Puntvermenigvuldigingsmateriaal met behulp van eenheidsvektorkomponente
Ons kan die skalaarproduk direk bereken as ons die x-, y- en z-komponente van vektore A en B (die bekende vektore) ken.
Om 'n puntproduk op hierdie manier uit te voer, voer ons eers 'n puntproduk van die eenheidsvektore uit, daarna druk ons vektore A en B in hul komponente uit, ontbind die produk en gebruik die produk van die eenheidsvektore.
Die eenheidsvektore i , j en k is loodreg op mekaar, wat die berekeninge makliker maak. Deur die skalaarvermenigvuldigingsvergelyking hierbo afgelei te gebruik ( AB = AB cos theta ), verkry ons:
i. i = j. j = k. k = (1)(1) cos 0 = 1
i. j = i. k = j. k = (1)(1) cos 90 o = 0
Nou druk ons vektore A en B uit in terme van hul komponente, ontbind hul produk en gebruik die produk van eenheidsvektore.
A . B = Axi . Bxi + Axi . Byj + Axi . Bzk +
Ayj . Bxi + Ayj . Byj + Ayj . Bzk +
Azk . Bxi + Azk . Byj + Azk . Bzk
A . B = AxBx (i . i) + AxBy (i . j) + Ax Bz (i . k) +
AyBx (j . i) + AyBy (j . j) + AyBz (j . k) +
AzBx (k . i) + AzBy (k . j) + AzBz (k . k)
omdat i . i = j . j = k . k = 1 en i . j = i . k = j . k = 0, dan:
A . B = AxBx (1)+ AxBy (0)+ Ax Bz (0) +
AyBx (0)+ AyBy (1)+ AyBz (0) +
AzBx (0)+ AzBy (0)+ AzBz (1)
A . B = A x B x (1) + 0 + 0 +
0 + A y By y (1) + 0 +
0 + 0 + A z B z (1)
A . B = AxBx + AyBy + AzBz
Gebaseer op die resultate van hierdie berekening, kan die gevolgtrekking gemaak word dat die skalaarproduk of puntproduk van twee vektore die som van die produkte van hul soortgelyke komponente is.
Voorbeeldvraag 1:
Groot vektor A Dan B onderskeidelik 5 en 4, soos in die prentjie hieronder getoon. Die hoek wat gevorm word, is 90oTel dit puntproduk beide vektore.
Bespreking
Voordat ons die puntproduk van vektore A en B bereken, moet ons eers die komponente van die tweede vektor ken.
A x = (5) cos 0 o = (5) (1) = 5
A y = (5) sin 0 o = (5) (0) = 0
A z = 0
B x = (4) cos 90 o = (4) (0) = 0
B y = (4) sin 90 o = (4) (1) = 4
B z = 0
Vektor A het slegs vektorkomponente op die x-as en vektor B het slegs vektorkomponente op die y-as. Die z-komponent is nul omdat vektore A en B in die xy-vlak is.
Nou bereken ons die puntproduk tussen vektore A en B deur die puntprodukvergelyking met komponentvektore te gebruik:
A. B = Ax Bx + AyBy + AzBz
A. B = (5) (0) + (0) (4) + 0
A. B = 0 + 0 + 0
A. B = 0
Kom ons vergelyk dit met die eerste metode
AB = AB cos theta
AB = (4)(5) cos 90
AB = (4) (5) (0)
AB = 0
Die resultaat is dieselfde.
Voorbeeldvraag 2:
Groot vektor A Dan B is onderskeidelik 5 en 4, soos in die prentjie hieronder getoon. Bereken puntproduk beide vektore, as die gevormde hoek 30 iso
Bespreking
Voordat ons die puntproduk van vektore A en B bereken, moet ons eers die komponente van die tweede vektor ken.
Die z-komponent is nul omdat vektore A en B in die xy-vlak is.
Nou bereken ons die puntproduk tussen vektore A en B deur die puntprodukvergelyking met komponentvektore te gebruik:
Vergelyk met die eerste metode.
