Прыклад дыскусійнага пытання па нармальным размеркаванні
Нармальнае размеркаванне, таксама вядомае як размеркаванне Гаўса, з'яўляецца найбольш распаўсюджаным размеркаваннем імавернасцей у статыстыцы. Гэта размеркаванне мае сіметрычную форму звана, што паказвае на тое, што дадзеныя размешчаны вакол сярэдняга значэння, а верагоднасць экстрэмальных значэнняў (значэнняў, далёкіх ад сярэдняга) нізкая.
У гэтым артыкуле мы абмяркуем розныя прыклады задач, звязаных з нармальным размеркаваннем, і спосабы іх рашэння. Мы пачнем з увядзення некаторых асноўных паняццяў, а затым пяройдзем да больш складаных прыкладаў.
Асновы нармальнага размеркавання
Нармальнае размеркаванне — гэта бесперапыннае размеркаванне з двума параметрамі: сярэднім значэннем і стандартным адхіленнем (SD). Сярэдняе значэнне вызначае цэнтр размеркавання, а стандартнае адхіленне вызначае шырыню размеркавання.
Важныя характарыстыкі нармальнага размеркавання:
1. Сіметрыя: нармальнае размеркаванне сіметрычнае адносна сярэдняга значэння.
2. Эмпірычнае правіла (Эмпірычнае правіла):
– Каля 68% дадзеных знаходзяцца ў межах аднаго стандартнага адхілення ад сярэдняга значэння.
– Прыкладна 95% дадзеных знаходзяцца ў межах двух стандартных адхіленняў ад сярэдняга значэння.
– Прыблізна 99.7% дадзеных знаходзяцца ў межах трох стандартных адхіленняў ад сярэдняга значэння.
Прыклады пытанняў і абмеркаванне
Прыклад пытання 1: Разлік Z-паказчыка
Пытанне: Сярэдні бал на экзамене складае 70 са стандартным адхіленнем 10. Студэнт атрымлівае 80 балаў. Які Z-бал студэнта?
Рашэнне:
Z-паказчык — гэта паказчык таго, на колькі стандартных адхіленняў значэнне адрозніваецца ад сярэдняга значэння.
Формула Z-балу:
\[ Z = \frac{X – \mu}{\sigma} \]
Дзе:
– \(X \) — назіранае значэнне.
– \( \mu \) — сярэдняе значэнне.
– \( \sigma \) — стандартнае адхіленне.
Вядома:
– \(X = 80 \)
– \( \mu = 70 \)
– \( \сігма = 10 \)
Ужыванне формулы:
\[ Z = \frac{80 – 70}{10} = 1 \]
Такім чынам, Z-бал студэнта роўны 1, што азначае, што бал 80 на адно стандартнае адхіленне вышэй за сярэдняе значэнне.
Прыклад пытання 2: Верагоднасць пэўнага значэння
Пытанне: У нармальным размеркаванні з сярэднім значэннем 100 і стандартным адхіленнем 15, якая верагоднасць знайсці значэнне ніжэйшае за 85?
Рашэнне:
Крокі:
1. Разлічыце Z-паказчык для значэння (X = 85):
\[ Z = \frac{85 – 100}{15} = \frac{-15}{15} = -1 \]
2. Выкарыстайце Z-табліцу або статыстычны калькулятар, каб знайсці імавернасць, якая адпавядае Z-паказчыку -1. У Z-табліцы імавернасць Z-паказчыка -1 складае прыблізна 0.1587.
Такім чынам, верагоднасць знайсці значэнне ніжэй за 85 складае 0.1587 або 15.87%.
Прыклад пытання 3: Выкарыстанне эмпірычных правілаў
Пытанне: Вядома, што размеркаванне вынікаў тэстаў па матэматыцы ў школах адпавядае нармальнаму размеркаванню са сярэднім значэннем 75 і стандартным адхіленнем 8. Якая доля вучняў набрала ад 67 да 83 балаў?
Рашэнне:
Лангках-лангках:
1. Разлічыце Z-паказчык для значэнняў 67 і 83:
\[ Z_{67} = \frac{67 – 75}{8} = \frac{-8}{8} = -1 \]
\[ Z_{83} = \frac{83 – 75}{8} = \frac{8}{8} = 1 \]
2. Згодна з эмпірычнымі правіламі, значэнні паміж -1 стандартным адхіленнем і +1 стандартным адхіленнем ад сярэдняга значэння ахопліваюць каля 68% папуляцыі.
Такім чынам, доля студэнтаў, якія набралі ад 67 да 83 балаў, складала каля 68%.
Прыклад пытання 4: Вылічэнне значэнняў з перцэнтыляў
Пытанне: Калі сярэдні рост дарослых мужчын у краіне складае 175 см са стандартным адхіленнем 7 см, які рост знаходзіцца на 90-м перцэнтылі?
Рашэнне:
Лангках-лангках:
1. Знайдзіце Z-паказчык, які адпавядае 90-му перцэнтылю. Згодна з Z-табліцай, Z-паказчык, бліжэйшы да 0.9000, роўны прыблізна 1.28.
2. Выкарыстайце формулу для вылічэння значэння \(X \):
X = \mu + Z множаныя на \sigma
\[X = 175 + 1.28 \times 7 \]
\[X = 175 + 8.96 \]
\[X = 183.96 \]
Такім чынам, рост у 90-м перцэнтылі складае каля 183.96 см.
Прыклад пытання 5: Верагоднасць пэўнага інтэрвалу
Пытанне: Улічваючы, што размеркаванне вагі нованароджаных адпавядае нармальнаму размеркаванню са сярэднім значэннем 3.5 кг і стандартным адхіленнем 0.5 кг, якая верагоднасць таго, што дзіця важыць ад 3 да 4 кг?
Рашэнне:
Лангках-лангках:
1. Разлічыце Z-паказчык для значэнняў 3 кг і 4 кг:
\[ Z_{3} = \frac{3 – 3.5}{0.5} = \frac{-0.5}{0.5} = -1 \]
\[ Z_{4} = \frac{4 – 3.5}{0.5} = \frac{0.5}{0.5} = 1 \]
2. Верагоднасць Z-паказчыка паміж -1 і 1, згодна з табліцай Z, складае прыблізна 0.6826 або 68.26%.
Такім чынам, верагоднасць нараджэння дзіцяці вагой ад 3 да 4 кг складае каля 68.26%.
Выснова
Нармальнае размеркаванне — гэта фундаментальнае паняцце статыстыкі, якое мае вырашальнае значэнне і шмат рэальных ужыванняў. У гэтым артыкуле мы растлумачылі асноўныя паняцці нармальнага размеркавання і вырашылі некалькі прыкладаў, каб паглыбіць наша разуменне.
Разуменне нармальнага размеркавання важна не толькі для статыстыкі, але і для розных практычных абласцей, такіх як псіхалогія, эканоміка і іншыя сацыяльныя навукі. Пры дастатковай практыцы рашэнне задач нармальнага размеркавання можа стаць больш інтуітыўна зразумелым і дапамагчы ў прыняцці рашэнняў на аснове дадзеных.
