Прыклады пытанняў па абмеркаванні правіла складання двух выключных падзей A і B
У тэорыі імавернасцей правіла сумы двух падзей з'яўляецца адным з фундаментальных прынцыпаў, якія выкарыстоўваюцца для вылічэння імавернасці некалькіх падзей. Гэта паняцце часта ўжываецца ў розных сітуацыях для разумення магчымых зыходаў пэўных падзей. У гэтым артыкуле мы абмяркуем правіла сумы двух узаемавыключальных падзей і прывядзем прыклады для тлумачэння гэтага паняцця.
Правіла складання двух узаемавыключальных падзей
Перш за ўсё, важна зразумець, што маецца на ўвазе пад узаемавыключальнымі падзеямі. Дзве падзеі называюцца неперасякальнымі або ўзаемавыключальнымі, калі яны не могуць адбыцца адначасова. Іншымі словамі, ні адзін элемент у мностве адной падзеі не з'яўляецца адначасова элементам у мностве іншай падзеі.
Правіла складання ў тэорыі імавернасцей сцвярджае, што калі дзве падзеі \(A\) і \(B\) узаемавыключальныя, то імавернасць любой з гэтых падзей \(A\) або \(B\) роўная суме імавернасцей гэтых дзвюх падзей. Матэматычна гэтае правіла можна выразіць наступным чынам:
\[P(A \cup B) = P(A) + P(B) \]
дзе (P(A + B)) — імавернасць падзеі (A) або (B), (P(A)) — імавернасць падзеі (A), а (P(B)) — імавернасць падзеі (B).
Прыклады пытанняў для абмеркавання
Давайце абмяркуем некалькі прыкладаў, каб удакладніць прымяненне правіла складання двух узаемавыключальных падзей.
Прыклад пытання 1
Пытанне:
Шасцігранны кубік кінуты адзін раз. Знайдзіце верагоднасць таго, што ў выніку выпадзе лік 2 або 4.
Абмеркаванне:
Мы можам вызначыць падзею \(A\) як з'яўленне значэння 2, а падзею \(B\) як з'яўленне значэння 4. Такім чынам:
– \(P(A)\) — імавернасць з'яўлення значэння 2.
– \(P(B)\) — імавернасць з'яўлення значэння 4.
Паколькі ў кубіка шэсць аднолькава верагодных граняў, верагоднасць выпадзення пэўнага значэння роўная \( \frac{1}{6} \). Такім чынам:
\[ P(A) = \frac{1}{6} \]
\[ P(B) = \frac{1}{6} \]
Падзеі \(A\) і \(B\) узаемавыключальныя, бо значэнні 2 і 4 не могуць з'явіцца адначасова ў адным кіданні кубіка. Такім чынам, выкарыстоўваючы правіла складання для дзвюх узаемавыключальных падзей:
P(A + B) = P(A) + P(B) = 1/6 + 1/6 = 2/6 = 1/3
Такім чынам, верагоднасць таго, што з'явіцца значэнне 2 або 4, складае \( \frac{1}{3} \) або каля 33.33%.
Прыклад пытання 2
Пытанне:
У мяшку ляжыць 10 шарыкаў, з якіх 4 чырвоныя і 6 сінія. Калі выпадковым чынам выбраць адзін шарык, якая верагоднасць таго, што выцягнуты шарык будзе чырвоным або сінім?
Абмеркаванне:
Мы можам вызначыць падзею \(A\) як узяцце чырвонага шара, а падзею \(B\) як узяцце сіняга шара. Такім чынам:
– \(P(A)\) — верагоднасць выцягвання чырвонага шара.
– \(P(B)\) — верагоднасць выцягвання сіняга шарыка.
Верагоднасць кожнай падзеі можна вылічыць наступным чынам:
\[ P(A) = \frac{\text{Колькасць чырвоных шарыкаў}}{\text{Агульная колькасць шарыкаў}} = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} \]
\[ P(B) = \frac{\text{Колькасць сініх шарыкаў}}{\text{Агульная колькасць шарыкаў}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5} \]
Падзеі \(A\) і \(B\) узаемавыключальныя, бо шар не можа быць адначасова чырвоным і сінім. Такім чынам, выкарыстоўваючы правіла складання для дзвюх узаемавыключальных падзей:
\[ P(A + B) = P(A) + P(B) = \frac{2}{5} + \frac{3}{5} = 1 \]
Такім чынам, верагоднасць таго, што выцягнуты шарык будзе чырвоным або сінім, роўная 1, або 100%. Гэта мае сэнс, бо ўсе шарыкі ў мяшку чырвоныя або сінія.
Прыклад пытання 3
Пытанне:
У класе 20 вучняў, 7 з якіх любяць матэматыку, 5 — прыродазнаўчыя навукі, і ніводнага, хто б любіў абодва прадметы. Калі выпадковым чынам выбраць аднаго вучня, знайсці верагоднасць таго, што яму спадабаецца альбо матэматыка, альбо прыродазнаўчыя навукі.
Абмеркаванне:
Мы можам вызначыць падзею \(A\) як спадабанне матэматыкі, а падзею \(B\) як спадабанне навукі. Такім чынам:
– \(P(A)\) — верагоднасць таго, што студэнту падабаецца матэматыка.
– \(P(B)\) — верагоднасць таго, што студэнту падабаецца навука.
Верагоднасць кожнай падзеі можна вылічыць наступным чынам:
\[ P(A) = \frac{\text{Колькасць студэнтаў, якія любяць матэматыку}}{\text{Агульная колькасць студэнтаў}} = \frac{7}{20} \]
\[ P(B) = \frac{\text{Колькасць студэнтаў, якія любяць навуку}}{\text{Агульная колькасць студэнтаў}} = \frac{5}{20} = \frac{1}{4} \]
Падзеі \(A\) і \(B\) узаемавыключальныя, бо ніводнаму вучню не падабаюцца абедзве з іх. Такім чынам, выкарыстоўваючы правіла складання для дзвюх узаемавыключальных падзей:
P(A + B) = P(A) + P(B) = 7/20 + 5/20 = 12/20 = 3/5
Такім чынам, верагоднасць таго, што выпадкова абраны студэнт любіць матэматыку або прыродазнаўчыя навукі, складае \( \frac{3}{5} \) або 60%.
Выснова
Правіла складання двух узаемавыключальных падзей — гэта фундаментальная канцэпцыя тэорыі імавернасцей, якая спрашчае вылічэнне імавернасці сумеснай падзеі. У прыведзеных вышэй прыкладах мы ўбачылі, што гэты прынцып можна прымяніць да рэальных сітуацый, такіх як кіданне кубікаў, выцягванне шарыкаў з мяшка або выбар вучняў з класа. Зразумеўшы і авалодаўшы гэтай канцэпцыяй, мы можам больш эфектыўна вылічваць імавернасці розных узаемавыключальных падзей у паўсядзённым жыцці.
