حركة المقذوفات - المشاكل والحلول

27 حركة المقذوفات - المشاكل والحلول

1. أُطلقت رصاصة بزاوية θ = 60 ^درجة بسرعة 20 م/ث. تسارع الجاذبية الأرضية 10 م/ث² ^. ما هو الزمن اللازم لوصول الرصاصة إلى أقصى ارتفاع؟

معروف :

السرعة الابتدائية للرصاصة (v _o ) = 20 م/ث

الزاوية (θ) = 60 ^درجة مئوية

تسارع الجاذبية الأرضية (g) = 10 م ^/ث²

المطلوب: الفترة الزمنية اللازمة للوصول إلى أقصى ارتفاع

الحل:

السرعة الابتدائية في الاتجاه الأفقي (المحور السيني):

v _ثور = v _o cos 60 ^o = (20)(0.5) = 10 م/ث

السرعة الابتدائية في الاتجاه الرأسي (المحور y):

v _oy = vo sin 60 ^o = (20)(0.5√3) = 10√3 م/ث

الفترة الزمنية اللازمة للوصول إلى أقصى ارتفاع، محسوبة باستخدام هذه المعادلة:

v _ty = v _oy + gt

v _ty = السرعة النهائية في الاتجاه الرأسي = السرعة النهائية عند أعلى نقطة = 0 م/ث

v_{_oy} = السرعة الابتدائية في الاتجاه الأفقي = 10√3 م/ث

g = تسارع الجاذبية الأرضية = 10 م/ ^ث²

t = الفاصل الزمني

الفترة الزمنية:

v _ty = v _oy + gt

0 = 10√3 – 10 t

10√3 = 10 t

t = 10√3 / 10

t = √3 ثانية

2. جسم مقذوف بزاوية. يكون ارتفاع الجسم متساوياً عندما تكون الفترة الزمنية 1 ثانية و3 ثوانٍ. ما هي الفترة الزمنية التي يبقى فيها الجسم في الهواء؟

الحل:

يبقى الجسم في الهواء لمدة 4 ثوانٍ.

3. تتحرك طائرة أفقياً بسرعة 50 م/ث. عند ارتفاع 2 كم، يُسقط جسم من الطائرة. إذا كان تسارع الجاذبية الأرضية يساوي 10 م/ ث²، فما هو الزمن اللازم قبل أن يصطدم الجسم بالأرض؟

معروف :

الارتفاع = 2 كم = 2000 متر

تسارع الجاذبية الأرضية (g) = 10 م/ ^ث²

المطلوب: الفترة الزمنية (t)

الحل:

h = 1/2 gt ^​​2

2000 = 1/2 (10) t ²

2000 = 5 t ²

t ² = 2000/5 = 400

t = √400 = 20 ثانية

4. تنطلق كرة قدم بعد ركلها من الأرض بزاوية θ = 45 ^درجة مع الأفقي بسرعة ابتدائية قدرها 25 م/ث. احسب المسافة X. علماً بأن تسارع الجاذبية الأرضية يساوي 10 م/ ^ث².

معروف :

السرعة الابتدائية (v _o ) = 25 م/ث

تسارع الجاذبية الأرضية (g) = 10 م/ ^ث²

الزاوية (θ) = 45 ^درجة

مطلوب: X

الحل:

المركبة الأفقية للسرعة الابتدائية:

v _ثور = v _o cos θ = (25 م/ث)(cos 45 ^o ) = (25 م/ث)(0.5√2) = 12.5√2 م/ث

المركبة الرأسية للسرعة الابتدائية:

v _oy = v _o sin θ = (25 م/ث)(sin 45 ^o ) = (25 م/ث)(0.5√2) = 12.5√2 م/ث

يمكن فهم حركة المقذوفات من خلال تحليل المركبتين الأفقية والرأسية للحركة بشكل منفصل. تحدث الحركة الأفقية بسرعة ثابتة، بينما تحدث الحركة الرأسية بتسارع ثابت للجاذبية الأرضية.

الوقت في الهواء (t):

يتم حساب الوقت في الهواء باستخدام معادلة الحركة الرأسية الصاعدة.

اختر الاتجاه الصاعد كإيجابي والاتجاه الهابط كسلبي.

معروف :

السرعة الابتدائية (v _o ) = 12.5√2 م/ث (اتجاه لأعلى، موجب)

التسارع الناتج عن الجاذبية (g) = -10 م/ث² ⁽ اتجاه لأسفل، سالب)

الارتفاع (ح) = 0

المطلوب: الفترة الزمنية (t)

الحل:

h = _v₀t + ½ ^gt²

0 = (12.5√2) t + 1/2 (-10) t ²

0 = 12.5√2 t – 5 t ²

12.5√2 t = 5 t ²

12.5√2 = 5 t

t = 12.5√2 / 5

t = 2.5√2 ثانية

المسافة الأفقية (X):

تم حسابها باستخدام معادلة الحركة الخطية المنتظمة بسرعة ثابتة.

معروف :

السرعة (v) = 12.5√2 م/ث

الفترة الزمنية (t) = 2.5√2 ثانية

مطلوب: مسافة

الحل:

المسافة = السرعة × الزمن = (12.5√2)(2.5√2) = (12.5)(2.5)(2) = 62.5 مترًا

5. جسم مقذوف لأعلى بزاوية θ = 30 ^درجة مع الأفقي، سرعته الابتدائية 20 م/ث. تسارع الجاذبية الأرضية 10 م/ث² ^. احسب أقصى ارتفاع يصل إليه.

معروف :

السرعة الابتدائية (v_o) = 20 م/ث

تسارع الجاذبية الأرضية (g) = 10 م/ ^ث²

الزاوية (θ) = 30 ^درجة

المطلوب : أقصى ارتفاع

الحل:

أولاً، أوجد المركبة الرأسية للسرعة الابتدائية (voy ₎ :

v _oy = v _o sin 30 ^o = (20)(sin 30 ^o ) = (20)(0.5) = 10 م/ث

احسب أقصى ارتفاع. اختر الاتجاه الصاعد كقيمة موجبة والاتجاه الهابط كقيمة سالبة.

معروف :

التسارع الناتج عن الجاذبية (g) = -10 م/ث² ⁽ اتجاه لأسفل، سالب )

المركبة الرأسية للسرعة الابتدائية (voy ₎ = 10 م/ث ( اتجاه لأعلى، موجب )

السرعة عند أقصى ارتفاع (v _ty ) = 0

المطلوب: أقصى ارتفاع (ح)

الحل:

v _t ² = v _o ² + 2 gh

0 ² = 10 ² + 2 (-10) h

0 = 100 – 20 ساعة

100 = 20 ساعة

ح = 100 / 20

ح = 5 مترا

يبلغ أقصى ارتفاع 5 متر.

6. قُذف جسم بزاوية ارتفاع معينة. كان ارتفاع الجسم متساوياً بعد ثانية واحدة وبعد ثلاث ثوانٍ. احسب زمن بقاء الجسم في الهواء.

أ. 3.6 ثانية

ب. 4.0 ثانية

ج. 5.6 ثانية

د. 6.4 ثانية

الحلول

زمن التحليق = 4 ثوانٍ.

الجواب الصحيح هو ب.

7. تتحرك طائرة أفقياً بسرعة 50 م/ث. عندما تكون الطائرة على ارتفاع 2 كم، يمكن لجسم أن يسقط سقوطاً حراً منها. حدد نوع الحركة.

أ. حركة السقوط الحر

ب. الحركة الطافية

ج. الحركة الأفقية

د. حركة المقذوفات

الحل:

يُسقط الجسم من الطائرة المتحركة لأنه يمتلك نفس سرعة الطائرة، أي 50 مترًا في الثانية. حركة الأجسام ليست كالسقوط الحر، بل هي حركة مكافئة. وينطبق الأمر نفسه على إسقاط الأجسام من داخل سيارة متحركة.

والجواب الصحيح هو د.

8. قُذفت كرة أفقياً بسرعة 15 م/ث من جرف ارتفاعه 60 م. ما هو الزمن الذي تستغرقه الكرة للوصول إلى الأرض؟
الحل: باستخدام \( h = \frac{1}{2} gt^2 \), نجد أن الزمن هو \( t = \sqrt{\frac{2h}{g}} \approx 3.5\ \text{s} \).

9. أُطلق مقذوف بزاوية 30° فوق الأفق بسرعة ابتدائية قدرها 20 م/ث. ما هو أقصى ارتفاع يصل إليه؟
الحل: باستخدام \( h = \frac{v^2 \sin^2 \theta}{2g} \), فإن أقصى ارتفاع هو \( h \approx 10.2\ \text{m} \).

10. قُذف حجر أفقياً بسرعة 10 م/ث من برج ارتفاعه 80 م. أوجد المسافة الأفقية التي يقطعها قبل أن يصطدم بالأرض.
الحل: باستخدام الوقت الذي تم إيجاده بطريقة مماثلة للمسألة 1، فإن المسافة الأفقية هي \( d = vt \approx 40\ \text{m} \).

11. أُطلقت قذيفة مدفع بسرعة 40 م/ث بزاوية 45°. أوجد زمن التحليق.
الحل: باستخدام \( t = \frac{2v \sin \theta}{g} \)، فإن زمن الرحلة هو \( t \approx 5.8\ \text{s} \).

12. تم قذف كرة بيسبول بزاوية 60 درجة وبسرعة 12 م/ث. أوجد المدى الأفقي.
الحل: باستخدام \( R = \frac{v^2 \sin 2\theta}{g} \)، يكون المدى \( R \approx 14.0\ \text{m} \).

13. أُطلق مقذوف بسرعة ابتدائية قدرها 50 م/ث بزاوية 37° فوق الأفق. ما هو مُركّب السرعة الرأسي؟
الحل: المركبة الرأسية هي \( v_y = v \sin \theta \approx 30\ \text{m/s} \).

14. أُطلق مقذوف أفقياً بسرعة 20 م/ث من ارتفاع 100 متر. ما هي سرعته الرأسية قبل لحظة اصطدامه بالأرض؟
الحل: باستخدام \( v_y = \sqrt{2gh} \)، فإن السرعة الرأسية هي \( v_y \approx 44.7\ \text{م/ث} \).

15. تم قذف حجر بزاوية 25° فوق الأفق بسرعة ابتدائية قدرها 15 م/ث. ما هما المركبتان الأفقية والرأسية للسرعة؟
الحل: المركبة الأفقية هي \( v_x = v \cos \theta \approx 13.4\ \text{م/ث} \)، والمركبة الرأسية هي \( v_y \approx 6.4\ \text{م/ث} \).

16. رُكلت كرة قدم بسرعة ابتدائية قدرها 30 م/ث بزاوية 40° فوق الأفق. ما هو مركبتها الأفقية للسرعة؟
الحل: المركبة الأفقية هي \( v_x = v \cos \theta \approx 22.9\ \text{m/s} \).

17. تم ضرب كرة غولف بسرعة ابتدائية قدرها 70 م/ث بزاوية 20 درجة. ما هو زمن التحليق؟
الحل: باستخدام معادلة زمن الرحلة، يكون الزمن \( t \approx 4.9\ \text{s} \).

18. أُطلق مقذوف من الأرض بسرعة 25 م/ث بزاوية 53° فوق الأفق. ما هي مركبة سرعته الرأسية الابتدائية؟
الحل: المركبة الرأسية هي \( v_y = v \sin \theta \approx 20\ \text{m/s} \).

19. تم قذف كرة بيسبول بسرعة ابتدائية قدرها 20 م/ث بزاوية 50 درجة. ما هو أقصى ارتفاع تصل إليه؟
الحل: باستخدام معادلة الارتفاع الأقصى، يكون الارتفاع \( h \approx 15.3\ \text{m} \).

20. أُطلقت رصاصة أفقياً بسرعة 200 متر/ثانية من ارتفاع 10 أمتار. ما هو الزمن الذي تستغرقه الرصاصة للوصول إلى الأرض؟
الحل: باستخدام معادلة الزمن، يكون الزمن \( t \approx 1.4\ \text{s} \).

21. أُطلقت قذيفة مدفع بسرعة 45 م/ث بزاوية 30°. أوجد المدى.
الحل: باستخدام معادلة المدى، يكون المدى \( R \approx 88.2\ \text{m} \).

22. تم قذف كرة سلة بزاوية 75 درجة وبسرعة 10 م/ث. أوجد المدى الأفقي.
الحل: باستخدام معادلة المدى، يكون المدى \( R \approx 5.3\ \text{m} \).

23. أُطلق مقذوف بسرعة ابتدائية قدرها 30 م/ث بزاوية 22° فوق الأفق. ما هي سرعته الرأسية قبل لحظة اصطدامه بالأرض؟
الحل: باستخدام معادلة السرعة الرأسية، تكون السرعة الرأسية \( v_y \approx 11.4\ \text{م/ث} \).

24. قُذف حجر أفقياً بسرعة 8 م/ث من برج ارتفاعه 40 متراً. ما المسافة الأفقية التي يقطعها؟
الحل: باستخدام معادلة المسافة الأفقية، تكون المسافة \( d \approx 16\ \text{m} \).

25. رُكلت كرة قدم بسرعة ابتدائية قدرها 12 م/ث بزاوية 30° فوق الأفق. ما هما المركبتان الأفقية والرأسية للسرعة؟
الحل: المركبة الأفقية هي \( v_x \approx 10.4\ \text{م/ث} \)، والمركبة الرأسية هي \( v_y \approx 6\ \text{م/ث} \).

26. تم ضرب كرة غولف بسرعة ابتدائية قدرها 50 م/ث بزاوية 15 درجة. ما هو زمن التحليق؟
الحل: باستخدام معادلة زمن الرحلة، يكون الزمن \( t \approx 2.6\ \text{s} \).

27. أُطلق مقذوف من الأرض بسرعة 40 م/ث بزاوية 60° فوق الأفق. ما هي مركبة سرعته الأفقية الابتدائية؟
الحل: المركبة الأفقية هي \( v_x = v \cos \theta \approx 20\ \text{m/s} \).