قانون أرخميدس

قانون أرخميدس

هل سبق لك أن رأيت سفينة؟ إن لم تكن قد رأيت واحدة على أرض الواقع، فربما تكون قد شاهدتها على التلفاز أو الإنترنت. السفينة ذات الكتلة الكبيرة لا تغرق، بينما الصخرة الصغيرة الخفيفة قد تغرق. لماذا؟ الإجابة بسيطة إذا فهمت مفهومي الطفو ومبدأ أرخميدس.

في حياتنا اليومية، نلاحظ أن الأجسام الموضوعة في سائل، كالصخرة مثلاً، تكون أخف وزناً مما هي عليه عندما لا تكون مغمورة فيه. قد تجد صعوبة في رفع صخرة من سطح الأرض، بينما يسهل رفعها من قاع المسبح. يعود ذلك إلى قوة الطفو، التي تنشأ نتيجة اختلاف ضغط السائل باختلاف الأعماق. يزداد ضغط السائل مع العمق، فكلما زاد العمق، زاد ضغط السائل. عند وضع جسم في سائل، ينشأ فرق في الضغط بين السائل فوق الجسم والسائل تحته. يكون ضغط السائل الموجود أسفل الجسم أعلى من ضغط السائل الموجود فوقه.

الطفو

في الصورة، يظهر جسم يطفو في الماء. يكون ضغط السائل أسفل الجسم أكبر من ضغط السائل أعلاه. ويعود ذلك إلى أن عمق السائل أسفل الجسم أكبر من عمق السائل أعلاه (h).₂ > ح₁).

F2 ₌ القوة التي يؤثر بها السائل على الجزء السفلي من الجسم، F1 ₌ القوة التي يؤثر بها السائل على الجزء العلوي من الجسم، A = مساحة سطح الجسم

الفرق بين F2 _و F1 _هو القوة الكلية التي يؤثر بها السائل على الجسم، والتي تُعرف بقوة الطفو. مقدار قوة الطفو هو:

قوة الطفو = F ₂ − F ₁

F المزدهر = (ρ gh ₂ A ) − (ρ gh ₁ A)

F float = ρ g A ( h ₂ − h ₁ )

قوة الطفو = ρ g A h

قوة الطفو = ρ g V

المعلومات:

ρ = كثافة السائل

g = تسارع الجاذبية الأرضية

V = حجم الجسم في السائل

وبالتالي، يمكن كتابة المعادلة التي تحدد مقدار قوة الطفو (F buoyancy) أعلاه على النحو التالي:

F float = ρ _F g V → m = ρ V

قوة الطفو = الكتلة × تسارع _{الجاذبية الأرضية}

قوة الطفو = وزن _القوة

m _F g = w _F = وزن السائل الذي له نفس حجم حجم الجسم المغمور.

مثال على قوة الطفو

مبدأ أرخميدس

بناءً على المعادلة أعلاه، يمكننا القول أن قوة الطفو تساوي وزن السائل المزاح، وحجم السائل المزاح يساوي حجم الجسم المغمور في السائل.

إذا غُمر جسم في سائل وطفا، وكان جزء منه فقط مغمورًا، فإن حجم السائل المزاح يساوي حجم الجزء المغمور من الجسم. وبغض النظر عن شكل الجسم أو حجمه، فإن هذا ينطبق على جميع الأجسام. هذا ما اكتشفه أرخميدس (287-212 قبل الميلاد)، ويُعرف الآن بمبدأ أرخميدس.

ينص مبدأ أرخميدس على ما يلي:

عندما يكون الجسم مغمورًا كليًا أو جزئيًا في سائل، فإن السائل سيؤثر بقوة صاعدة (قوة الطفو) على الجسم، حيث يكون مقدار القوة الصاعدة (قوة الطفو) مساويًا لوزن السائل المزاح.

قصة أرخميدس

كُلِّف أرخميدس، الذي عاش بين عامي 287 و212 قبل الميلاد، من قِبَل الملك هيرون الثاني بالتحقق مما إذا كان التاج المصنوع للملك مصنوعًا من الذهب الخالص. في البداية، احتار أرخميدس في تحديد ما إذا كان التاج مصنوعًا من الذهب الخالص أم أنه يحتوي على معادن أخرى. تكمن المشكلة في أن التاج كان غير منتظم الشكل، ولم يكن من الممكن تدميره لتحديد ما إذا كان مصنوعًا من الذهب الخالص.

تعتمد فكرة تحديد ما إذا كان تاج الملك مصنوعًا من الذهب الخالص على تحديد الكثافة النوعية للتاج أولًا، ثم مقارنتها بالكثافة النوعية للذهب. فإذا كان التاج مصنوعًا من الذهب الخالص، فإن كثافته النوعية تساوي الكثافة النوعية للذهب.

الكثافة النسبية لجسم ما هي نسبة وزن الجسم في الهواء إلى وزن الماء الذي له نفس حجم الجسم. رياضياً، تُكتب على النحو التالي:

كيف يمكن تحديد وزن الماء الذي له نفس حجم جسم ما؟

بحسب أرخميدس، فإن وزن الماء الذي له نفس حجم الجسم يساوي مقدار قوة الطفو عندما يغرق الجسم (أي عندما يكون الجسم بأكمله مغمورًا في الماء). وهذا يساوي وزن الجسم المفقود عند وزنه في الماء. وبالتالي:

لتحديد الكثافة النوعية للتاج، يُوزن التاج أولاً في الهواء (وزن التاج في الهواء). ثم يُوضع التاج في الماء ويُوزن مرة أخرى للحصول على وزن التاج المفقود.

بعد تحديد الكثافة النوعية للتاج، تُقارن بالكثافة النوعية للذهب، والتي تبلغ 19,3. إذا تساوت الكثافة النوعية للتاج مع الكثافة النوعية للذهب، فإن التاج مصنوع من الذهب الخالص. أما إذا لم يكن التاج مصنوعًا من الذهب الخالص، فلن تتساوى كثافته النوعية مع كثافة الذهب.

لماذا لا تغرق السفن؟

إذا كانت كثافة جسم ما أقل من كثافة الماء، فإنه سيطفو. وعلى العكس، إذا كانت كثافة جسم ما أكبر من كثافة الماء، فإنه سيغرق. تُصنع معظم السفن من الحديد والصلب. تبلغ كثافة الحديد والصلب 7,8 × 10³ ^كجم /م³ ^{، بينما} تبلغ كثافة الماء 1,00 × 10³ ^كجم /م³ ^. يبدو أن كثافة الحديد والصلب أكبر من كثافة الماء. في هذه الحالة، تكون الكثافة النسبية للحديد والصلب 7,8. من المفترض أن تغرق السفن المصنوعة من الحديد والصلب. فلماذا لا تغرق؟ لأن الكثافة الكلية للسفينة أقل من كثافة الماء أو ماء البحر.

أمثلة على أسئلة حول قانون أرخميدس

مثال على السؤال 1:

صخرة كتلتها 40 كجم موجودة في قاع حوض سباحة. إذا كان حجم الصخرة = 0,2 متر ^مكعب، فما هي أقل قوة مطلوبة لرفع الصخرة؟

مناقشة

من المعروف أن:

كتلة الحجر (م) = 40 كجم

حجم الحجر (V) = 0,02 ^م³

كثافة الماء = 1000 كجم/ ^م³

تسارع الجاذبية الأرضية (g) = 10 م/ ^ث²

السؤال: الحد الأدنى للدرجة F

الجواب:

قوة الطفو = وزن القوة

قوة الطفو = الكتلة × تسارع الجاذبية الأرضية → الكتلة = الضغط × الحجم

قوة الطفو = ρ F g V

قوة الطفو = (1000 كجم/م³ ⁾ (10 م/ث² ⁾ (0,02 ^م³ )

قوة الطفو = 200 كجم م/ ^ث²

قوة الطفو = 200 نيوتن

وزن الحجر (w) = ملغ

وزن الحجر = (40 كجم)(10 م/ ^ث² )

وزن الحجر = 400 كجم م/ ^ث²

وزن الحجر = 400 نيوتن

الحد الأدنى من القوة اللازمة لرفع صخرة:

وزن الحجر – قوة الطفو = 400 نيوتن – 200 نيوتن = 200 نيوتن.

مثال على السؤال 2:

وزن جسم في الهواء = 5000 كجم م/ث² ^، ووزنه في الماء = 4000 كجم م/ث² ^. إذا كانت كثافة الجسم = 2000 كجم/م³ ^، فما كتلة الجسم وحجمه؟ علمًا بأن عجلة الجاذبية الأرضية g = 10 م/ ^ث²

مناقشة

تسارع الجاذبية الأرضية (g) = 10 م/ ^ث²

كثافة الجسم = 2000 كجم/ ^م³

كثافة الماء = 1000 كجم/ ^م³

وزن الجسم في الهواء = 5000 كجم م/ ^ث²

وزن الجسم في الماء = 4000 كجم م/ ^ث²

قوة الطفو (F buoyant) = وزن الجسم في الهواء - وزن الجسم في الماء

قوة الطفو = 5000 كجم م/ث² ^– 4000 كجم م/ ^ث²

قوة الطفو = 1000 كجم م/ ^ث²

قوة الطفو = وزن الماء المزاح

قوة الطفو = (كتلة الماء)(جم)

قوة الطفو = (حجم الماء المزاح) × (كثافة الماء) × (g)

حجم الماء المزاح = حجم الجسم المغمور في الماء 😉

إذن حجم الجسم = 0,1 متر ^مكعب

كتلة الجسم = ؟

ρ = م / ف

m = ρ V

م = ( 2000 كجم / م ³ )( 0,1 م ³ )

م = 200 كجم

كتلة الجسم = 200 كجم

مثال على السؤال 3:

ما هو حجم الهيليوم المطلوب إذا كان على بالون أن يرفع حمولة وزنها 500 كجم؟

مناقشة

كثافة الهيليوم = 0,1786 كجم/ ^م³

كثافة الهواء = 1,293 كجم/ ^م³

قوة الطفو = وزن الهواء المزاح = وزن الحمولة + وزن الهيليوم

قوة الطفو = وزن الحمولة + وزن الهيليوم

قوة الطفو = (كتلة الحمولة)(g) + (كتلة الهيليوم)(g)

قوة الطفو = (كتلة الحمولة + كتلة الهيليوم)g —- المعادلة 1

قوة الطفو = وزن الهواء المزاح

قوة الطفو = (كتلة الهواء المزاح) × (g) —- المعادلة 2

نجمع المعادلتين 1 و 2:

(كتلة الحمولة + كتلة الهيليوم) (جم) = (كتلة الهواء المزاح) (جم)

كتلة الحمولة + كتلة الهيليوم = كتلة الهواء المزاح

500 كجم + (ρ هيليوم)(V هيليوم) = (ρ هواء)(V هواء)

500 كجم = (ρ هواء)(V هواء) – (ρ هيليوم)(V هيليوم)

حجم الهواء المزاح (V air) = حجم الهيليوم الذي يملأ البالون (V helium)

500 كجم = (ρ الهواء – ρ الهيليوم)(V)

هذا هو الحد الأدنى لحجم الهيليوم اللازم لرفع وزن ما على سطح الأرض. وللسماح للبالون بالارتفاع أكثر، يجب زيادة حجم الهيليوم، وذلك لأن كثافة الهواء تقل مع الارتفاع.