Analitik Həndəsə Müzakirə Suallarının Nümunəsi
Pendahuluan
Analitik həndəsə, fəza və forma ilə bağlı məsələləri həll etmək üçün cəbr və həndəsəni birləşdirən riyaziyyatın bir qoludur. Bu, tənliklər və koordinatlardan istifadə edərək həndəsi məsələləri təhlil etməyə imkan verən güclü bir vasitədir. Bu məqalədə analitik həndəsə sahə məsələlərinin bir neçə nümunəsi müzakirə ediləcək və daha dərindən başa düşülməsini asanlaşdırmaq üçün onlar ətraflı müzakirə ediləcək.
Nümunə Sual 1: Xətt Tənliyi
Sual:
A(1, 2) və B(3, 7) nöqtələri verilmişdir. Bu iki nöqtədən keçən xəttin tənliyini təyin edin.
Müzakirə:
İki nöqtədən keçən bir xəttin tənliyini tapmaq üçün qradiyent (maillik) düsturu m-dən istifadə edə bilərik:
\[ m = \frac{y_2 – y_1}{x_2 – x_1} \]
A(x1, y1) = (1, 2) və B(x2, y2) = (3, 7) nöqtələri ilə:
\[ m = \frac{7 – 2}{3 – 1} = \frac{5}{2} \]
Sonra, xəttin tənliyi üçün düsturdan istifadə edirik:
\[ y – y_1 = m(x – x_1) \]
Bir nöqtə əvəzlənməsi, məsələn, A(1, 2) nöqtəsi:
\[ y – 2 = \frac{5}{2}(x – 1) \]
Bu formanı y üçün açıq bir tənliyə çevirin:
\[ y – 2 = \frac{5}{2}x – \frac{5}{2} \]
\[ y = \frac{5}{2}x – \frac{5}{2} + 2 \]
\[ y = \frac{5}{2}x – \frac{1}{2} \]
Beləliklə, xəttin tənliyi belədir:
\[ y = \frac{5}{2}x – \frac{1}{2} \]
Nümunə Sual 2: Dairə
Sual:
Mərkəzi C(-2, 3) nöqtəsində yerləşən və radiusu 4 olan dairənin tənliyini təyin edin.
Müzakirə:
Mərkəzi (h, k) nöqtəsində və radiusu r olan dairənin ümumi tənliyi belədir:
\[ (x – h)^2 + (y – k)^2 = r^2 \]
Sualdan belə çıxır ki, dairənin mərkəzi (h, k) = (-2, 3) və radiusu r = 4-dür. Beləliklə,
\[ (x + 2)^2 + (y – 3)^2 = 4^2 \]
\[ (x + 2)^2 + (y – 3)^2 = 16 \]
Beləliklə, dairənin tənliyi belədir:
\[ (x + 2)^2 + (y – 3)^2 = 16 \]
Nümunə Sual 3: Parabola
Sual:
Təpəsi (1, -2), fokusu (1, 0) olan şaquli parabolanın tənliyini təyin edin.
Müzakirə:
Təpə nöqtəsi (h, k) olan şaquli parabola üçün ümumi tənlik belədir:
\[ (x – h)^2 = 4p(y – k) \]
(h, k) = (1, -2) təpəsi veriləndə, p-nin qiymətini tapmalıyıq. Parabolanın fokusu (h, k + p)-dir və məsələdən fokus (1, 0)-dır:
\[ k + p = 0 – (-2) = 2 \]
Beləliklə:
\[ p = 2 \]
Beləliklə, ümumi tənlik aşağıdakı formaya çevrilir:
\[ (x – 1)^2 = 4 \cdot 2 (y + 2) \]
\[ (x – 1)^2 = 8(y + 2) \]
Beləliklə, parabolanın tənliyi belədir:
\[ (x – 1)^2 = 8(y + 2) \]
Nümunə Sual 4: Ellips
Sual:
Mərkəzi (0, 0) nöqtəsində, əsas ox uzunluğu 10 və kiçik ox uzunluğu 6 olan bir ellips verilir. Ellipsin tənliyini təyin edin.
Müzakirə:
Ellipsin mərkəzi (h, k) (0, 0), əsas oxun uzunluğu 2a = 10, yəni a = 5, kiçik oxun uzunluğu isə 2b = 6, yəni b = 3-dür. Mərkəzi (0, 0) nöqtəsində olan ellipsin ümumi tənliyi belədir:
\[ \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 \]
A və b dəyərlərini əvəz edin:
\[ \frac{x^2}{5^2} + \frac{y^2}{3^2} = 1 \]
\[ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 \]
Beləliklə, ellipsin tənliyi belədir:
\[ \frac{x^2}{25} + \frac{y^2}{9} = 1 \]
Nümunə Sual 5: Hiperbola
Sual:
Mərkəzi (1, -3) nöqtəsində olan hiperbola verildikdə, eninə oxun uzunluğu 8, qoşma oxun uzunluğu isə 6-dır. Hiperbolanın tənliyini təyin edin.
Müzakirə:
Mərkəzi (h, k) və üfüqi eninə oxu olan hiperbola üçün ümumi tənlik belədir:
\[ \frac{(x – h)^2}{a^2} – \frac{(y – k)^2}{b^2} = 1 \]
Hiperbolanın mərkəzi (h, k) (1, -3), eninə oxun uzunluğu 2a = 8-dir, yəni a = 4, qoşma oxun uzunluğu isə 2b = 6-dır, yəni b = 3. Buna görə də, hiperbolanın tənliyi belədir:
\[ \frac{(x – 1)^2}{4^2} – \frac{(y + 3)^2}{3^2} = 1 \]
\[ \frac{(x – 1)^2}{16} – \frac{(y + 3)^2}{9} = 1 \]
Beləliklə, hiperbolanın tənliyi belədir:
\[ \frac{(x – 1)^2}{16} – \frac{(y + 3)^2}{9} = 1 \]
Nəticə
Analitik həndəsə cəbri tənliklərdən istifadə edərək həndəsi formaları və strukturları təhlil etmək üçün güclü bir metoddur. Xətlər, dairələr, parabola, ellips və hiperbola tənliklərinin əsas anlayışlarını anlamaqla müxtəlif həndəsə məsələlərini asanlıqla həll edə bilərik. Bu məqalədə anlayışınızı dərinləşdirməyə kömək etmək üçün analitik həndəsədəki vacib məsələlərə dair nümunələr və müzakirələr təqdim olunur. Əlavə təcrübə məsələləri bu materialı anlamanızı möhkəmləndirməyə və genişləndirməyə kömək edə bilər.
