44 \]
4. Разлік каэфіцыента дэтэрмінацыі \(R^2 \):
\[R^2 = 1 – \frac{SSR}{SST} \]
\[R^2 = 1 – \frac{454}{1107.44} \]
\[R^2 = 1 – 0.41 \]
\[R^2 = 0.59 \]
Выснова
З прыведзенага вышэй разліку мы атрымалі каэфіцыент дэтэрмінацыі (R2 = 0.59). Гэта паказвае, што створаная намі мадэль лінейнай рэгрэсіі можа растлумачыць прыблізна 59% зменлівасці экзаменацыйных балаў у залежнасці ад колькасці гадзін вучобы. Астатнія 41% зменлівасці могуць быць выкліканы іншымі фактарамі, не ўключанымі ў мадэль.
Разумеючы вышэйзгаданыя крокі і разлікі, мы можам убачыць важнасць каэфіцыента дэтэрмінацыі ў ацэнцы таго, наколькі добра пабудаваная намі рэгрэсійная мадэль тлумачыць рэальную зменлівасць дадзеных. Гэта вельмі карысны інструмент у статыстычным аналізе і мадэляванні дадзеных.
