駐波——問題與解決方案
1. 這根3公尺長的繩子一端繫好，另一端連接到振動器上。當振動器振動時，繩子會形成駐波，如下圖所示。
求出從固定端算起的第五個波腹的位置。
解決方案：
兩個節點之間的距離= 3 公尺 / 5 = 3/5 公尺。
第一個節點到固定端的距離 = 3/5 米
第二個節點到固定端的距離 = 2 (3/5 公尺) = 6/5 米
第三個節點到固定端的距離 = 3 (3/5 米) = 9/5 米
第四個節點到固定端的距離 = 4 (3/5 公尺) = 12/5 米
節點與波腹之間的距離 = 1/2 (3/5 公尺) = 3/10 公尺。
第五個波腹與固定端的距離 = 第四個波節點與固定端之間的距離 + 波節點與波腹之間的距離 = 12/5 + 3/10 = 24/10 + 3/10 = 27/10 = 2.7 公尺。
2. 如圖所示，繩子的一端連接到振動器，另一端固定。若繩子的長度為1.5米，求第四個節點到振動器的距離。
解決方案：
兩個節點之間的距離 = 1.5 公尺 / 11 = 1.5 / 11 公尺。
第一個節點與振動器之間的距離 = 1.5 / 11 米
第二個節點與振動器之間的距離 = 2 (1.5 / 11 米) = 3/11 米
第三節點與振動器之間的距離 = 3 (1.5 / 11 米) = 4.5 / 11 米
第四個節點與振動器之間的距離 = 4 (1.5 / 11 米) = 6/11 米 = 0.54 米
3.一根弦的兩端固定，發出頻率為 420 Hz 的基音。求其第三個泛音。
A. 840 赫茲
B. 1260 赫茲
C. 1680 赫茲
D. 2940 赫茲
已知：
基頻 (f₁ ) = 420 Hz
兩端都保持固定。
通緝：第三重音
解決方案：
第一泛音 (f₂ ) = 2f₁ = 2 (420 Hz) = 840 Hz
第二泛音 (f₃ ) = 3，f₁ = 3 (420 Hz) = 1260 Hz
第三泛音 (f₄ ) = 4，f₁ = 4 (420 Hz) = 1680 Hz
正確答案是C。
4.一根弦的第一泛音的波長為 40 公分。若空氣中聲波的速率為 340 公尺/秒，求第三泛音的波長。
A. 850 赫茲
B. 1600 赫茲
C. 1700 赫茲
D. 3200 赫茲
已知：
第一泛音的波長 (λ) = 40 公分 = 0.4 米
空氣中聲波的速度 (v) = 340 公尺/秒
求：第三泛音的頻率
解決方案：
下圖是一根兩端固定的弦上的駐波示意圖。首先，利用第一泛音的波長計算弦的長度。然後，在計算第三泛音的頻率之前，先計算第三泛音的波長。
第一泛音的波長：
繩子長度 (L) = 2. ½ λ
繩子長度 (L) = λ
繩子長度 (L) = 0.4 米
第三泛音的波長：
L = 2 λ
0.4 = 2 λ
λ = 0.4 / 2
λ = 0.2 米
第三泛音的頻率：
f = v / λ
f = 340 : 0.2
f = 1700 赫茲
正確答案是C。
5. 一根兩端開口、長40公分的管子產生頻率為420赫茲的基音。求其二次泛音。
A. 380 赫茲
B. 460 赫茲
C. 840 赫茲
D. 1260 赫茲
已知：
管道長度 (L) = 40 公分 = 0.4 米
基頻 (f1 ) = 420 赫茲
求：第二泛音的頻率（f3）
解決方案：
若基頻 (f₁ ) = 420 赫茲，則第二泛音 (f₃ ) = 3f₁ = 3(420 赫茲) = 1260 赫茲
正確答案是D。
6. 封閉管內的聲波波形類似…
A. 弦上的波傳播
B. 空氣柱上的波傳播
C. 一端固定的弦上的駐波
D. 兩端固定的弦上的駐波
解決方案：
封閉管是指一端開口、另一端封閉的管子，如上圖所示。
正確答案是C。
20個與駐波相關的概念性問答：
1. 問題：什麼是駐波？
答：駐波是一種看起來保持靜止的波形，具有波節和波腹，是由兩個沿相反方向傳播的波相互干涉形成的。
2. 問題：節點和反節點有什麼差別？
答：波節是振幅為零的點，波在此處保持靜止；波腹是振幅最大的點。
3. 問題：駐波可以在任何介質中形成嗎？
答：駐波可以在任何允許波傳播的介質中形成，例如弦、空氣柱和水。
4. 問題：駐波的頻率與其諧波次數有何關係？
答：基頻（一次諧波）是駐波的最低頻率。高次諧波的頻率是基頻的整數倍。
5. 問題：駐波中波節的位置是由什麼決定的？
答：波節是由沿相反方向傳播的波發生相消干涉而相互抵消所形成的。
6. 問題：如何使兩端固定的弦上產生駐波？
答：當波沿弦傳播並在固定端反射時，它會與入射波發生干涉，如果頻率符合某些條件，就會形成駐波模式。
7. 問題：駐波中波長與介質長度有什麼關係？
答：兩端固定的弦，介質的長度是駐波波長的一半的整數倍。
8. 問題：為什麼駐波不能在介質中傳遞能量？
答：雖然介質中的單一粒子會振盪，但整體波型保持靜止，因此在任何特定方向上都沒有淨能量傳輸。
9. 問題：你能在開口管中觀察到駐波嗎？
答：是的，駐波可以在開口管中形成，但邊界條件與封閉管不同，會影響波節和波腹的位置。
10. 問題：當弦中的張力增加時，駐波會發生什麼變化？
答：增加張力會增加波速，進而改變駐波的頻率和模式。
11. 問題：共振與駐波有何關係？
答：當外部力或振動與系統的固有頻率相符時，就會發生共振，產生明顯的駐波。
12. 問題：基頻是多少？
答：基頻，或稱第一諧波，是指系統能夠支援駐波的最低頻率。
13. 問題：泛音與諧波有什麼關係？
答：泛音是指高於基頻的頻率。第一泛音對應二次諧波，第二泛音對應三次諧波，依此類推。
14. 問題：為什麼節點處沒有位移？
答：在波節處，兩束干涉波相位相差 180°，導致相消干涉，位移為零。
15. 問題：駐波可以極化嗎？
答：弦上的駐波是橫波，因此具有振盪方向（極化）。然而，在空氣等介質中，駐聲波是縱波，不具極化特性。
16. 問題：為什麼樂器要利用駐波原理？
答：樂器通常透過產生駐波來發聲，不同的諧波產生不同的音符。
17. 問題：駐波的波速與頻率和波長有何關係？
答：波速（v）是頻率（f）和波長（λ）的乘積：v = fx λ。
18. 問題：兩種不同的頻率能否在同一介質中產生駐波？
答：是的，只要頻率符合該介質中駐波的條件即可。每個頻率代表一個不同的諧波。
19. 問題：封閉管中的駐波與開放管內的駐波有何不同？
答：在封閉的管子中，一端是波節，另一端是波腹。在開放的管子中，兩端都是波腹。
20. 問題：在給定的介質中，能否形成任意頻率的駐波？
答：不，只有滿足介質邊界條件的特定頻率才能產生駐波。
從音樂到電信等各個領域，了解駐波都至關重要，因為它們代表了特定條件下的基本波行為。
