معادلة بويزوي

تُعرف هذه المعادلة بمعادلة بوازوي نسبةً إلى العالم الراحل جان لويس ماري بوازوي (1799-1869) الذي اكتشفها. وكما ذُكر سابقًا، يُمكن اعتبار أي سائل سائلًا مثاليًا. السوائل المثالية لا تمتلك لزوجة. إذا تخيلنا سائلًا مثاليًا يتدفق في أنبوب، فإن كل جزء منه يتحرك بنفس السرعة (v). على عكس السوائل المثالية، فإن السوائل الحقيقية، أو السوائل التي نصادفها في حياتنا اليومية، تمتلك لزوجة. وبسبب لزوجتها، عند تدفقها في أنبوب، على سبيل المثال، تختلف سرعة كل جزء من السائل. تتحرك طبقة السائل في المنتصف بسرعة أكبر (v كبيرة)، بينما تبقى طبقة السائل الملتصقة بالأنبوب ساكنة (v = 0). لذا، من مركز الأنبوب إلى حافته، يتحرك كل جزء من السائل بسرعات مختلفة. لتسهيل فهمك، انظر إلى الصورة أدناه...

المعلومات:

R = نصف قطر الأنبوب

v ₁ = معدل تدفق السائل في مركز/محور الأنبوب

v ₂ = معدل تدفق السائل على مسافة r ₂ من حافة الأنبوب

v ₃ = معدل تدفق السائل على مسافة r ₃ من حافة الأنبوب

v ₄ = معدل تدفق السائل على مسافة r ₄ من حافة الأنبوب

r = المسافة

لضمان تساوي معدل تدفق كل سائل، يجب وجود فرق في الضغط عند طرفي أي أنبوب يمر عبره السائل. ونقصد بالسائل هنا السوائل الحقيقية، مثل الماء أو الزيت المتدفق عبر الأنابيب، أو الدم المتدفق عبر الأوعية الدموية، وما إلى ذلك. فضلًا عن مساعدة السوائل الحقيقية على التدفق بسلاسة، تسمح فروق الضغط أيضًا بتدفق السوائل في الأنابيب على ارتفاعات مختلفة.

أجرى جان لويس ماري بويزوي، العالم الفرنسي السابق المهتم بالجوانب الفيزيائية لدوران الدم البشري، بحثًا لدراسة كيفية تأثير عوامل مثل فروق الضغط، ومساحة المقطع العرضي للأنبوب، وحجم الأنبوب على سرعة تدفق السائل. وتُعرف النتائج التي توصل إليها جان لويس ماري بويزوي بمعادلة بويزوي.

يمكن اشتقاق معادلة بوازوي باستخدام معادلة معامل اللزوجة المشتقة سابقًا. نستخدم معادلة اللزوجة لأن الحالة مشابهة، وإن لم تكن متطابقة. عند اشتقاق معادلة معامل اللزوجة، نأخذ في الاعتبار تدفق طبقة سائلة حقيقية بين لوحين متوازيين، حيث يتحرك السائل بفعل قوة الشد (F). يكمن الاختلاف في أن معادلة بوازوي التي سنشتقها تُحدد العوامل المؤثرة على تدفق سائل حقيقي في أنبوب، حيث يتدفق السائل نتيجةً لفروق الضغط. لذلك، يلزم تعديل معادلة معامل اللزوجة مرة أخرى.

يمكن أن تتدفق السوائل بسبب الاختلافات في الضغط (تتدفق السوائل من الأماكن ذات الضغط العالي إلى الأماكن ذات الضغط المنخفض)، لذلك نستبدل F بـ p ₁ – p ₂ (p ₁ > p ₂ ).

عند اشتقاق معادلة معامل اللزوجة، نأخذ في الاعتبار تدفق طبقة سائلة حقيقية بين لوحين متوازيين. يشهد كل جزء من السائل تغيرًا منتظمًا في السرعة بمقدار مسافة l. في هذه الحالة، يتغير معدل تدفق السائل بانتظام من محور الأنبوب إلى حافته. يتدفق السائل عند محور الأنبوب بسرعة أكبر (v). وكلما اتجهنا نحو الحافة، تقل سرعة السائل. نصف قطر الأنبوب = المسافة بين محور الأنبوب وحافته = R. المسافة بين كل جزء من السائل وحافة الأنبوب = r. نظرًا لأن عدد كل جزء من السائل كبير جدًا، وتختلف المسافة بينها وبين حافة الأنبوب، فإننا نكتبها ببساطة على النحو التالي:

v ₁ = سرعة السائل على مسافة r1 من حافة الأنبوب (r1 = R)

v ₂ = سرعة السائل على مسافة r2 من حافة الأنبوب (r2 < r1)

v ₃ = سرعة السائل على مسافة r3 من حافة الأنبوب (r3 < r2 < r1)

v ₄ = سرعة السائل على مسافة r4 من حافة الأنبوب (r4 < r3 < r2 < r1)

....................................... ..

vn = سرعة السائل على مسافة rn من حافة الأنبوب (rn < …… < r4 < r3 < r2 < r1 )

عدد كل جزء من السائل كبير جدًا، ولا نعرف كميته بدقة، لذا يكفي تمثيله بالرمز n. يشهد كل جزء من السائل تغيرًا في معدل التدفق (v) بانتظام، من محور الأنبوب (r1 = R) إلى حافته (rn). ومن محور الأنبوب (r1 = R) إلى حافته (rn)، يتناقص معدل تدفق كل جزء من السائل (v1 > v2 > v3 > v4 > … > vn).

من الشرح أعلاه، نستنتج أن معدل تدفق السائل يتناقص من R إلى rn. طول الأنبوب = L. المعادلة الناتجة هي:

لأن ما نأخذه في الاعتبار هو معدل (v) تدفق السائل، فإن المعادلة 2 تصبح:

هذه هي معادلة معدل تدفق السائل على مسافة r من أنبوب نصف قطره R. إذا شعرتَ بالحيرة عند النظر إلى الصورة أعلاه... يُرجى ملاحظة أن السائل يتدفق في أنبوب، لذا نحتاج إلى مراجعة معدل تدفق حجم السائل.

يوجد سائل داخل الأنبوب. على سبيل المثال، نقسم السائل إلى أجزاء صغيرة جدًا، حيث تبلغ مساحة كل جزء وحدة واحدة dA، ويبعد عن محور الأنبوب، وله معدل تدفق v. رياضيًا، يمكن كتابة ذلك على النحو التالي:

dA1 = مقطع السائل 1، والذي يبعد مسافة 1 عن محور الأنبوب

dA2 = مقطع السائل 2، والذي يبعد مسافة 2 عن محور الأنبوب

dA3 = مقطع السائل 3، والذي يبعد مسافة 3 عن محور الأنبوب

..................................

dA n = مقطع السائل n، وهو مسافة dA n من محور الأنبوب

يوجد العديد من أجزاء السائل، لذا من الملائم كتابتها ببساطة بالرمز n. ويمكن كتابة معدل التدفق الحجمي لكل جزء من السائل رياضياً على النحو التالي:

تقع كل قطرة من السائل على مسافة تتراوح بين r = 0 و r = R (حيث R هو نصف قطر الأنبوب). بعبارة أخرى، تتغير المسافة بين كل قطرة من السائل ومحور الأنبوب. باستخدام حساب التفاضل والتكامل، سنحصل على معادلة معدل تدفق حجم السائل في الأنبوب:

المعلومات:

Q = مدين

R = نصف القطر الداخلي للأنبوب أو المخروط

η = معامل اللزوجة

P1 _– P2 = _فرق الضغط بين طرفي الأنبوب

L = طول الأنبوب

p ₁ -p ₂ /L = تدرج الضغط (يتدفق السائل دائمًا في اتجاه انخفاض الضغط)

استنادًا إلى معادلة بوازوي المذكورة أعلاه، يبدو أن معدل التدفق الحجمي للسائل، المعروف أيضًا بالتصريف (Q)، يتناسب طرديًا مع القوة الرابعة لنصف قطر الأنبوب (R⁴ ₎ ، وتدرج الضغط (p₂ _- p₁ _/ L)، ويتناسب عكسيًا مع اللزوجة. إذا زاد نصف قطر الأنبوب (مع ثبات معامل اللزوجة وتدرج الضغط)، فإن معدل تدفق السائل يزداد بمقدار 16 ضعفًا.

يعتمد المفهوم الأساسي لتصميم الأنابيب والمحاقن وغيرها على هذه المعادلة. يتناسب معدل تدفق السائل طرديًا مع R⁴ ₍ حيث R هو نصف قطر الأنبوب). يجب حساب نصف قطر المحقنة أو الأنبوب بدقة. على سبيل المثال، إذا ضاعفنا نصف قطر الإبرة (r × 2)، فإن معدل تدفق السائل الذي يرش يزيد من قوة الضغط على الإبهام بمقدار 16 ضعفًا.

تُظهر معادلة بوازوي أيضًا أن القوة الرابعة لنصف القطر (r⁴ ⁾ تتناسب عكسيًا مع فرق الضغط بين طرفي الأنبوب. على سبيل المثال، يتدفق الدم في البداية في وعاء دموي نصف قطره الداخلي r. إذا حدث تضيّق في الوعاء الدموي (على سبيل المثال، r/2 = انخفض نصف القطر الداخلي للوعاء الدموي إلى النصف)، فسيلزم فرق ضغط مقداره 16 ضعفًا لجعل تدفق الدم كما كان من قبل (بحيث يظل معدل التدفق أو حجم الدم ثابتًا).