የፕሮጀክት እንቅስቃሴ

ስለ Projectile motion እና ከመፍትሔዎች ጋር የተያያዙ የናሙና ችግሮች ጽሑፍ

የመጀመሪያ ፍጥነት (v)_o) እና የመጀመሪያ ፍጥነት አካል (v_ox እና ቁ_oy)

የፓራቦሊክ እንቅስቃሴዎቹ ሁልጊዜ የመጀመሪያ ፍጥነት ያላቸው ነገር። የፓራቦሊክ እንቅስቃሴ በአግድም እና በአቀባዊ አቅጣጫዎች ውስጥ ያሉ እንቅስቃሴዎች ጥምረት ስለሆነ፣ የመጀመሪያው ፍጥነት አግድም እና አቀባዊ ክፍሎችም አሉት።

እቃው በስእል 1 እና 3 ላይ እንደሚታየው በፓራቦሊክ መንገድ የሚንቀሳቀስ ከሆነ በአግድም አቅጣጫ ያለው የመጀመሪያው ፍጥነት (v _ox ) እና በአቀባዊ አቅጣጫ ያለው የመጀመሪያው ፍጥነት (v _oy ) የሚሰላው እኩልታውን በመጠቀም ነው

v _ox = v _o cos θ

v _oy = v _o sin θ

እቃው እንደ ስእል 2 ፓራቦሊክ የሚንቀሳቀስ ከሆነ፣ ከዚያ v _o = v _ox (v _oy = 0)

ፍጥነት (v)_x እና ቁ_y) እና አቀማመጥ (x እና y)

በተወሰነ የጊዜ ክፍተት በአግድም እና በአቀባዊ አቅጣጫዎች ውስጥ ያለው ፍጥነት የሚሰላው እኩልታን በመጠቀም ነው፡

v _x = v _ox = ቋሚ ( ወጥ የሆነ መስመራዊ እንቅስቃሴ )

v _y = v _oy + gt ወይም v _y ² = v _oy ² + 2 gh (ነፃ-መውደቅ እንቅስቃሴ)

በተወሰነ የጊዜ ክፍተት ውስጥ በአግድም (x) እና በአቀባዊ (y) አቅጣጫዎች የነገሮች አቀማመጥ የሚሰላው እኩልታውን በመጠቀም ነው፡

x = v _በሬ ቲ

y = v _oy t + 1⁄2 gt ²

የፍጥነት (v) እና የአቀማመጥ (h) ውጤት

በተወሰነ የጊዜ ክፍተት ውስጥ የሚፈጠረው ፍጥነት የሚሰላው እኩልታውን በመጠቀም ነው፡

በተወሰነ የጊዜ ክፍተት የነገሮች አቅጣጫ የሚሰላው እኩልታውን በመጠቀም ነው፡

ማስታወሻዎች:

1. የፓራቦሊክ እንቅስቃሴ አግድም አካል እንደ ወጥ የሆነ መስመራዊ እንቅስቃሴ ተደርጎ ይወሰዳል፣ ስለዚህ ቮክስ = vx ሁልጊዜ ቋሚ ነው።

2. የፓራቦሊክ እንቅስቃሴ አቀባዊ አካል እንደ ፍሪ-መውደቅ እንቅስቃሴ ይታያል፣ ስለዚህ እቃው እንደ ምስል 1 እና 3 ያሉ ፓራቦሊክን የሚንቀሳቀስ ከሆነ፣ በከፍተኛው ቁመት ላይ ያለው የነገሩ ፍጥነት አቀባዊ አካል ዜሮ ነው (v _y = 0)። እብነ በረድ በከፍተኛው ከፍታ ላይ ቀጥ ብለው ወደ ላይ ከጣሉት፣ እቃው ወደ ታች ከመዞርዎ በፊት ለተወሰነ ጊዜ (v _{y = 0) ያርፋል። ስለዚህ፣ እቃው በከፍተኛው ቁመት = v x} = v _ox የሚንቀሳቀስበት ፍጥነት

3. እቃው በምስል 2 ላይ እንደሚታየው ፓራቦሊክ ከሆነ፣ የፓራቦሊክ እንቅስቃሴ ቋሚ አካል እንደ ነፃ ውድቀት እንቅስቃሴ ይታያል። እቃው በፓራቦሊክ መልኩ እንደ ምስል 1 እና 3 ከተንቀሳቀሰ የፓራቦሊክ እንቅስቃሴ ቋሚ አካል እንደ ወደላይ ቀጥ ያለ እንቅስቃሴ ይታያል።)

የናሙና ችግሮች፡

1. ጥይት የሚተኮሰው በአግድም አቅጣጫ ሲሆን የመጀመሪያ ፍጥነት 20 ሜ/ሰ ነው። ሽጉጡ ከመሬት 5 ሜትር ከፍታ ላይ ከሆነ የሚከተሉትን ይወስኑ፡

(ሀ) በአየር ላይ ያለው ጊዜ

(ለ) ከፍተኛው ቁመት

(ሐ) አግድም ርቀት

(መ) ጥይቱ መሬት ላይ ሲመታ የሚፈጀው ፍጥነት

መፍትሄ፡

በአግድም አቅጣጫ ያለው እንቅስቃሴ እንደ አንድ ወጥ መስመራዊ እንቅስቃሴ ይተነትናል፣ በአቀባዊ አቅጣጫ ያለው እንቅስቃሴ ደግሞ እንደ ፍሪ-መውደቅ እንቅስቃሴ ይተነትናል።

የሚታወቅ፦

v _ox = 20 m/s, v _oy = 0 m/s, h = 5 m, g = 9.8 m/s ²

ሀ) በአየር ላይ ያለው ጊዜ

መፍትሄው በነፃ ውድቀት እንቅስቃሴ ውስጥ የጊዜ ክፍተት (t) እንደመወሰን ነው።

የሚታወቅ ፡ v _oy = 0 m/s፣ h = 5 m፣ g = 9.8 m/s ²

ተፈላጊ ፡ ት

ለ) ከፍተኛው ቁመት

ከፍተኛው ቁመት = h = 5 ሜትር።

ሐ) አግድም ርቀት (መ)

መፍትሄው ልክ እንደ ወጥ መስመራዊ እንቅስቃሴ ላይ ያለውን ርቀት መወሰን ነው

የሚታወቅ፦ v _ox = 20 ሜ/ሰ፣ t = 1 ሰከንድ

ተፈላጊ ፡ መ

d = vt

d = (20 ሜ/ሰ)(1 ሰ) = 20 ሜ

መ) ጥይቱ መሬት ላይ ሲመታ ፍጥነት

v _ቴክሳስ = v _በሬ = 20 ሜ/ሰ

v _ty = ?

በመጀመሪያ፣ የመጨረሻውን ፍጥነት በአቀባዊ አቅጣጫ (vty) እናሰላለን። መፍትሄው የፍሪ-መውደቅ እንቅስቃሴን የመጨረሻ ፍጥነት እንደመወሰን ነው።

የሚታወቅ ፡ v _oy = 0፣ g = 9.8 m/s ² ፣ t = 1 ሰከንድ

ተፈላጊ ፡ v _ty

v _t = v _o + gt —> vo = 0

v _t = gt

v _t = (9.8 ሜ/ሰ ² )(1 ሰ)

v _t = 9.8 ሜ/ሰ

ጥይት መሬት ላይ ሲመታ የሚፈጀው ፍጥነት፡

የጥይቱ አቅጣጫ፡

ምክንያቱም v _tx በአዎንታዊ x-ዘንግ (ወደ ቀኝ) አቅጣጫ ላይ ሲሆን v _ty ደግሞ በአሉታዊ y-ዘንግ (ወደ ታች) አቅጣጫ ላይ ስለሆነ፣

ጥይቱ መሬት ላይ ሲመታ የሚወስደው አቅጣጫ ወደ አወንታዊ x-ዘንግ -26.1 ^{o ነው (ከታች ያለውን ምስል ይመልከቱ)።}

2. መድፉ በ30 ^o ወደ አግድም በ60 ሜ/ሰ ፍጥነት ጥይት ተኮሰ። ይወስኑ

(ሀ) ከፍተኛው ቁመት

(ለ) የነጥቡ ፍጥነት በከፍተኛው ቁመት

(ሐ) በአየር ላይ ያለው ጊዜ

(መ) አግድም ርቀት

(ሠ) ጥይቱ መሬት ላይ ሲመታ የሚፈጀው ፍጥነት። መሬቱ ጠፍጣፋ እንደሆነ እንበል። 🙂

መፍትሄ፡

በአግድም አቅጣጫ ያለው እንቅስቃሴ እንደ አንድ ወጥ መስመራዊ እንቅስቃሴ ይተነትናል፣ በአቀባዊ አቅጣጫ ያለው እንቅስቃሴ ደግሞ እንደ ወደ ላይኛው ቀጥ ያለ እንቅስቃሴ ይተነትናል።

የሚታወቅ ፡ v _o = 60 m/s፣ theta = 30 ^o ።

በሚታወቀው መረጃ ላይ በመመስረት፣ በመጀመሪያ የመጀመሪያውን ፍጥነት (v _o ) ቀጥ ያለ (v _oy ) እና አግድም (v _ox ) ክፍሎችን እናሰላለን ።

ሀ) ከፍተኛው ቁመት (ሰ)

መፍትሄው ወደ ላይ በሚወጣው ቀጥ ያለ እንቅስቃሴ ላይ ከፍተኛውን ቁመት እንደመወሰን ነው።

የሚታወቅ፦

v _ox = v _o cos θ = (60)(cos 30) = (60) (0.87) = 52 m/s

v _oy = v _o sin θ = (60) (ኃጢአት 30) = (60) (0.5) = 30 m/s

ሀ) ከፍተኛ ቁመት (ሰ)

መፍትሄው በአቀባዊ ወደ ላይ በሚንቀሳቀስ እንቅስቃሴ ላይ ከፍተኛውን ቁመት እንደመወሰን ነው።

የሚታወቅ፦

v _oy = 30 m/s (ይህ የነጥቡ የመጀመሪያ ፍጥነት ነው)

v _ty = 0 m/s (በከፍተኛው ከፍታ፣ የነጥቡ ቋሚ ፍጥነት = 0 m/s። ይህ የመጨረሻው ፍጥነት ነው።)

ግ = – 9.8 ሜ/ሰ ²

ተፈላጊ ፡ ሸ

v _t ² = v _o ² + 2 ግ

0 ² = 30 ² + 2 (-9.8) ሰ

0 = 900 – 19.6 ሰ

900 = 19.6 ሰዓታት

ሸ = 900 / 19.6

ሸ = 45.9 ሜትር

በጥይት የተገኘው ከፍተኛው ቁመት = 45.9 ሜትር።

ለ) በከፍተኛው ከፍታ ላይ ያለው ፍጥነት

በከፍተኛው ከፍታ፣ በአቀባዊ አቅጣጫ ያለው ፍጥነት = 0 ሜ/ሰ. በከፍተኛው ከፍታ፣ በአግድም አቅጣጫ ያለው ፍጥነት ብቻ ነው። በከፍተኛው ከፍታ ላይ በአግድም አቅጣጫ ያለው ፍጥነት በአግድም አቅጣጫ ካለው የመጀመሪያ ፍጥነት ጋር እኩል ነው፣ ይህም 52.2 ሜ/ሰ ነው። በአግድም አቅጣጫ የፍጥነት አቅጣጫ ሁልጊዜ ቋሚ ነው፣ ማለትም በአዎንታዊ x-ዘንግ አቅጣጫ (የአንድ ነገር እንቅስቃሴ ከላይ ባለው ዲያግራም ላይ ከተገለጸ)

ሐ) በአየር ላይ ያለው ጊዜ

መፍትሄው ልክ እንደ አቀባዊ ወደ ላይ የሚደረግ እንቅስቃሴን በሚመለከት የጊዜ ክፍተት (t)ን እንደመወሰን ነው።

የሚታወቅ፦

v _oy = 30 m/s (ይህ በአቀባዊ አቅጣጫ የነጥቡ የመጀመሪያ ፍጥነት ነው)

ግ = – 9.8 ሜ/ሰ ²

h = 0 m (ጥይቱ ወደ መሬት ሲመለስ፣ የጥይቱ መፈናቀል በአቀባዊ አቅጣጫ = 0 m)

ተፈላጊ ፡ ት

h = v _o t + ½ gt ²

0 = (30) t + ½ (-9.8 ሜ/ሰ ² ) t ²

0 = (30) t – 4.9 t ²

(30) t = 4.9 t ²

30 = 4.9 ት

t = 30 / 4.9

t = 6.12 ሰከንዶች

በአየር ላይ ያለው ጊዜ = 6.12 ሰከንዶች

መ) አግድም ርቀት (መ)

መፍትሄው ልክ እንደ አንድ ወጥ መስመራዊ እንቅስቃሴ ርቀትን (መ) እንደመወሰን ነው።

የሚታወቅ፦

ቪ _ኦክስ = 52.2 ሜ/ሰ

t = 6.12 ሰከንዶች

ተፈላጊ ፡ መ

d = vt = (52.2 ሜ/ሰ)(6.12 ሰከንዶች) = 319.5 ሜትር

ሠ) ጥይቱ መሬት ላይ ሲመታ ፍጥነት

v _ቴክሳስ = v _በሬ = 52.2 ሜ/ሰ

v _ty = ?

በመጀመሪያ፣ የመጨረሻውን ፍጥነት በአቀባዊ አቅጣጫ (v _ty ) እናሰላለን። መፍትሄው በአቀባዊ ወደ ላይ በሚንቀሳቀስ እንቅስቃሴ ላይ የመጨረሻውን ፍጥነት መወሰን ነው።

የሚፈለግ፦ v _oy = 30 m/s፣ g = -9.8 m/s ² ፣ t = 6.12 ሰከንዶች

ተፈላጊ ፡ v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = (30) + (-9.8)(6.12)

v _ty = (30) – (60)

v _ty = -30 ሜ/ሰ

አሉታዊ ምልክት የመጨረሻው የፍጥነት አቅጣጫ ወደ ታች መሆኑን ያሳያል። በአቀባዊ አቅጣጫ ያለው የመጀመሪያው ፍጥነት በአቀባዊ አቅጣጫ ካለው የመጨረሻው ፍጥነት ጋር እኩል መሆኑን ልብ ይበሉ።

ጥይቱ መሬት ላይ ሲመታ የሚፈጀው ፍጥነት፡

የጥይቱ አቅጣጫ፡

v _tx በአዎንታዊ x-ዘንግ (ወደ ቀኝ) አቅጣጫ ላይ ስለሆነ እና vty በአሉታዊ y-ዘንግ (ወደ ታች) አቅጣጫ ላይ ስለሆነ፣

ጥይቱ መሬት ላይ ሲመታ የጥይቱ ፍጥነት አቅጣጫ በአዎንታዊ x-ዘንግ ዙሪያ -30 ^{o ነው (ከታች ያለውን ምስል ይመልከቱ)።}

3. ኳስ የሚወረወረው ከ50 ሜትር ከፍታ ካለው ሕንፃ ጫፍ ሲሆን የመጀመሪያ ፍጥነት 10 ሜትር/ሰ ነው። ኳሱ በ30 ዲግሪ አግድም አካባቢ ከተወረወረ፣ የሚከተሉትን ይወስኑ፡

(ሀ) ኳሱ ወደ መሬት የሚደርስበት የጊዜ ክፍተት

(ለ) ኳሱ መሬት ላይ ሲመታ የሚፈጀው ፍጥነት

(ሐ) ኳሱ ሊደርስበት የሚችለው አግድም ርቀት የሚለካው ከህንፃው ጠርዝ ነው።

(መ) ኳሱ የደረሰበት ከፍተኛ ቁመት

መፍትሄ፡

በመጀመሪያ፣ የመጀመሪያውን ፍጥነት (v _{o ) አቀባዊ ክፍል (v oy} ) እና አግድም ክፍል (v _ox ) እናሰላለን ።

v _ox = v _o cos 30 ^o = (10 m/s)(0.87) = 8.7 m/s

v _oy = v _o sin 30 ^o = (10 m/s)(0.5) = 5 m/s

ሀ) ኳሱ ወደ መሬት የሚደርስበት የጊዜ ክፍተት

መፍትሄው የጊዜ ክፍተትን (t) በአቀባዊ ወደ ላይ በሚደረግ እንቅስቃሴ እንደመወሰን ነው። አቅጣጫው ወደ ላይ ወደ ላይ የተመረጠ የቬክተር መጠን፣ አቅጣጫው ወደ ታች የተመረጠ የቬክተር መጠን አሉታዊ ነው። የሚጣልበት የኳስ አቀማመጥ እንደ ማጣቀሻ ነጥብ ተመርጧል። h አሉታዊ ነው ምክንያቱም የመሬት ገጽታ ከማጣቀሻ ነጥብ በታች ነው፣ g ደግሞ አሉታዊ ነው ምክንያቱም የስበት ፍጥነት አቅጣጫ ወደ ታች ነው።

የሚታወቅ፦

v _oy = 5 ሜ/ሰ፣ h = – 5 ሜ፣ g = – 9.8 ሜ/ሰ ²

ተፈላጊ ፡ ት

h = v _o t + ½ gt ²

-5 = 5 t + ½ (-9.8) t ²

-5 = 5 t – 4.9 t ²

-4.9 ቲ ² + 5 ቲ + 5 = 0

የኳድራቲክ ፎርሙላውን ይጠቀሙ፦

በአየር ላይ ያለው ጊዜ = ኳሱ መሬት ላይ እስኪደርስ ድረስ ከተወረወረበት ጊዜ ጀምሮ ያለው የጊዜ ክፍተት = 1.64 ሰከንዶች።

ለ) ኳሱ መሬት ላይ ሲመታ የኳሱ ፍጥነት

v _ቴክሳስ = v _በሬ = v _x = 8.7 ሜ/ሰ

v _ty = ?

በመጀመሪያ፣ የመጨረሻውን ፍጥነት በአቀባዊ አቅጣጫ (v _ty ) እናሰላለን። መፍትሄው በአቀባዊ ወደ ላይ በሚንቀሳቀስ እንቅስቃሴ ላይ የመጨረሻውን ፍጥነት እንደመወሰን ነው።

የሚታወቅ፦ v _oy = 5 m/s፣ g = -9.8 m/s ² ፣ t = 1.64 ሰከንዶች

ተፈላጊ ፡ v _ty

v _ty = v _oy + gt

v _ty = 5 + (-9.8)(1.64)

v _ty = 5 – 16

v _ty = -11 ሜ/ሰ

አሉታዊ ምልክቱ የመጨረሻው የፍጥነት አቅጣጫ ወደ ታች መሆኑን ያሳያል።

ጥይቱ መሬት ላይ ሲመታ የሚፈጀው ፍጥነት፡

የጥይቱ ፍጥነት አቅጣጫ = ጥይቱ መሬት ላይ ሲመታ የሚንቀሳቀስበት አቅጣጫ፡

ጥይቱ መሬት ላይ ሲመታ የሚፈጀው ፍጥነት፡

ምክንያቱም vtx በአዎንታዊ x-ዘንግ (ወደ ቀኝ) አቅጣጫ ላይ ሲሆን vty ደግሞ በአሉታዊ y-ዘንግ (ወደ ታች) አቅጣጫ ላይ ስለሆነ፣

ጥይቱ መሬት ላይ ሲመታ የሚወስደው አቅጣጫ በአዎንታዊ x-ዘንግ ዙሪያ -52o ነው (ከታች ያለውን ምስል ይመልከቱ)።

ሐ) ኳሱ ሊደርስበት የሚችለው አግድም ርቀት የሚለካው ከህንፃው ጠርዝ ነው።

መፍትሄው ልክ እንደ ወጥ መስመራዊ እንቅስቃሴ (d) የተጓዘውን ርቀት (d) እንደመወሰን ነው።

የሚታወቅ፦ t = 1.64 ሰከንዶች፣ v _x = 8.7 ሜ/ሰ

ተፈላጊ ፡ መ

d = vt = (8.7 ሜ/ሰ)(1.64 ሰ) = 14.3 ሜ

መ) ኳሱ የደረሰበት ከፍተኛ ቁመት

የሚታወቅ ፡ v _oy = 5 m/s፣ v _ty = 0 m/s ( በከፍተኛው ቁመት ላይ ያለው የፍጥነት አቀባዊ አካል = 0 m/s)፣ g = -9.8 m/s ² ።

ተፈላጊ ፡ ሸ

v _ty ² = v _oy ² + 2 gh

0 ሜ/ሰ = (5 ሜ/ሰ) ² + 2(-9.8 ሜ/ሰ ² )(ሰ)

0 ሜ/ሰ = 25 (ሜ/ሰ) ² + (-19.6 ሜ/ሰ ² )(ሰ)

25 (ሜ/ሰ) ² = -19.6 ሜ/ሰ 2 (ሰ)

ሰ = 25 (ሜ/ሰ) ² ፡ -19.6 ሜ/ሰ ² = 1.3 ሜትር

ኳሱ የሚደርሰው ከፍተኛው ቁመት = ከህንፃው አናት በላይ 1.3 ሜትር = 1.3 ሜትር + 50 ሜትር = ከመሬት ወለል በላይ 51.3 ሜትር።