Прыклады пытанняў і абмеркаванне сектараў круга
Сектары круга — важная тэма ў матэматыцы, якая часта сустракаецца на экзаменах і ў практычных пытаннях. Сектар — гэта частка круга, абмежаваная двума радыусамі і дугой, якая іх злучае. У гэтым артыкуле мы абмяркуем некалькі прыкладаў задач на сектары круга разам з падрабязнымі тлумачэннямі, каб паглыбіць наша разуменне.
Вызначэнне сектара круга
Сектар акружнасці — гэта сектар акружнасці, абмежаваны двума радыусамі і адной дугой. Плошча сектара вылічваецца на аснове долі ад агульнай плошчы акружнасці. Асноўная формула, якая выкарыстоўваецца для вылічэння сектара, наступная:
– Плошча акружнасці: \[L_акружнасці = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
– Даўжыня дугі: \[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
Дзе:
– \( \theta \) — памер сектарнага вугла ў градусах,
– \(r \) — радыус акружнасці,
– \( \π \) — пастаянная велічыня (прыблізна 3.14159).
Прыклады пытанняў і абмеркаванне
Пытанне 1:
Дадзены круг з радыусам 10 см і сектар з цэнтральным вуглом 90°. Вылічыце плошчу сектара.
Абмеркаванне:
Вядома:
– \(r = 10 \) см
– \( \theta = 90^\circ \)
Выкарыстоўваем формулу для плошчы сектара:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
\[L_juring = \frac{90^\circ}{360^\circ} \times \pi \times (10\text{ см})^2\]
\[L_juring = \frac{1}{4} \times \pi \times 100\text{ см}^2\]
\[L_juring = 25\пі\тэкст{ см}^2\]
Калі π прыняць за 3.14, то:
\[L_juring = 25 \times 3.14\text{ см}^2 = 78.5\text{ см}^2\]
Такім чынам, плошча сектара складае 78.5 см².
Пытанне 2:
Сектар круга мае радыус 7 см і даўжыню дугі 11 см. Вызначце цэнтральны вугал сектара ў радыянах.
Абмеркаванне:
Вядома:
– \(r = 7 \) см
– Даўжыня дугі (P_b = 11 см)
Мы выкарыстоўваем формулу даўжыні дугі, каб знайсці вугал \( \theta \):
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
Паколькі нам трэба знайсці вугал у радыянах, мы замяняем 360° на \(2\π\) радыян:
\[P_b = \theta \times r\]
\[11 = \theta \times 7\]
\[\theta = \frac{11}{7}\]
\[\theta \прыблізна 1.57 \text{ радыян}\]
Такім чынам, цэнтральны вугал сектара роўны 1.57 радыяна.
Пытанне 3:
Круг з радыусам 16 см мае сектар плошчай 200 см². Вылічыце цэнтральны вугал сектара.
Абмеркаванне:
Вядома:
– \(r = 16 \) см
– \(L_juring = 200 \text{ см}^2 \)
Мы выкарыстоўваем формулу плошчы сектара, каб знайсці \( \theta \):
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
\[200 = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times (16)^2\]
\[200 = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times 256\]
\[200 = \frac{\theta \times 256 \times \pi}{360^\circ}\]
\[200 \times 360^\circle = \theta \times 256 \times 3.14\]
\[72000 = \theta \times 256 \times 3.14\]
\[72000 = \theta \times 804.64\]
\[\theta = \frac{72000}{804.64}\]
\[\theta \прыблізна 89.45^\circ\]
Такім чынам, цэнтральны вугал сектара складае прыблізна 89.45°.
Пытанне 4:
Вылічыце поўную акружнасць сектара, радыус якога роўны 12 см, а цэнтральны вугал роўны 120°.
Абмеркаванне:
Вядома:
– \(r = 12 \) см
– \( \theta = 120^\circ \)
Спачатку знаходзім даўжыню дугі:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
\[P_b = \frac{120^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 12\]
\[P_b = \frac{1}{3} \times 2\pi \times 12\]
\[P_b = 8\пі\см\]
Затым вылічваем акружнасць сектара (даўжыня дугі + два радыусы):
\[K = 2r + P_b\]
\[K = 2 \times 12\text{ см} + 8\pi\text{ см}\]
\[K = 24\text{ см} + 8\π\text{ см}\]
Калі π прыняць за 3.14, то:
\[K = 24\text{ см} + 8 \times 3.14\text{ см}\]
\[K = 24\text{ см} + 25.12\text{ см}\]
\[K = 49.12\text{ см}\]
Такім чынам, агульная акружнасць сектара складае 49.12 см.
Пытанне 5:
Калі акружнасць з радыусам 18 см мае сектар, які ўтварае вугал 45°, вызначце даўжыню дугі і плошчу сектара.
Абмеркаванне:
Вядома:
– \(r = 18 \) см
– \( \theta = 45^\circ \)
1. Даўжыня дугі:
\[P_b = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r\]
\[P_b = \frac{45^\circ}{360^\circ} \times 2\pi \times 18\text{ см}\]
\[P_b = \frac{1}{8} \times 36\pi\text{ см}\]
\[P_b = 4.5\пі\см\]
Калі π прыняць за 3.14, то:
\[P_b = 4.5 \times 3.14\text{ см} \прыблізна 14.13\text{ см}\]
Такім чынам, даўжыня лука складае каля 14.13 см.
2. Плошча сектара:
\[L_juring = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi \times r^2\]
\[L_juring = \frac{45^\circ}{360^\circ} \times \pi \times (18\text{ см})^2\]
\[L_juring = \frac{1}{8} \times \pi \times 324\text{ см}^2\]
\[L_juring = 40.5\пі\тэкст{ см}^2\]
Калі π прыняць за 3.14, то:
\[L_juring = 40.5 \times 3.14\text{ см}^2 \approx 127.17\text{ см}^2\]
Такім чынам, плошча сектара складае прыблізна 127.17 см².
Выснова
У гэтым артыкуле мы разгледзелі некалькі прыкладаў задач, якія тычацца сектараў круга, і іх рашэнняў. Сутнасць разумення сектараў круга заключаецца ў засваенні асноўных формул для вылічэння плошчы сектара і даўжыні дугі. Рэгулярная практыка і разуменне таго, як прымяняць гэтыя формулы да розных тыпаў задач, спадзяемся, дапамогуць палепшыць вашу здольнасць вырашаць падобныя задачы.
