Прыклады пытанняў па выкарыстанні трыганаметрычных суадносін tan θ
Трыганаметрыя — гэта раздзел матэматыкі, які вывучае вуглы і вуглавыя функцыі ў трыкутніках. Адным з важных паняццяў у трыганаметрыі з'яўляюцца трыганаметрычныя суадносіны вуглоў, такія як сінус (sin), косінус (cos) і тангенс (tan). У гэтым артыкуле мы засяродзімся на тангенсе аднаго вугла θ, які пазначаецца tan θ.
Вызначэнне тангенса θ
Тангенс вугла θ у прамавугольным трыкутніку — гэта стаўленне даўжыні процілеглага боку вугла θ да даўжыні сумежнага боку вугла θ. Матэматычна tan θ выражаецца як:
\[ \tan \theta = \frac{\text{супрацьлеглы бок вугла θ}}{\text{сумежны бок вугла θ}} \]
Каб лепш зразумець гэтую канцэпцыю, мы разгледзім некалькі прыкладаў задач і абмяркуем выкарыстанне tan θ.
Прыклад Пытанне 1: Разлік Tan θ
Дадзены прамавугольны трохвугольнік з вуглом θ у пункце A, дзе процілеглы бок вугла θ мае даўжыню 3 см, а сумежны бок вугла θ мае даўжыню 4 см. Вылічыце tan θ.
Рашэнне:
З вышэйзгаданых праблем мы ведаем:
– Процілеглы бок вугла θ (супрацьлеглы) = 3 см
– Сумежны бок вугла θ = 4 см
Выкарыстоўваючы вызначэнне tan θ, мы вылічваем:
\[ \tan \theta = \frac{\text{супрацьлеглы}}{\text{сумежны}} \]
\[ \tan \theta = \frac{3}{4} \]
Такім чынам, tan θ = 0.75.
Геаметрычна гэта азначае, што для вугла θ у трыкутніку стаўленне даўжыні процілеглага боку да даўжыні сумежнага боку роўна 0.75.
Прыклад 2: Выкарыстанне tan θ для вылічэння даўжыні боку
Лесвіца прыхінута да сцяны пад вуглом θ, роўны 30 градусам. Адлегласць ад падножжа лесвіцы да сцяны складае 5 метраў. Якая даўжыня лесвіцы прыхінута да сцяны?
Рашэнне:
Спачатку ўспомнім азначэнне tan θ:
\[ \tan \theta = \frac{\text{супрацьлеглы}}{\text{сумежны}} \]
У кантэксце гэтай праблемы:
– θ = 30 градусаў
– сумежная (адлегласць ад падножжа лесвіцы да сцяны) = 5 метраў
– насупраць (вышыня лесвіцы да сцяны) = ???
Спачатку мы вылічваем \text{насупраць)):
\[ \tan 30^\circ = \frac{\text{насупраць}}{5} \]
З трыганаметрычнай табліцы мы ведаем, што:
\[ \tan 30^\circ = \frac{\sqrt{3}}{3} \]
Такім чынам:
\[ \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{\text{насупраць}}{5} \]
Памножце абедзве часткі на 5:
\[ \text{насупраць} = 5 \cdot \frac{\sqrt{3}}{3} = \frac{5\sqrt{3}}{3} \]
Насупраць (вышыня лесвіцы да сцяны) знаходзіцца:
\[ \frac{5\sqrt{3}}{3} \прыблізна 2.89 \text{ метраў} \]
Такім чынам, даўжыня лесвіцы складае 5 метраў.
Прыклад 3: Вылічэнне вуглоў з выкарыстаннем tan θ
Вежа адкідвае цень даўжынёй 12 метраў. Калі вышыня вежы 8 метраў, які вугал падняцця сонца θ?
Рашэнне:
У гэтай задачы нам дадзена:
– Вышыня вежы (насупраць) = 8 метраў
– Даўжыня ценю (суседняга) = 12 метраў
Мы выкарыстоўваем азначэнне tan θ, каб знайсці θ:
\[ \tan \theta = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \]
Цяпер знойдзем θ з дапамогай ураўнення:
\[ \theta = \tan^{-1} \left(\frac{2}{3} \right) \]
Выкарыстоўваючы табліцу або калькулятар для вызначэння значэння арктангенса, мы знаходзім:
\[ \theta \прыблізна 33.69^\circ \]
Такім чынам, вугал падняцця Сонца складае каля 33.69 градуса.
Прыклад 4: Ужыванне tan θ да рэальных патрэб
Усталёўваецца святлоадбівальнік, усталяваны на 4-метровым слупе над аўтамабілем. Калі вы хочаце ўсталяваць сірэну, якую можна ўбачыць пад вуглом 45 градусаў ад зямлі, разлічыце найбольшую адлегласць, на якой сірэну ўсё яшчэ можна ўбачыць.
Рашэнне:
З пытання вядома:
– Вышыня слупа (насупраць) = 4 метры
– Вугал θ = 45 градусаў
Згодна з вызначэннем tan θ:
\[ \tan 45^\circ = \frac{\text{супрацьлеглы}}{\text{сумежны}} \]
Мы ведаем, што \(\tan 45^\circ = 1\), таму:
\[ 1 = \frac{4}{\text{сумежны}} \]
Такім чынам:
\[ \text{суседні} = 4 \text{ метры} \]
Такім чынам, максімальная адлегласць, на якой можна ўбачыць сірэну, складае 4 метры.
Выснова
З прыведзеных вышэй прыкладаў мы бачым, што тангенс вугла θ (\(\tan \theta\)) — вельмі карыснае паняцце, якое мае шырокі спектр практычнага прымянення, ад рашэння простых задач у матэматыцы да ўжывання ў паўсядзённых патрэбах, такіх як будаўніцтва і навігацыя. Добрае разуменне гэтага паняцця можа дапамагчы ў вырашэнні розных задач, звязаных з параўнаннем даўжынь бакоў у трыкутніку.
У цэлым, tan θ, як частка трыганаметрыі, з'яўляецца не толькі важным прадметам у фармальнай адукацыі, але і вельмі карысным інструментам у розных аспектах рэальнага жыцця. Спадзяюся, што гэты артыкул дае зразумелы і падрабязны агляд таго, як выкарыстоўваць tan θ для вырашэння звязаных з гэтым задач.
