متجهات الوحدة – مسائل وحلول

متجهات الوحدة – مسائل وحلول

1. يتحرك جسم بسرعة v = (2i − 1.5j) م/ث. ما هي إزاحة الجسم بعد 4 ثوانٍ؟

معروف :

المركبة الأفقية للسرعة (v _x ) = 2 م/ث

المركبة الرأسية للسرعة (v _y ) = 1.5 م/ث

الفاصل الزمني (ر) = 4 ثانية

مطلوب: تهجير

الحل:

محصلة السرعة (v):

الإزاح :

s = vt = (2.5 م/ث)(4 ث)

ق = 10 مترا

2. المتجه F ₁ = 14 نيوتن و F ₂ = 10 نيوتن. حدد المتجه المحصل إذا تم تحديده في R = i + j.

الحل:

مكونات المتجهات:

F _1x = (F ₁ )(cos 60 ^o ) = (14)(0.5) = -7 نيوتن (سالبة لأن مركبة هذا المتجه تشير على طول المحور السيني السالب (إلى اليسار))

F _1y = (F ₁ )(sin 60 ^o ) = (14)(0.5√3) = 7√3 N (موجب لأن مركبة هذا المتجه تشير على طول المحور y الموجب (إلى اليمين))

F _2x = 10 نيوتن

F _2y = 0

مكونات المتجهات الناتجة:

F _x = F _1x + F _2x + F _3x = -7 + 10 = 3 نيوتن

F _y = F _1y + F _2y + F _3y = 7√3 + 0 = 7√3 N

المتجه الناتج في متجه الوحدة:

R = 3 i + 7√3 j

1. ما هو متجه الوحدة؟ إجابةالمتجه الوحدوي هو متجه له مقدار يساوي 1. وهو يمثل عادةً الاتجاه دون نقل أي معلومات حول المقدار.
2. لماذا تعتبر متجهات الوحدة مهمة في الرياضيات المتجهة والفيزياء؟ إجابةتُعدّ متجهات الوحدة أساسية لأنها توفر طريقة موحدة لوصف الاتجاهات. ويمكن تغيير حجمها بمقدار معين لإنتاج متجه بطول محدد في اتجاه معين.
3. كيف يمكنك الحصول على متجه وحدة من متجه معطى؟ إجابة: يمكن الحصول على متجه وحدة في اتجاه متجه معين عن طريق قسمة المتجه على مقداره.
4. ما هي متجهات الوحدة القياسية في الإحداثيات الديكارتية، وما هي اتجاهاتها؟ إجابةمتجهات الوحدة القياسية في الإحداثيات الديكارتية هي i, jو k. i تشير إلى اتجاه المحور السيني، j تشير إلى اتجاه المحور الصادي، و k تشير إلى اتجاه المحور z.
5. هل يمكن أن يكون لمتجه الوحدة مركبات أخرى غير 1 أو -1؟ إجابةنعم. تعتمد مركبات متجه الوحدة على اتجاهه. متجهات الوحدة فقط هي التي تتوافق مع محاور الإحداثيات (مثل i, j, k (في الإحداثيات الديكارتية) سيكون لها مكونات 1 أو -1 أو 0.
6. هل مجموع متجهين وحدة بالضرورة هو متجه وحدة؟ إجابةلا. مجموع متجهين وحدة ليس متجه وحدة بشكل عام إلا إذا كان المتجهان متوازيين ومتعاكسين في الاتجاه.
7. هل يمكن تغيير مقياس متجه الوحدة لتمثيل متجه ذي مقدار مختلف ولكن بنفس الاتجاه؟ إجابةنعم. ضرب متجه الوحدة في عدد قياسي سيغير مقداره مع الحفاظ على اتجاهه كما هو.
8. ما مقدار حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين وحدة؟ إجابةمقدار حاصل الضرب الاتجاهي لمتجهين وحدة يساوي جيب الزاوية بينهما. وتكون قيمته القصوى 1 عندما يكون المتجهان متعامدين، وقيمته الدنيا 0 عندما يكونان متوازيين.
9. لماذا يعطي حاصل الضرب النقطي لمتجهين وحدة جيب تمام الزاوية بينهما؟ إجابةصيغة الضرب القياسي لمتجهين هي حاصل ضرب مقداريهما في جيب تمام الزاوية بينهما. عندما يكون كلا المتجهين متجهي وحدة، فإن مقداريهما يساويان 1، وبالتالي يتبسط الضرب القياسي إلى جيب تمام الزاوية فقط.

10. كيف يُعمَّم مفهوم متجه الوحدة ليشمل أنظمة الإحداثيات غير الديكارتية؟ الإجابة : في أنظمة الإحداثيات غير الديكارتية، مثل الإحداثيات الكروية أو الأسطوانية، توجد متجهات وحدة مختلفة تُقابل كل اتجاه من اتجاهات الإحداثيات. على سبيل المثال، في الإحداثيات الكروية، متجهات الوحدة هي r (الاتجاه القطري)، و θ (اتجاه الزاوية القطبية)، و φ (الاتجاه السمتي).