Прыклады пытанняў па абмеркаванні паслядоўнасцей і радоў
Паслядоўнасці і шэрагі — гэта фундаментальныя паняцці матэматыкі, з якімі часта сустракаюцца ад пачатковай школы да каледжа. Паслядоўнасць — гэта набор лікаў, размешчаных па пэўным правіле, а шэраг — гэта сума членаў гэтай паслядоўнасці. У гэтым артыкуле мы разгледзім некалькі прыкладаў задач і абмяркуем паслядоўнасці і шэрагі.
Прыклад 1: Арыфметычная паслядоўнасць
Пытанне:
Дадзена арыфметычная паслядоўнасць, першы член якой (a) = 3, а рознасць (d) = 5. Вызначце:
1. Дзесяты член паслядоўнасці.
2. Сума першых 20 членаў паслядоўнасці.
Абмеркаванне:
1. 10-ы тэрмін
Формула для n-га члена арыфметычнай паслядоўнасці выглядае наступным чынам:
\[
U_n = a + (n-1)d
\]
За 10-ы семестр (U_10):
\[
U_{10} = 3 + (10-1) \cdot 5 = 3 + 45 = 48
\]
2. Сума першых 20 членаў
Формула для сумы першых n членаў (S_n) арыфметычнай паслядоўнасці мае выгляд:
\[
S_n = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d)
\]
Для сумы першых 20 членаў (S_20):
\[
S_{20} = \frac{20}{2} (2 \cdot 3 + (20-1) \cdot 5) = 10 (6 + 95) = 10 \cdot 101 = 1010
\]
Прыклад 2: Геаметрычны шэраг
Пытанне:
Дадзена геаметрычная паслядоўнасць з першым членам (a) = 4 і суадносінамі (r) = 2. Вызначце:
1. Дзесяты член паслядоўнасці.
2. Сума першых 8 членаў паслядоўнасці.
Абмеркаванне:
1. 6-ы тэрмін
Формула для n-га члена геаметрычнай паслядоўнасці выглядае наступным чынам:
\[
U_n = a \cdot r^{(n-1)}
\]
За 6-ы семестр (U_6):
\[
U_{6} = 4 \cdot 2^{(6-1)} = 4 \cdot 2^5 = 4 \cdot 32 = 128
\]
2. Сума першых 8 членаў
Формула для сумы першых n членаў (S_n) геаметрычнай паслядоўнасці мае выгляд:
\[
S_n = a \frac{r^n – 1}{r – 1}
\]
Для сумы першых 8 членаў (S_8):
\[
S_{8} = 4 \frac{2^8 – 1}{2 – 1} = 4 \frac{256 – 1}{1} = 4 \cdot 255 = 1020
\]
Прыклад 3: Збежны геаметрычны бясконцы шэраг
Пытанне:
Дадзены геаметрычны рад з першым членам (a) = 1 і суадносінамі (r) = 1/2. Вызначце суму бясконцага рада.
Абмеркаванне:
Формула для сумы бясконцага шэрагу (S_∞) збежнага геаметрычнага шэрагу мае выгляд:
\[
S_{\infty} = \frac{a}{1 – r}
\]
Такім чынам, для гэтай серыі:
\[
S_{\infty} = \frac{1}{1 – \frac{1}{2}} = \frac{1}{\frac{1}{2}} = 2
\]
Прыклад 4: Паслядоўнасці і шэрагі квадратных лікаў
Пытанне:
Дадзена паслядоўнасць квадратных лікаў, у якой першы член (U_1) = 1, другі член (U_2) = 4 і трэці член (U_3) = 9. Вызначце 5-ы член паслядоўнасці. Ці з'яўляецца гэтая паслядоўнасць арыфметычнай ці геаметрычнай? Растлумачце.
Абмеркаванне:
1. 5-ы тэрмін
Заканамернасць паслядоўнасці квадратных лікаў выглядае наступным чынам:
\[
U_n = n^2
\]
За 5-ы семестр (U_5):
\[
U_{5} = 5^2 = 25
\]
2. Тып лініі
Каб праверыць, ці з'яўляецца гэтая паслядоўнасць арыфметычнай ці геаметрычнай, праверце рознасць паміж членамі (агульную рознасць) і суадносіны паміж членамі:
– Розніца паміж тэрмінамі (d):
\[
U_2 – U_1 = 4 – 1 = 3 \\
U_3 – U_2 = 9 – 4 = 5
\]
Паколькі рознасць не з'яўляецца пастаяннай, гэтая паслядоўнасць не з'яўляецца арыфметычнай.
– Міжпляменнае суадносіны (r):
\[
\frac{U_2}{U_1} = \frac{4}{1} = 4 \\
\frac{U_3}{U_2} = \frac{9}{4} = 2.25
\]
Паколькі суадносіны паміж членамі не з'яўляюцца пастаяннымі, гэтая паслядоўнасць не з'яўляецца геаметрычнай.
Такім чынам, гэтая паслядоўнасць квадратных лікаў не з'яўляецца ні арыфметычнай, ні геаметрычнай паслядоўнасцю, а хутчэй спецыяльнай паслядоўнасцю, якая адпавядае шаблону квадратных лікаў.
Прыклад 5: бясконцы арыфметычны шэраг
Пытанне:
Ці можна вылічыць суму бясконцага арыфметычнага шэрагу? Калі так, прывядзіце прыклад. Калі не, растлумачце чаму.
Абмеркаванне:
У адрозненне ад геаметрычных шэрагаў, бясконцыя арыфметычныя шэрагі звычайна не маюць канечнай сумы. Гэта таму, што кожны член лінейна павялічваецца або памяншаецца, таму сума працягвае расці бясконца.
Напрыклад, разгледзім бясконцы арыфметычны шэраг з першым членам 1 і агульнай рознасцю 1:
\[
1 + 2 + 3 + 4 + \ldots
\]
Калі паспрабаваць іх падсумаваць, стане зразумела, што рад не будзе збягацца да фіксаванага значэння, а будзе набліжацца да бясконцасці. Такім чынам, сума бясконцага арыфметычнага рада, увогуле, бясконцая і не можа быць вылічана як збежны геаметрычны рад.
-
У гэтым артыкуле мы разгледзелі некалькі прыкладаў задач і абмеркавалі паслядоўнасці і шэрагі. Мы разгледзелі арыфметычныя і геаметрычныя паслядоўнасці, паглядзелі, як вылічыць n-ы член і суму іх першых членаў, а таксама адказалі на пытанні пра бясконцыя шэрагі. Разумеючы гэтыя асноўныя паняцці і прыклады, мы спадзяемся, што вы будзеце адчуваць сябе больш упэўнена пры вывучэнні паслядоўнасцей і шэрагаў у матэматыцы.
