Прыклад дыскусійнага пытання па дугах акружнасці
У геаметрыі акружнасць — гэта плоская фігура з мноствам цікавых для вывучэння паняццяў, адным з якіх з'яўляецца дуга. Дуга — гэта частка краю акружнасці, якая ляжыць паміж двума кропкамі на акружнасці. У гэтым артыкуле мы разгледзім розныя прыклады задач і іх рашэнні, звязаныя з дугамі.
Асноўнае разуменне дуг акружнасці
Перш чым перайсці да прыкладаў пытанняў, важна спачатку зразумець некаторыя асноўныя паняцці:
1. Круг:
Акружнасць — гэта сукупнасць усіх кропак плоскасці, якія знаходзяцца на роўнай адлегласці ад дадзенага цэнтральнага пункта.
2. Радыус (пальцы):
Радыус — гэта адлегласць ад цэнтра акружнасці да любой кропкі на краі акружнасці.
3. Дыяметр:
Дыяметр — гэта найбольшая адлегласць ад адной кропкі на краі акружнасці да іншай кропкі на процілеглым баку, якая праходзіць праз цэнтр. Дыяметр удвая большы за радыус.
4. Лук:
Дуга — гэта частка рабра акружнасці. Калі пункты A і B ляжаць на рабры акружнасці, то дуга AB — гэта частка акружнасці паміж A і B.
Формулы, звязаныя з дугамі акружнасцей
Каб вымераць даўжыню дугі, нам трэба зразумець некалькі формул:
1. Даўжыня дугі (L):
Даўжыня дугі акружнасці — гэта даўжыня рабра акружнасці, якое ўключае дугу. Формула мае выгляд:
\[
L = r × θ
\]
дзе \(r \) — радыус акружнасці, а \( \theta \) — цэнтральны вугал у радыянах, які перасякае дугу.
2. Даўжыня дугі ў градусах:
Калі цэнтральны вугал выражаны ў градусах, мы выкарыстоўваем формулу:
\[
L = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2\pi r
\]
дзе \( \theta \) — цэнтральны вугал у градусах.
Прыклады пытанняў і абмеркаванне
Пытанне 1: Разлік даўжыні дугі
Пытанне:
Радыус акружнасці роўны 10 см. Вылічыце даўжыню дугі, апярэджанай цэнтральным вуглом 60 градусаў.
Абмеркаванне:
– Радыус акружнасці (\(r \)) = 10 см
– Цэнтральны вугал (\( \theta \)) = 60°
Выкарыстоўваючы формулу даўжыні дугі ў градусах:
\[
L = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2 \pi r
\]
\[
L = \frac{60^\circ}{360^\circ} \times 2 \pi \times 10 \text{ см}
\]
\[
L = 1/6 × 2 π × 10 см
\]
\[
L = \frac{20\pi}{6} \text{ см}
\]
\[
Д \прыблізна 10.47 \тэкст{ см}
\]
Такім чынам, даўжыня дугі складае каля 10.47 см.
Пытанне 2: Вызначэнне цэнтральнага вугла па даўжыні дугі
Пытанне:
Дадзена акружнасць з радыусам 14 см, якая мае даўжыню дугі 22 см. Вызначце цэнтральны вугал, які перасякае дугу, у градусах.
Абмеркаванне:
– Радыус акружнасці (\(r \)) = 14 см
– Даўжыня дугі (\( L \)) = 22 см
Выкарыстайце формулу даўжыні дугі, каб знайсці \( \theta \):
\[
L = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2 \pi r
\]
Падстаўце вядомыя значэнні:
\[
22 = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2 \pi \times 14
\]
Ізаляцыя (θ):
\[
22 = \frac{\theta}{360^\circ} \times 28 \pi
\]
\[
22 памножаныя на 360° = θ памножаныя на 28° пі
\]
\[
7920 = θ памножанае на 28 пі
\]
\[
\theta = \frac{7920}{28 \pi}
\]
\[
\theta \прыблізна 90.72^\circ
\]
Такім чынам, памер цэнтральнага вугла складае каля 90.72 градуса.
Пытанне 3: Вылічэнне плошчы сектара
Пытанне:
Сектар круга ўтвораны цэнтральным вуглом 120 градусаў з радыусам 7 см. Вызначце плошчу сектара.
Абмеркаванне:
– Радыус акружнасці (\(r \)) = 7 см
– Цэнтральны вугал (\( \theta \)) = 120°
Выкарыстоўваем формулу для вызначэння плошчы сектара:
\[
A = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2
\]
Падстаўце вядомыя значэнні:
\[
A = 120°C (360°C) × π⁻²
\]
\[
A = 1/3 × π × 49
\]
\[
A = \frac{49\pi}{3}
\]
\[
A \прыблізна 51.43 \text{ см}^2
\]
Такім чынам, плошча сектара складае прыблізна 51.43 см².
Пытанне 4: Вызначэнне дугі па плошчы сектара
Пытанне:
Плошча сектара круга з радыусам 6 см роўная 18π см². Якая даўжыня дугі сектара?
Абмеркаванне:
– Радыус акружнасці (\(r \)) = 6 см
– Плошча сектара (\( A \)) = 18π см²
Выкарыстайце формулу плошчы сектара, каб знайсці цэнтральны вугал \( \theta \):
\[
A = \frac{\theta}{360^\circ} \times \pi r^2
\]
Падстаўце вядомыя значэнні:
\[
18\пі = \frac{\theta}{360^\circ} \times \пі \times 6^2
\]
\[
18\пі = \frac{\theta}{360^\circ} \times 36\pi
\]
\[
18 = \frac{\theta}{360^\circ} \times 36
\]
\[
18 памножана на 360^\цыркуляцыя = \theta памножана на 36
\]
\[
6480 = θ памножанае на 36
\]
\[
\theta = \frac{6480}{36}
\]
\[
\theta = 180^\circ
\]
Цяпер, маючы цэнтральны вугал 180 градусаў, вызначаем даўжыню дугі:
\[
L = \frac{\theta}{360^\circ} \times 2 \pi r
\]
\[
L = 180°C (360°C) × 2π × 6
\]
\[
L = 1/2 × 2 π × 6
\]
\[
L = π × 6
\]
\[
Д \прыблізна 18.85 \тэкст{ см}
\]
Такім чынам, даўжыня лука складае каля 18.85 см.
Выснова
Разуменне дуг акружнасці і спосабаў іх вылічэння з'яўляецца важнай асновай геаметрыі і матэматыкі ў цэлым. Дзякуючы прыкладам, разгледжаным у гэтым артыкуле, чытачы павінны лепш зразумець, як вылічыць даўжыню дугі, плошчу сектара і вызначыць цэнтральны вугал, які перасякае дугу. Добрае разуменне гэтых асноўных паняццяў будзе вельмі карысным пры вырашэнні розных задач, звязаных з акружнасцю.
