Прымяненне вытворных у розных галінах навукі
Вытворная — гэта фундаментальнае паняцце ў вылічэнні, уведзенае сэрам Ісаакам Ньютанам і Готфрыдам Вільгельмам Лейбніцам у канцы 17 стагоддзя. У матэматыцы вытворная ўяўляе сабой хуткасць змены функцыі адносна адной з яе зменных. Гэта паняцце з'яўляецца не толькі фундаментальным для самой матэматыкі, але і мае шырокае прымяненне ў розных іншых галінах навукі. У гэтым артыкуле будуць абмеркаваны розныя прымяненні вытворных у розных дысцыплінах, ад фізікі і эканомікі да біялогіі і інжынерыі і інфарматыкі.
1. Фізіка
Вытворныя вельмі важныя ў фізіцы, асабліва ў класічнай механіцы. Адзін з самых асноўных прыкладаў — гэта сувязь паміж становішчам, хуткасцю і паскарэннем. Калі s(t) — гэта становішча аб'екта як функцыя часу, то:
– Хуткасць (\(v(t) \)) — гэта першая вытворная ад становішча адносна часу: \(v(t) = \frac{ds(t)}{dt} \).
– Паскарэнне (\(a(t) \)) — гэта першая вытворная хуткасці або другая вытворная становішча адносна часу: \(a(t) = \frac{dv(t)}{dt} = \frac{d^2s(t)}{dt^2} \).
Акрамя таго, у электрамагнетызме закон электрамагнітнай індукцыі Фарадэя сцвярджае, што электрарухаючая сіла (ЭРС), індуцыраваная ў ланцугу, з'яўляецца вытворнай магнітнага патоку адносна часу.
2. Эканоміка
У эканоміцы вытворныя фінансавыя інструменты выкарыстоўваюцца для аналізу змяненняў у функцыях выдаткаў, даходу і вытворчасці. Напрыклад:
– Гранічныя выдаткі (маржынальныя выдаткі Біая) — гэта вытворная функцыі агульных выдаткаў адносна аб'ёму прадукцыі, якая паказвае, як змяняюцца агульныя выдаткі па меры павелічэння вытворчасці: \(MC = \frac{dTC}{dQ} \).
– Гранічны даход (Marginal Revenue) — гэта вытворная функцыі агульнага даходу адносна аб'ёму выпуску, якая апісвае дадатковы даход пры павелічэнні продажаў: \( MR = \frac{dTR}{dQ} \).
Яшчэ адно важнае прымяненне — тэорыя карыснасці. Функцыя карыснасці апісвае задавальненне або карыснасць, атрыманую ад спажывання тавараў і паслуг. Першая вытворная функцыі карыснасці называецца гранічнай карыснасцю і паказвае дадатковае задавальненне, атрыманае ад спажывання дадатковай адзінкі тавару або паслугі.
3. Біялогія
У біялогіі вытворныя выкарыстоўваюцца для мадэлявання розных дынамічных працэсаў. Напрыклад, у экалогіі мадэлі росту папуляцыі часта выкарыстоўваюць вытворныя для апісання тэмпаў росту папуляцыі. Экспанентная і лагістычная мадэлі росту — два распаўсюджаныя прыклады:
– Мадэль экспанентнага росту: \( \frac{dN}{dt} = rN \), дзе \( N \) — памер папуляцыі, а \( r \) — унутраны тэмп росту.
– Лагістычная мадэль росту: \( \frac{dN}{dt} = rN \left( 1 – \frac{N}{K} \right) \), дзе \(K \) — ёмістасць навакольнага асяроддзя, а \( \left( 1 – \frac{N}{K} \right) \) — каэфіцыент памяншэння, які зніжае тэмпы росту па меры набліжэння да ёмістасці навакольнага асяроддзя.
У фізіялогіі вытворныя выкарыстоўваюцца для мадэлявання фізіялагічных працэсаў, такіх як крывацёк і перадача нервовых сігналаў. Напрыклад, закон Дарсі для крывацёку ў крывяносных сасудах выкарыстоўвае вытворныя для апісання змяненняў крывянага ціску ўздоўж сасуда.
4. Тэхніка
Вытворныя таксама вельмі важныя ў розных галінах інжынерыі. У грамадзянскім будаўніцтве і механіцы вытворныя выкарыстоўваюцца ў структурным аналізе і механіцы вадкасцей. Напрыклад:
– У структурным аналізе для вызначэння дэфармацый і напружанняў у канструкцыях выкарыстоўваецца метад канчатковых элементаў. Вытворная функцыі перамяшчэння дае дэфармацыю, а вытворная дэфармацыі — напружанне.
– У механіцы вадкасці ўраўненні Нав'е-Стокса апісваюць паток вадкасці. Гэтыя ўраўненні з'яўляюцца дыферэнцыяльнымі ўраўненнямі, якія ўключаюць частковыя вытворныя хуткасці вадкасці адносна часу і прасторы.
У электратэхніцы вытворныя выкарыстоўваюцца пры аналізе электрычных ланцугоў. Законы Кірхгофа і тэорыя сетак часта ўключаюць вытворныя для апісання сувязі паміж токам, напружаннем і індуктыўнасцю ў электрычных ланцугах.
5. Інфарматыка
У інфарматыцы вытворныя выкарыстоўваюцца ў аптымізацыі і машынным навучанні. Адно з асноўных прымяненняў — у алгарытмах аптымізацыі, такіх як градыентны спуск. Гэты алгарытм выкарыстоўваецца для мінімізацыі функцыі кошту ў працэсе навучання мадэлі машыннага навучання:
– Градыент — гэта вектар першай вытворнай функцыі выдаткаў адносна параметраў мадэлі, які паказвае кірунак найбольшай змены.
– Градыентны спуск — гэта ітэрацыйны працэс, які выкарыстоўвае градыенты для абнаўлення параметраў мадэлі ў напрамку мінімуму функцыі выдаткаў.
Акрамя таго, у камп'ютэрнай графіцы вытворныя выкарыстоўваюцца для маніпулявання асвятленнем і ценямі. Закон Ламберта і мадэль асвятлення Фонга выкарыстоўваюць вытворныя для разліку інтэнсіўнасці святла, адлюстраванага ад паверхні, на якую ўздзейнічае крыніца святла.
6. Хімія
У хіміі вытворныя выкарыстоўваюцца ў кінетыцы рэакцый для апісання хуткасці хімічнай рэакцыі. Хуткасць рэакцыі звычайна выражаецца як вытворная канцэнтрацыі рэагента або прадукту па часе. Напрыклад, для першай рэакцыі:
\[ \text{Рэагенты} \rightarrow \text{Прадукты} \]
Хуткасць рэакцыі (r(t)) можна выразіць як:
\[ r(t) = – \frac{d[\text{Рэагент}]}{dt} = \frac{d[\text{Прадукт}]}{dt} \]
Акрамя таго, вытворныя выкарыстоўваюцца ў тэрмадынаміцы для аналізу змяненняў энергіі ў сістэме. Напрыклад, свабодная энергія Гібса (G) — гэта тэрмадынамічная функцыя, якая часта выкарыстоўваецца для прагназавання кірунку хімічных рэакцый, а першая вытворная G адносна ступеней свабоды сістэмы дае інфармацыю пра стан тэрмадынамічнай раўнавагі.
Выснова
З прыведзенага вышэй тлумачэння відавочна, што канцэпцыя вытворных мае шырокае прымяненне ў розных навуковых галінах. У фізіцы вытворныя апісваюць фундаментальную сувязь паміж становішчам, хуткасцю і паскарэннем. У эканоміцы вытворныя выкарыстоўваюцца для аналізу гранічных выдаткаў і даходаў. У біялогіі вытворныя дапамагаюць мадэляваць рост насельніцтва і фізіялагічныя працэсы. У інжынерыі вытворныя маюць важнае значэнне ў структурным аналізе і механіцы вадкасцей. Інфарматыка выкарыстоўвае вытворныя ў алгарытмах аптымізацыі і машынным навучанні. У хіміі вытворныя выкарыстоўваюцца ў кінетыцы рэакцый і тэрмадынаміцы. Такім чынам, разуменне і засваенне канцэпцыі вытворных мае вырашальнае значэнне для навукоўцаў і інжынераў розных дысцыплін.
