تصادمات مرنة تمامًا
يُطلق على تصادم جسمين اسم التصادم المرن تمامًا إذا كانت كمية الحركة أو الطاقة الحركية لكل جسم قبل التصادم مساوية لكمية الحركة أو الطاقة الحركية لكل جسم بعد التصادم. بعبارة أخرى، ينطبق قانون حفظ كمية الحركة وقانون حفظ الطاقة الحركية في التصادمات المرنة تمامًا. يشير استخدام كلمة "مرن" إلى أن الجسمين لا يلتصقان ببعضهما بعد التصادم، بل يرتد كل منهما عن الآخر. وتبقى كمية حركة كل جسم محفوظة.
يتم الحفاظ على زخم كل جسم.
m 1 v 1 + m 2 v 2 = m 1 v 1 ' + m 2 v 2 ' ………………….. المعادلة 1.5
الطاقة الحركية لكل جسم محفوظة.
½ mv₁² + ½ mv₂² = ½ mv₁'² + ½ mv₂'² ………………… .. المعادلة 1.6
[irp]
يجب أن يكون التصادم المرن تمامًا صامتًا ولا يُولّد حرارة نتيجة الاحتكاك بين الجسمين المتصادمين. أما إذا ولّد تصادم جسمين ضوضاءً وحرارة، فإن الطاقة الحركية للجسمين لا تُحفظ. يتحول جزء من الطاقة الحركية إلى طاقة صوتية وحرارية، ويتحول جزء آخر إلى طاقة داخلية. ومن أمثلة التصادم المرن تمامًا تصادم الجسيمات الذرية ودون الذرية.
في مسألة التصادم المرن تمامًا، إذا كانت السرعة الابتدائية معلومة بينما السرعة النهائية مجهولة، فلا يمكن حل المسألة باستخدام المعادلتين 1.5 و1.6 فقط. لهذا السبب، يتم تعديل كلتا المعادلتين لاستنتاج معادلات أخرى، والتي يمكن استخدامها لتحديد السرعة النهائية.
قم بإزالة العامل 1/2 ثم قم بمعالجة 1.6
م 1 ف 1 2 + م 2 ف 2 2 = م 1 ف 1 ' 2 + م 2 ف 2 ' 2
م 1 ضد 1 2 – م 1 ضد 1 ' 2 = م 2 ضد 2 ' 2 – م 2 ضد 2 2
m 1 (v 1 2 – v 1 ' 2 ) = m 2 (v 2 ' 2 – v 2 2 ) —> (a + b)(a – b) = a 2 – b 2
م 1 ( ت 1 + ت 1 ') ( ت 1 – ت 1 ') = م 2 ( ت 2 ' + ت 2 ) ( ت 2 ' – ت 2 ) ………………….. المعادلة 1.7
[irp]
قم بمعالجة المعادلة 1.5
م 1 ضد 1 - م 1 ضد 1 '= م 2 ضد 2 ' - م 2 ضد 2
m 1 (v 1 – v 1 ') = m 2 (v 2 ' – v 2 ) ………………….. المعادلة 1.8
اقسم المعادلة 1.7 على المعادلة 1.8 للحصول على النتيجة النهائية
(ت 1 + ت 1 ') = (ت 2 ' + ت 2 )
v 1 – v 2 = v 2 ' – v 1 '
v1 – v2 = – ( v1 ' – v2 ' ) ………………….. المعادلة 1.9
يمكن استخدام المعادلتين 1.5 و1.9 لحل مسائل التصادمات المرنة تمامًا. بدمج المعادلتين 1.5 و1.9، نحصل على معادلتين لتحديد السرعات النهائية لجسمين إذا كانت كتلتيهما وسرعتيهما الابتدائيتين مجهولتين.
عند حلّ المسائل باستخدام المعادلات أعلاه، استخدم الإشارة الصحيحة لـ v1 و v2 . إذا تحرّك الجسم الأول إلى اليمين، تكون v1 موجبة، والعكس صحيح، إذا تحرّك الجسم الثاني إلى اليسار، تكون v2 سالبة . إذا تحرّك الجسمان في اتجاهين مختلفين، ولكن لا توجد معلومات حول اتجاهي حركتهما، فيجب أن تكون إشارة v1 و v2 مختلفة ، على سبيل المثال، v1 موجبة و v2 سالبة.
4.1.1 جسمان لهما نفس الكتلة
إذا كان m 1 = m 2 ، فإن v 1 ' = v 2 و v 2 ' = v 1.
ماذا لو تحرك الجسمان في اتجاهين مختلفين؟
على سبيل المثال، إذا تحرك الجسم 1 إلى اليمين قبل التصادم وتحرك الجسم 2 إلى اليسار، فإن الجسم 1 سيتحرك إلى اليسار (v 1 ' = – v 2 ) وسيتحرك الجسم 2 إلى اليمين (v 2 ' = v 1 ) بعد التصادم.
ماذا لو كان أي من الجسمين في حالة سكون في البداية؟
على سبيل المثال، إذا كان الجسم الثاني ساكنًا قبل التصادم (v2 = 0)، فسيكون الجسم الأول ساكنًا أيضًا (v1 ' = 0)، وسيتحرك الجسم الثاني بنفس السرعة الابتدائية للجسم الأول (v2 ' = v1 ) بعد التصادم. وإذا كان الجسم الأول يتحرك إلى اليمين قبل التصادم، فسيتحرك الجسم الثاني إلى اليمين بعد التصادم. وبالتالي، يتبادل الجسمان سرعتيهما.
[irp]
مثال على السؤال 4
يتحرك الجسمان A (2 كجم) وB (2 كجم) في اتجاهين متعاكسين بسرعتين 4 م/ث و2 م/ث على التوالي. إذا اصطدم الجسمان A وB في تصادم مرن تمامًا، فما هي السرعات النهائية للجسمين A وB؟
معروف :
m A = 2 كجم، m B = 2 كجم، v A = 4 م/ث، v B = – 2 م/ث
مطلوب: v A و v B
الحل:
v A ' = – 2 م/ث و v B ' = 4 م/ث
بعد التصادم، يتحرك الجسم أ بسرعة ٢ م/ث ويتحرك الجسم ب بسرعة ٤ م/ث في اتجاهين متعاكسين. إذا كان الجسم أ يتحرك إلى اليمين والجسم ب إلى اليسار قبل التصادم، فسيتحرك الجسم أ إلى اليسار والجسم ب إلى اليمين بعد التصادم.
مثال على السؤال 5
يتحرك الجسم أ (2 كجم) إلى اليمين بسرعة 2 م/ث ويصطدم بالجسم ب (2 كجم) الساكن. إذا كان التصادم مرنًا تمامًا، فما هي السرعات النهائية للجسمين أ و ب؟
معروف :
m A = 2 كجم، m B = 2 كجم، v A = 2 م/ث، v B = 0 م/ث
مطلوب: v A و v B
الحل:
v A ' = 0 و v B ' = 2 م/ث
بعد التصادم، يكون الجسم أ في حالة سكون، ويتحرك الجسم ب إلى اليمين بسرعة 2 م/ث.
[irp]
4.1.2 جسمان مختلفان في الكتلة
إذا كان لجسمين سرعات وكتل ابتدائية مختلفة (فرق طفيف)، فإن السرعات النهائية تُعرف باستخدام المعادلتين 1.10 و 1.11.
إذا كان الجسم 2 في البداية في حالة سكون (v 2 = 0)، فإن المعادلة 1.10 تصبح المعادلة 1.12 والمعادلة 1.11 تصبح المعادلة 1.13.
إذا كانت v₂ = 0، فإن m₁ كبيرة جدًا و m₂ صغيرة جدًا، وبحل المعادلتين 1.12 و 1.13 نحصل على v₁ ' = v₁ و v₂ ' = 2v₁ . وإذا كانت v₂ = 0، فإن m₁ صغيرة جدًا و m₂ كبيرة جدًا، وبحل المعادلتين 1.12 و 1.13 نحصل على v₁ ' = -v₁ و v₂ ' = 0. تشير العلامات الموجبة والسالبة إلى اتجاهي حركة متعاكسين.
مثال على السؤال 6
يتحرك جسم كتلته 1 كجم بسرعة 20 م/ث ويصطدم بجدار في تصادم مرن تمامًا. ما هي السرعات النهائية للجسم والجدار؟
معروف :
كتلة A = 1 كجم، سرعة A = 20 م/ث، كتلة B = كبيرة جدًا، سرعة B = 0
مطلوب : v A و v B
الحل:
v A ' = -20 م/ث و v B ' = 0
بعد التصادم، يرتد الجسم أ بسرعة 20 م/ث، بينما يبقى الجسم ب ساكنًا. إذا كان الجسم أ يتحرك إلى اليمين قبل التصادم، فإنه يتحرك إلى اليسار بعد التصادم.
