線性動量脈衝碰撞

線性動量脈衝碰撞

1. 線性動量

1.1 線性動量定義

物體的線動量定義為物體的質量乘以物體的速率。

p = mv

其中：

p = 動量，m = 質量（公斤），v = 速度（公尺/秒）

動量，或簡稱動量，是一個向量，因為它是由一個向量（速度）和一個標量（質量）相乘得到的。由於動量是向量，它既有方向又有大小。動量的方向與物體的速度或運動方向一致。

動量與質量和速度成正比，質量越大，動量越大。同樣，速度越大，動量也越大。假設有兩輛車，例如A車和B車。如果A車的質量大於B車，且兩車速度相同，則A車的動量大於B車。類似地，如果A車和B車的質量相同，但A車的速度比B車快，則A車的動量也大於B車。

如果一個有質量的物體不會移動或處於靜止狀態（速度為零），則該物體的動量為零。

動量的國際單位制單位是 kg·m/s，它由質量單位和速度單位組成。

1.2 牛頓第二定律

之前，你已經學習了牛頓第二定律，它用公式ΣF = ma表示，解釋了合力與物體質量以及加速度之間的關係。合力作用於具有質量的物體，使物體產生加速度。這次，你將學習牛頓第二定律的另一種形式，它解釋了合力與物體動量變化之間的關係。

如果一個合力作用於一個初始靜止的物體，物體就會移動。運動前，物體沒有動量。運動之後，物體才有動量。換句話說，作用於物體的合力會在給定的時間間隔內改變物體的動量。物體動量的變化率等於作用於物體的合力。

當：

ΣF = 合力（牛頓），Δt = 時間間隔（秒），Δp = m (v _t – v _o ) = 動量變化（公斤·米/秒）。

方程式 1.1 是牛頓第二定律的另一種形式，它解釋了物體的淨力與動量變化率之間的關係，無論物體的質量是恆定的還是變化的。

當：

ΣF = 合力（牛頓），m = 質量（公斤），a = 加速度（公尺/秒^²）

式 1.2 是牛頓第二定律公式，它解釋了質量恆定的物體的合力和加速度之間的關係。

2. 衝動

2.1 脈衝定義

衝量定義為力或合力乘以時間間隔的結果。

當：

I = 衝量，ΣF = 合力（牛頓），Δt = 時間間隔（秒）。

2.2 衝量-動量定理

動量定理是透過對公式 1.1 推導出一個方程式而得到的。

ΣF Δt = Δp

I = Δp ………………….. 公式 1.3

公式 1.3 顯示衝量等於動量的變化。

I = ΣF Δt

Δp = mv _t – mv _o = m (v _t – v _o )

例題1：

質量為 1 kg 的球以 2 m/s 的速率水平拋出。然後，球被沿著原始方向擊打。球與擊球者接觸用時 1 ms，離開擊球者後的速率為 4 m/s。擊球者對球施加的力是多少？

已知：

質量 (m) = 1 kg，初速 (v₀ ₎ = 2 m/s，時間間隔 (Δt) = 1 × 10⁻³^秒，末速度 (vₜ ₎ = 4 m/s

球的運動方向沒有改變，所以初速和末速的記號相同。

通緝：武力（F）

解決方案：

例題2：

質量為1公斤的球以10公尺/秒的速率水平向右拋出。被擊中後，球以20公尺/秒的速率向左移動。求作用在球上的衝量。

已知：

質量 (m) = 1 kg

初始速度（v _o）= 10 m/s，

末速（v_{_t}）= -20 公尺/秒

小球的運動方向（速度方向）相反，因此初速和末速度的符號也不同。

需求：衝動（I）

解決方案：

I = m (v _t – v _o ) = 1 kg (-20 m/s – 10 m/s) = 1 kg (-30 m/s) = – 30 kg m/s

負號表示衝量的方向與球的最終速度方向相同（向左）。

例題 3

一名學生擊打一個靜止的、質量為0.1公斤的排球。學生的手與排球接觸的時間為0.01秒。被擊打後，排球的運動速度為2公尺/秒。

（a）該學生的手對排球施加的力有多大？

（b）牛頓第三定律指出，如果學生對排球施加力，排球也會對學生施加力。排球對學生手施加的力的大小是多少？

（c）如果學生的手與排球接觸 0.001 秒，排球對學生的手施加的力有多大？

已知：

質量（m）= 0.1 kg，

時間間隔 1 (Δt ₁ ) = 0.01 s = 1 × 10 ^-2 s

初始速度（v₀ _） = 0

末速 (v_{_t} ) = 2 公尺/秒

時間間隔 2 (Δt ₂ ) = 0.001 s = 1 × 10 ^-3 s

通緝：武力（F）

解決方案：

（a）學生的手在0.01秒的接觸時間內施加在排球上的力為

（b）排球與學生手接觸0.01秒期間所施加的力為

牛頓第三定律：作用力 F = – 反作用力 F

球對學生手施加的力大小為 200 牛頓

(c) 在球與學生手接觸的0.001秒時間內，球對學生手施加的力為

根據所得結果可以得出結論：觸球時間越短，球對學生手部的作用力越大。更大的作用力會導致學生手部更劇烈的疼痛。打排球時可以驗證這一點。擊打較硬的排球時，觸球時間比擊打較軟的排球時短。觸球時間的差異會導致擊打較硬的球時手部感受到更劇烈的疼痛。

1. 什麼是線性動量？它與力有何不同？
   • 回答：線性動量（$p$物體的 ) 是其質量的乘積（$m$）及其速度（$v$）， IE， $p=mv$力與物體動量隨時間的變化有關，而動量本身則是衡量物體運動大小和方向的指標。
2. 衝量與物體動量的變化有何關係？
   • 回答衝量是作用於物體上的平均力與作用時間的乘積。它等於物體動量的變化。用數學術語來說：mpulse=Δp=F_average​×Δt.
3. 在碰撞中，動量守恆意味著什麼？
   • 回答動量守恆定律指出，在不受外力作用的情況下，封閉系統碰撞前的總動量等於碰撞後的總動量。
4. 區分彈性碰撞和非彈性碰撞。
   • 回答在彈性碰撞中，動量和動能都守恆。物體會互相「彈開」。在非彈性碰撞中，動量守恆，但動能不守恆。物體碰撞後可能會黏在一起或發生形變。
5. 為什麼作用時間較長的小力能產生與作用時間較短的大力相同的動量變化？
   • 回答因為衝量是力和時間的乘積，所以較小的力作用於較長時間可以產生與較大的力作用於較短時間相同的衝量（從而產生相同的動量變化）。
6. 如果一輛汽車撞到牆後停止，動量是否守恆？
   • 回答就汽車本身而言，動量不守恆，因為它最終會停止。然而，在更大的系統（包括地球和牆壁）中，動量守恆。傳遞給汽車的動量會以大小相等、方向相反的方式傳遞給地球和牆壁，但由於質量差異巨大，地球速度的變化微乎其微。
7. 為什麼汽車安全氣囊有助於減少碰撞事故中的傷害？
   • 回答安全氣囊可延長人體在停止過程中動量變化的時間，進而降低碰撞時人體所受的平均衝擊力。這種衝擊力的降低有助於最大限度地減少傷害。
8. 如果兩個質量相同的物體以大小相等、方向相反的速度迎頭相撞，碰撞後它們的合速度是多少？
   • 回答假設碰撞為彈性碰撞且無外力作用，物體將以相同的速率沿相反方向反彈。如果碰撞為完全非彈性碰撞，由於動量相互抵消，物體將黏在一起並停止運動。
9. 為什麼彈跳的球即使在真空（沒有空氣阻力）最終也會停止運動？
   • 回答真空雖然消除了空氣阻力，但並不能阻止球與地面發生非彈性碰撞。每次球彈跳時，部分動能會轉化為其他形式（例如聲能或形變能），導致球每次彈跳的高度都降低，直到最終停止。
10. 動量如何在旋轉物體等系統中「隱藏」？

• 回答線性動量使物體保持直線運動，而旋轉物體則具有角動量。物體可以沒有線性動量，但如果它旋轉，則可能具有很大的角動量。例如，靜止在桌面上的陀螺沒有線性動量，但由於其旋轉而具有角動量。