Прыклады пытанняў і абмеркаванне функцыі нармальнага размеркавання
Нармальнае размеркаванне, таксама вядомае як гаўсава размеркаванне, з'яўляецца адным з найбольш фундаментальных размеркаванняў імавернасцей у статыстыцы і аналізе дадзеных. Гэта размеркаванне характарызуецца сіметрычнай крывой вакол сярэдняга значэння, прычым разброс дадзеных адлюстроўвае стандартнае адхіленне значэнняў вакол яе. Нармальнае размеркаванне з'яўляецца асновай для многіх канцэпцый у вывадной статыстыцы і шырока выкарыстоўваецца ў розных галінах, у тым ліку ў эканоміцы, псіхалогіі і сацыяльных навуках.
У гэтым артыкуле мы абмяркуем некаторыя прыклады задач і іх рашэнні, каб лепш зразумець функцыю нармальнага размеркавання.
Асноўныя паняцці нармальнага размеркавання
Нармальнае размеркаванне апісваецца двума асноўнымі параметрамі:
1. Сярэдняе значэнне (μ): сярэдняе значэнне набору дадзеных.
2. Стандартнае адхіленне (σ): вымярае, наколькі дадзеныя размеркаваны вакол сярэдняга значэння.
Функцыя шчыльнасці імавернасці нармальнага размеркавання мае выгляд:
\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\sigma^2}} e^{ -\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2} } \]
Вось некалькі асноўных крокаў рашэння задач з выкарыстаннем нармальнага размеркавання:
1. Вызначэнне значэння Z: Значэнне Z — гэта паказчык таго, наколькі дадзеныя знаходзяцца ад сярэдняга значэння ў адзінках стандартнага адхілення, і разлічваецца па формуле:
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]
2. Выкарыстанне табліцы Z: Табліца Z або стандартная табліца нармальнага размеркавання выкарыстоўваецца для вызначэння верагоднасці або працэнта дадзеных, якія знаходзяцца ніжэй або вышэй за пэўнае значэнне Z.
Прыклады пытанняў і абмеркаванне нармальнага размеркавання
Пытанне 1
Сярэдні бал па матэматыцы ў класе складае 70 са стандартным адхіленнем 10. Калі балы па тэстах размеркаваны нармальна, які працэнт вучняў набраў больш за 85?
Абмеркаванне:
1. Вызначэнне Z-паказчыка: спачатку разлічыце Z-паказчык для X = 85.
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} = \frac{85 – 70}{10} = 1.5 \]
2. Разгляд табліцы Z: Мы шукаем значэнне верагоднасці для Z = 1.5 з табліцы Z. Значэнне верагоднасці для Z = 1.5 роўна 0.9332. Гэта азначае, што 93.32% значэнняў ніжэйшыя за Z = 1.5.
3. Разлік працэнта: Паколькі нам патрэбен працэнт студэнтаў, якія набралі больш за 85 балаў, мы вылічваем 1 – 0.9332 = 0.0668.
Такім чынам, 6.68% студэнтаў набралі больш за 85 балаў.
Пытанне 2
Рост дарослых мужчын у краіне размеркаваны па нармальным правіле са сярэднім значэннем 175 см і стандартным адхіленнем 6 см. Вызначце працэнт мужчын, рост якіх складае ад 170 см да 180 см.
Абмеркаванне:
1. Вызначце Z-паказчык для 170 см:
\[ Z_{170} = \frac{170 – 175}{6} = – \frac{5}{6} \прыблізна -0.83 \]
2. Вызначце Z-паказчык для 180 см:
\[ Z_{180} = \frac{180 – 175}{6} \прыблізна 0.83 \]
3. Глядзіце табліцу Z:
– Верагоднасць для Z = -0.83 складае 0.2033.
– Верагоднасць для Z = 0.83 складае 0.7967.
4. Разлік працэнтаў:
– Верагоднасць росту ад 170 см да 180 см складае 0.7967 – 0.2033 = 0.5934.
– Такім чынам, 59.34% мужчын маюць рост ад 170 см да 180 см.
Пытанне 3
Тэст на IQ выкарыстоўвае нармальнае размеркаванне са сярэднім значэннем 100 і стандартным адхіленнем 15. Які бал трапляе ў 85-ы перцэнтыль?
Абмеркаванне:
1. Вызначэнне значэння Z для 85-га перцэнтыля: З табліцы Z або з дапамогай калькулятара 85-ы перцэнтыль адпавядае Z = 1.04.
2. Разлік паказчыка IQ:
\[X = Z\sigma + \mu \]
\[X = 1.04 \times 15 + 100 \]
\[X = 15.6 + 100 \]
\[X = 115.6 \]
Такім чынам, паказчык IQ, які трапляе ў 85-ы перцэнтыль, складае каля 115.6.
Пытанне 4
Калі вядома, што сярэдні бал па выніках тэстаў на кагнітыўныя здольнасці вучняў старшых класаў складае 65 са стандартным адхіленнем 12, які бал знаходзіцца ў 25-м перцэнтылі?
Абмеркаванне:
1. Вызначэнне значэння Z для 25-га перцэнтыля: З табліцы Z або з дапамогай калькулятара Z для 25-га перцэнтыля складае прыблізна -0.674.
2. Падлік вынікаў тэстаў:
\[X = Z\sigma + \mu \]
\[X = -0.674 \times 12 + 65 \]
\[X = -8.088 + 65 \]
\[ X \прыблізна 56.912 \]
Такім чынам, значэнне, якое знаходзіцца ў 25-м перцэнтылі, складае каля 56.912.
Выснова
Нармальнае размеркаванне — гэта жыццёва важнае паняцце ў статыстыцы, якое дазваляе нам аналізаваць і разумець дадзеныя з пункту гледжання імавернасці. Выкарыстоўваючы падыход нармальнага размеркавання, мы можам вылічваць працэнты, вызначаць канкрэтныя значэнні на аснове перцэнтыляў і параўноўваць дадзеныя з сярэднім значэннем.
Рашэнне задач з нармальным размеркаваннем карысна не толькі для экзаменаў і акадэмічных даследаванняў, але і мае практычнае прымяненне ў многіх рэальных галінах, такіх як псіхалогія, бізнес і сацыяльныя навукі. Мы спадзяемся, што з дапамогай прыведзеных вышэй прыкладаў і абмеркаванняў вы лепш зразумееце функцыю нармальнага размеркавання і тое, як яе ўжываць у розных кантэкстах.
