Прыклады пытанняў і абмеркаванне размеркавання верагоднасцей
Размеркаванне імавернасцей — адно з фундаментальных паняццяў у статыстыцы і тэорыі імавернасцей. Яно выкарыстоўваецца для разумення імавернасці розных значэнняў выпадковага ліку. Размеркаванні імавернасцей могуць прымаць розныя формы ў залежнасці ад характару аналізаваных дадзеных. Два найбольш распаўсюджаныя тыпы размеркавання імавернасцей — гэта дыскрэтнае і бесперапыннае. У гэтым артыкуле мы разгледзім некалькі прыкладаў задач і абмяркуем размеркаванні імавернасцей, каб лепш зразумець гэтую тэму.
Дыскрэтнае размеркаванне
Дыскрэтнае размеркаванне — гэта размеркаванне, якое вылічвае імавернасць дыскрэтнай выпадковай велічыні, гэта значыць зменнай, якая можа прымаць толькі пэўныя значэнні. Вядомымі прыкладамі дыскрэтных размеркаванняў з'яўляюцца бінамінальнае размеркаванне і размеркаванне Пуасона.
Прыклад 1: Бінамінальнае размеркаванне
Бінамінальнае размеркаванне апісвае колькасць поспехаў у серыі выпрабаванняў Бернулі. Кожнае выпрабаванне Бернулі мае два вынікі: поспех або няўдачу. Верагоднасць поспеху застаецца пастаяннай на працягу ўсяго выпрабавання.
Пытанне:
Фармацэўтычная кампанія тэстуе новы прэпарат на 10 пацыентах. Верагоднасць таго, што прэпарат спрацуе ў любога пацыента, роўная 0.7. Разлічыце верагоднасць таго, што прэпарат спрацуе роўна ў 7 з 10 пацыентаў.
Абмеркаванне:
Выпадковая велічыня \(X\) мае бінамінальнае размеркаванне з \(n = 10\) і \(p = 0.7\). Бінамінавая функцыя імавернасці мае выгляд:
\[P(X = k) = \binom{n}{k} p^k (1 – p)^{n – k} \]
Для \(k = 7\):
\[ P(X = 7) = \binom{10}{7} (0.7)^7 (0.3)^3 \]
Разлік бінамінальнага каэфіцыента \(\binom{10}{7}\):
\[ \binom{10}{7} = \frac{10!}{7!(10-7)!} = \frac{10!}{7!3!} = 120 \]
Разлік значэнняў верагоднасці:
\[P(X = 7) = 120 \times (0.7)^7 \times (0.3)^3 \]
\[ P(X = 7) \прыблізна 120 \раз 0.0823543 \раз 0.027 \]
\[ P(X = 7) \прыблізна 0.231 \]
Такім чынам, верагоднасць таго, што прэпарат спрацуе роўна ў 7 з 10 пацыентаў, складае каля 0.231 або 23.1%.
Прыклад 2: Размеркаванне Пуасона
Размеркаванне Пуасона выкарыстоўваецца для мадэлявання колькасці здарэнняў рэдкай падзеі на працягу зададзенага часовага або прасторавага інтэрвалу.
Пытанне:
Крама мае ў сярэднім 4 кліентаў у гадзіну. Якая верагоднасць таго, што крама атрымае роўна 5 кліентаў за адну гадзіну?
Абмеркаванне:
Выпадковая велічыня \(X\) мае размеркаванне Пуасона з параметрам \(\lambda = 4\). Функцыя масы імавернасці Пуасона мае выгляд:
\[ P(X = k) = \frac{\lambda^ke^{-\lambda}}{k!} \]
Для \(k = 5\):
\[ P(X = 5) = \frac{4^5 e^{-4}}{5!} \]
Колькасць:
\[ P(X = 5) = \frac{1024 \cdot e^{-4}}{120} \]
\[ P(X = 5) \прыблізна \frac{1024 \cdot 0.0183}{120} \]
\[ P(X = 5) \прыблізна 0.156 \]
Такім чынам, верагоднасць таго, што крама атрымае роўна 5 кліентаў за адну гадзіну, складае каля 0.156, або 15.6%.
Бесперапыннае размеркаванне
Бесперапынныя размеркаванні выкарыстоўваюцца, калі вымяраемая выпадковая велічыня можа прымаць любое значэнне ў пэўным дыяпазоне. Вядомымі прыкладамі бесперапынных размеркаванняў з'яўляюцца нармальнае размеркаванне і экспанентнае размеркаванне.
Прыклад 3: Нармальнае размеркаванне
Нармальнае размеркаванне, якое часта называюць гаўсавым размеркаваннем, — гэта размеркаванне, якое звычайна выкарыстоўваецца ў розных галінах, у тым ліку ў навуцы, тэхніцы і эканоміцы.
Пытанне:
Рост дарослых мужчын у горадзе звычайна размеркаваны з сярэднім значэннем 170 см і стандартным адхіленнем 10 см. Якая верагоднасць таго, што выпадкова абраны мужчына мае рост ад 160 см да 180 см?
Абмеркаванне:
Нам трэба вылічыць z-паказчык для 160 см і 180 см. Z-паказчык вызначаецца як:
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]
Для \(X = 160\):
\[ Z_{160} = \frac{160 – 170}{10} = -1 \]
Для \(X = 180\):
\[ Z_{180} = \frac{180 – 170}{10} = 1 \]
Цяпер нам трэба паглядзець на значэнні верагоднасці ад -1 да 1 у табліцы z. Значэнне ад z = -1 да z = 1 прыблізна роўна 0.6826.
Такім чынам, верагоднасць таго, што выпадкова абраны мужчына мае рост ад 160 см да 180 см, складае прыблізна 0.6826 або 68.26%.
Прыклад 4: Экспанентнае размеркаванне
Экспанентнае размеркаванне выкарыстоўваецца для мадэлявання часу паміж падзеямі ў працэсе Пуасона.
Пытанне:
Сярэдні час паміж двума прыходамі кліентаў у краму складае 15 хвілін. Якая верагоднасць таго, што час паміж двума прыходамі кліентаў будзе меншым за 10 хвілін?
Абмеркаванне:
Экспанентнае размеркаванне мае параметр \(\lambda\), які з'яўляецца адваротным да сярэдняга значэння (\(\mu\)). Пры сярэднім значэнні 15 хвілін:
\[ \lambda = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{15} = 0.0667 \]
Экспанентная кумулятыўная функцыя размеркавання мае выгляд:
P(X ≤ x) = 1 – e^{-\lambdax}]
Для \(x = 10\):
P(X ≤ 10) = 1 – e⁻⁶ ⋅ 10⁻⁷
\[P(X ≤ 10) = 1 – e^{-0.667} \]
\[P(X ≤ 10) \прыблізна 1 – 0.5134 \]
\[P(X ≤ 10) \прыблізна 0.4866 \]
Такім чынам, верагоднасць таго, што час паміж двума прыбыццямі кліентаў будзе меншым за 10 хвілін, складае каля 0.4866 або 48.66%.
Выснова
Размеркаванні імавернасцей, як дыскрэтныя, так і бесперапынныя, з'яўляюцца вельмі карыснымі паняццямі для мадэлявання і разумення паводзін выпадковых велічынь. Бінамінальнае і пуасонаўскае размеркаванні часта выкарыстоўваюцца для дыскрэтных велічынь, у той час як нармальнае і экспанентнае размеркаванні з'яўляюцца прыкладамі бесперапынных размеркаванняў.
Спадзяемся, што дзякуючы прыведзеным вышэй прыкладам вы лепш зразумелі, як вылічваць і інтэрпрэтаваць імавернасці ў размеркаваннях імавернасцей. Пры паслядоўнай практыцы ваша здольнасць разумець размеркаванні імавернасцей палепшыцца і можа быць ужыта ў розных дысцыплінах.
